第五章-大数定律与中心极限定理-2Lec

第五章大数定律和中心极限定理15.1契比雪夫不等式定理:设随机变量X具有期望E(X)及方差D(X),则>0,有:或2

切比雪夫不等式说明，DX越小，则越小，越大，也就是说，随机变量X取值基本上集中在EX附近，这进一步说明了方差的意义。同时当EX和DX已知时，切比雪夫不等式给出了概率的一个上界，该上界并不涉及随机变X的具体概率分布，而只与其方差DX和ε有关，因此，切比雪夫不等式在理论和实际中都有相当广泛的应用。需要指出的是，虽然切比雪夫不等式应用广泛，但在一个具体问题中，由它给出的概率上界通常比较保守。3例1已知E(X)=100,D(X)=30,试估计X落在(70,130)内的概率解:P{70<X<130}=P{|X100|<30}由契比雪夫不等式,得:0.967契比雪夫不等式给出了在随机变量X的分布未知情况下,事件{|XE(X)|<}或{|XE(X)|≥}的概率的一种估计方法4例2已知某种股票每股价格X的平均值为1元,标准差为0.1元,求a,使股价超过1+a元或低于1a元的概率小于10%解:由契比雪夫不等式,得:令a2≥0.1a≥0.3255.2大数定律我们曾经说,频率是概率的反映,随着观察次数的增大,频率将会逐渐稳定到概率.这里是指试验的次数无限增大时,在某种收敛意义下逼近某一定数,这就是所谓大数定律6贝努里大数定律

设n次独立重复试验中事件A发生nA次,在每次试验中事件A发生的概率为p,则>0,有:7∵令由契比雪夫大数定律得出结论E(Xi)=p,D(Xi)=p(1p)又表明:频率依概率收敛于概率p以严格的数学形式表达了频率的稳定性8

这是历史上最早的大数定律，是贝努利在1713年建立的。作为概率这门学科的基础，其“定义”的合理性这一悬而未决的带根本性的问题,由贝努利于1713年发表的这个“大数定律”给予了解决，被称为概率论的第一篇论文,为概率论的公理化体系奠定了理论基础。之所以被成为“定律”,是这一规律表述了一种全人类多年的集体经验因此，对尔后的类似定理统称为大数“定律”。9契比雪夫大数定律设随机变量X1,X2,...,Xn,...相互独立,且分别具有期望E(Xk)和方差D(Xk)(k=1,2,...),若方差有界,则>0,有:10由契比雪夫不等式,得:n1表明:算术平均值依概率收敛于数学期望11例1设随机变量Xk(k=1,2,...)相互独立,具有同一分布:E(Xk)=0,D(Xk)=2,且E(Xk4)(k=1,2,...)存在,试证明:>0,

[证]:令Yk=Xk2(k=1,2,...)由已知,Yk(k=1,2,...)相互独立E(Yk)=E(Xk2)=D(Xk)+E2(Xk)=212D(Yk)=E(Yk2)E2(Yk)=E(Xk4)4由契比雪夫大数定律:>0,有135.3中心极限定理在一定条件下,大量独立随机变量的和的分布以正态分布为极限分布的这一类定理称为中心极限定理

14的分布函数Fn(x)收敛到标准正态分布函数.独立同分布的中心极限定理设随机变量X1,X2,…,Xn,…相互独立,服从同一分布,且具有期望和方差:

E(Xk)=,D(Xk)=2>0(k=1,2,…),则随机变量15即xR,满足:注意到:16例如,P{a<X<b}17例3某大型商场每天接待顾客10000人,设每位顾客的消费额(元)服从[200,2000]上的均匀分布,且顾客的消费额是相互独立的,试求该商场的销售额(元)在平均销售额上、下浮动不超过30000元的概率解:设第k位顾客的消费额为Xk

(k=1,2,…,10000)商场日销售额为X,则所求为:P{|XE(X)|≤30000}18由已知,=100001100=11106由独立同分布中心极限定理,有:19P{30000≤X11×106≤30000}2(0.58)10.4420棣莫夫-拉普拉斯定理设随机变量X~B(n,p)(n=1,2,…),则xR,有:(二项分布以正态分布为极限分布)21∵令X1,X2,…,Xn,…相互独立,均服从以p为参数的两点分布则由独立同分布中心极限定理得出结论22二项分布是离散分布，而正态分布是连续分布，所以用正态分布作为二项分布的近似时，可作如下修正：注意点(1)23中心极限定理的应用有三大类：

注意点(2)

ii)已知n和概率，求x；

iii)已知x和概率，求n.i)已知n和x，求概率；

24一、给定n和x，求概率例5.2.3100个独立工作(工作的概率为0.9)的部件组成一个系统，求系统中至少有85个部件工作的概率.解：用由此得：Xi=1表示第i个部件正常工作,反之记为Xi=0.又记Y=X1+X2+…+X100，则E(Y)=90，Var(Y)=9.25二、给定n和概率，求x例5.2.4有200台独立工作(工作的概率为0.7)的机床，每台机床工作时需15kw电力.问共需多少电力,才可有95%的可能性保证正常生产?解：用设供电量为x,则从Xi=1表示第i台机床正常工作,反之记为Xi=0.又记X=X1+X2+…+X200，则E(X)=140，Var(X)=42.中解得26三、给定x和概率，求n例5.2.5用调查对象中的收看比例k/n作为某电视节目的收视率p的估计。要有90％的把握，使k/n与p

的差异不大于0.05，问至少要调查多少对象？解：用根据题意Xn表示n个调查对象中收看此节目的人数，则从中解得Xn服从b(n,p)分布，k为Xn的实际取值。又由可解得n=27127例5.2.6

设每颗炮弹命中目标的概率为0.01，求500发炮弹中命中5发的概率.解:

设X表示命中的炮弹数,则X~b(500,0.01)＝0.17