《电磁场理论》教案

电磁场理论(第三章)内蒙古电力学院电力系电工教研室李雨润第三章恒定磁场§3-1磁感应强度

由恒定电流激发的磁场称为恒定磁场。由于恒定流动的电荷产生的恒定电场和恒定电流产生的恒定磁场均不随时间变化，因此它们之间彼此没有影响而能独立存在。这样，我们可以分别研究它们的基本规律和特性。3.1.1安培（力）定律两相距为R的元电流I’dl’和Idl之间，存在有相互作用的磁场力。这是由于电流产生了磁场，而磁场又对场中的电流有作用力的缘故。这个力的大小与R的平方成反比，而与I’dl’、Idl的乘积I’dl’dlIdfR图3-1成正比。对于整个回路，通有电流I的回路受到通有电流I‘的回路的作用力：(电流回路l’对电流回路l的作用力)这就是安培力定律。上式中eR是从dl’到dl的单位矢量,μ0是真空中的磁导率，在国际单位制中μ0=4π×10-7H/m(亨/米)。上述情况与静电场中两点电荷之间作用力的情况类似。但是，磁场力的大小还与两个元电流的方向及R的方向有关；磁场力的方向也不象电场力那样总是沿eR（或-eR）的方向，这些都是磁场本身的性质所决定的。在电场中，我们是根据电荷在电场中的受力来定义电场强度的。现在可以根据电流在磁场中的受力来定义磁感应强度。当我们将试验元电流Idl携入磁场中某点，便会受到磁场的作用力，作用力的大小和方向，与该点的磁场有关；还与Idl的方向有关。把上面安培力的公式改写为:3.1.2磁感应强度括号中的量代表电流I’在Idl处产生的磁效应，用B表示上式所表示的关系，通常称为毕－沙定律。B称为磁感应强度(又称磁通密度)，它是表征磁场特性的基本场量，其单位是T（特斯拉）。考虑到不同形式的元电流段JdV、KdS等，毕—沙定律还可写成和电流强度为I的线电流回路在磁场中受到的作用力为

洛仑兹力是电荷q在磁场中以速度v运动时受到磁场的作用力

例3-1

计算真空中载电流I、长为2L的细直导线外任一点的磁感应强度。P（ρ,z）LLdl’ρzo图3-2

解：选择如图3-2所示的圆柱坐标系，导线与z轴重合且坐标原点在导线中点，导线产生的磁场与φ角无关，图中P点的磁感应强度为其中式中ρ是场点到导线的垂直距离，若载流导线为无限长，即L→∞则对上式取极限可得

例3-2

真空中有一半径为a的载流线圈，电流强度为I，求其轴线上任一点P处的磁感应强度。IaθdBrzPdl图3-3

解：首先选择元电流段Idl，该电流元在P点产生的磁感应强度为由于er与dl垂直，则dB的方向如图3-3所示。以圆心为坐标原点，建立图示坐标系。由于对称性，电流元（Idl）直径的另一端的电流元也在P点产生磁场，它们在垂直于z的方向上互相抵消,而在z方向上投影相同,故可写出dB的分量形式方向沿z正方向.由此可以推出圆心(z=0)处的磁感应强度3.2.1真空中的安培环路定律§3-2安培环路定律在真空中的磁场中，沿任意闭合回路磁感应强度的线积分(环量)等于穿过此回路的电流总值乘以μ0,即和号中的各电流通过回路的方向与l的饶行方向之间若符合右手螺旋关系，则电流取正号，反之取负号。这称为安培环路定律。应用安培环路定律能比较简单地求出某些对称条件下的磁感应强度B。

例3-3

图3-4（a）为一根无限长同轴电缆的截面，芯线通有均匀分布的电流I，外皮通有量值相同但方向相反的电流，试求各部分的磁感应强度。图3-4（a）

解：这是一个平行平面磁场，磁场的分布与电缆的长度无关，也和φ角无关。根据图中给定的电流方向，用右手螺旋法则判断B线应是反时针方向的同心圆。当ρ＜R1时，内导体中电流密度取一半径小于R1的圆周为积分回路，则穿过圆面积的电流I’为根据安培环路定律当R1＜ρ＜R2时，以ρ为半径，取一圆周为积分回路，应用安培环路定律，得当R2＜ρ＜R3时，采用同样的方法，这时穿过半径为ρ的圆面积的电流为：应用安培环路定律，得图3-4（b）

对于电缆外（ρ＞R3处），I”’=0，则Bφ=0。Bφ随ρ变化的曲线，如图3-4（b）所示。

请同学自己用安培环路定律验证一载流I的无限长直导线外任一点的磁感应强度为为探讨任意磁介质中的磁场强度与电流之间的关系必须先讨论媒质的磁化。3.2.2媒质的磁化物质内部由于带电粒子不断地自旋及作轨道运动，形成许多微小的分子电流。每个分子电流相当于一个磁偶极子，产生磁矩一个分子磁矩定义为m=IS，如图3-5所示。mdSI图3-5在无外磁场作用时，这些分子电流产生的磁矩m的方向杂乱无章，宏观地看它们产生的磁场互相抵消，因此对外不显磁性。一旦磁介质被放入外磁场中，分子电流因受到外磁场的作用而作有规则的排列，从而显出磁性。我们称这时的物(媒)质处于磁化状态.我们用磁化强度矢量M来表示物质磁化的程度。它定义为单位体积中磁矩的总和，即M的单位是安/米。它与电介质中的极化强度P相对应既然极化的结果产生束缚电荷。那么，磁化的结果必然产生束缚电流，称为磁化电流。这是由于媒质的磁化，使媒质中出现的宏观的附加电流。仿照静电场中极化电荷密度和极化强度矢量之间关系的推导，可以导得磁化后物质中体电流密度和面电流密度与磁化强度之间的关系为：在计算有导磁媒质存在时的磁感应强度时，只要把磁化电流的这两种密度考虑进去，与自由电流一起计算它们在真空中产生的磁感应强度即可。按照磁化电流同样要产生磁场的观点，在磁介质中就有：式中I表示自由电流，Im为磁化后引起的电流，l为任意的闭合路径。考虑到穿过l所围面积的磁化电流：对等号右边第二项应用斯托克斯定理，得：令：，并称为磁场强度，则上式成为：在各向同性的磁介质中，M与H同向，且成正比，即Χm是一个称为磁化率的纯数。此时在各向不同性的磁介质里，M与H不一定同向，所以，μ也不是标量了。

如果穿过回路l所限定面积的自由电流不止一个，则这就是一般形式的安培环路定律的表达式。

例3-4

磁导率为μ，半径为a的无限长导磁媒质圆柱，其中心有无限长的线电流I，圆柱外是空气。求圆柱内外的磁感应强度、磁场强度和磁化强度。

解：先利用安培环路定律求磁场强度。以线电流I为轴线，作半径为ρ的圆周为安培环路，在ρ＞0的空间区域当0＜ρ＜a时当ρ＞a时§3-3恒定磁场的基本方程·分界面上的衔接条件3.3.1磁通连续性原理我们把穿过磁场中一个给定曲面S的磁感应强度通量称为磁通，即根据毕奥—沙伐定律可以证明：穿过任意闭合面的磁通代数和恒等于零，即在国际单位制中，磁通的单位是韦伯（Wb），即伏·秒.此式称为磁通连续性原理，是以前磁路计算时的重要关系之一。它反映了磁感应线一定是闭合曲线，不象电力线那样由正电荷发出终止于负电荷。应用高斯散度定理于磁通连续性方程从而有：它表明恒定磁场是一个无源（散）场。

根据毕奥—沙伐定律证明：可改写成因为（1）（2）（3）（1）、（2）式中（x,y,z）为场点的坐标；（x’,y’,z’）为源点的坐标。对（2）式取散度,有（4）应用矢量恒等式则（4）式积分号内的矢量运算可表示为（5）（6）因为对（2）式取散度是对场点坐标（x,y,z）作微分运算，所以（6）式中的；又因任意标量函数的梯度的旋度恒等于零，所以，（6）式中的第二项也为零。故有即（7）（8）由高斯变换得（9）（10）（8）、（10）两式分别为恒定磁场基本方程之一的微分形式和积分形式，它们表示磁感应强度B是无散或无源场，即磁感应线是无头无尾的闭合线3.3.2恒定磁场的基本方程磁通连续性原理和安培环路定律表征了恒定磁场的基本性质它们是恒定磁场基本方程的积分形式：将斯托克斯定理应用于安培环路定律，并用J的面积分表示自由电流，得：式中的两个面积分是对同一个表面进行的，因此表明电流是引起磁场的涡旋源，故磁场是有旋场。

上二式并称为恒定磁场基本方程的微分形式。表明恒定磁场是无源有旋场。

B和H这两个场量的关系是：对于各向同性的线性介质两种媒质分界面上的衔接条件是磁场基本方程的积分形式在分界面处的具体表现。它在磁场的定解问题中起着十分重要的作用。

●首先，根据安培环路定律研究边界处的磁场。在边界处作一小的矩形闭合曲线，它的长边Δl1与分界面平行，并分别在界面两侧；短边Δl2与分界面垂直，且Δl2→0，考虑分界面上存在面电流，如图3-6，则有：3.3.3分界面上的衔接条件μ1μ2α1α2Δl2Δl1H1nH1tH2nH2tH1H2图3-6即还可写成面电流密度K的正方向与H1t的饶行方向符合右手螺旋关系。写成矢量形式为μ1μ2α1α2Δl2Δl1H1nH1tH2nH2t图3-6若分界面上无面电流，则

H1t=H2t表明磁场强度的切线分量在界面处是连续的。但磁感应强度的切线分量是不连续的。其中为分界面上从媒质1指向媒质2的法线方向单位矢量。

●其次，根据磁通连续性原理研究边界处的磁场。在边界处作一扁的柱形闭合面，它的底面积为ΔS，分别在界面两侧并与界面平行；高Δl→0，如图3-7所示。对这个小闭合面应用磁通连续性原理，可得还可以写成Δlμ1μ2β1β2ΔS图3-7写成矢量形式为

与静电场类似，如果两种媒质均匀而且各向同性，则有：α1=β1

，α2=β2，可得磁场的折射定律为：Δlμ1μ2β1β2ΔS图3-7

可见，磁感应强度的法线分量是连续的，而磁场强度的法线分量则不连续

例3-5

设y=0平面是两种媒质的分界面。在y＞0处媒质的磁导率μ1=5μ0；在y＜0处，媒质的磁导率μ2=3μ0。设已知分界面上无电流分布，且H2=（10ex+20ey）A/m，求B2、B1和H1。

解：对于B2可以直接写出

B2=μ2H2=3μ0H2=μ0（30ex+60ey）T由于分界面上无面电流密度（K=0），因此H1x=H1t=H2t=10B1y=B1n=B2n=60μ0可求得因此B1=μ0（50ex+60ey）TH1=（10ex+12ey）A/m，

根据场论，如果一个矢量函数的散度恒等于零，则这个矢量函数可以用另外一个矢量函数的旋度来表示。在磁场中，由于矢量函数B的散度恒等于零，我们可以用另外一个矢量函数A的旋度来表示B，即A叫做矢量磁位。§3-4磁矢位·恒定磁场的边值问题3.4.1磁矢位把上式代入中，并考虑到各向同性的线性媒质中，可得由向量恒等式则有：例如，若令则有即A’和A对应于同一磁场B。这是由于只规定了A的旋度。而要确定一个向量，必须同时规定它的散度和旋度，因此，还应规定A的散度，为了方便起见，可补充规定这样便得到A的微分方程为：这就是矢量磁位的泊松方程。在电流密度δ=0处，向量磁位满足拉普拉斯方程。上式相当于三个标量泊松方程，在直角坐标系中它们是参照静电场中泊松方程的解答形式，当电流分布在有限空间且规定无限远处矢量磁位的量值为零时，上列各式的解答分别是将以上三式合并，即得对于不同形式的电流分布引起的矢量磁位，还可写成或

例3-6应用磁矢位分析真空中磁偶极子的磁场

解：设磁偶极子是一面积很小的任意形状的平面回路，它被置于xoy平面上，如图3-8所示，我们考虑的是与回路尺度相比很远处的磁场，根据公式，任一点的磁矢位可写成：根据矢量积分公式则利用关系式可将上式写成IOzyxRrA图3-8磁偶极子的磁场由于磁偶极子的尺度远小于到场点的距离，R≈r，eR≈er，因而上式可以写成代入A中可得磁矢位的各分量为转换到球坐标系A的各分量是所以令m=IS为偶极子的磁矩，可将上面的磁矢位A和磁感应强度B写成矢量形式

例3-7双线输电线的磁场

解：设输电线之间距离为2b（图3-9），欲求空间任意一点P的矢量磁位,此点与两导线之间的距离各为ρ1及ρ2。由于导线上各处电流密度方向均相同，故P点的矢量磁位也具有与载流导线相同的方向。

应用公式：计算P点的矢量磁位为：xyz2bzdz0IIρ1ρ2R1(0,-b,0)(0,b,0)P图3-9式中的ρ1和ρ2分别是场点到两导线的垂直距离所以：由便可算出3.4.2磁矢位的边值问题分界面上的衔接条件，也可应用矢量磁位表示，它们是：推导方法与前面推导其它场量的衔接条件方法一样（同学自己看书）。我们可以从反面来理解其合理性，如果矢量磁位不连续，则磁感应强度和磁场强度将趋向无限大，这显然不合理。由磁矢位所满足的泊松方程和分界面上的衔接条件以及场域边界上给定的边界条件一起构成了描述恒定磁场的边值问题。

例3-8一半径为a的长直圆柱导体通有电流，电流密度J=Jzez。求导体内外的磁矢位（导体内外媒质的磁导率均为μ0）zxya图3-10

解：磁矢位在导体内外满足微分方程且由于对称性，A=Azez，Az仅为ρ的函数，即当ρ≥a时当ρ≤a时满足的边界条件是代入边界条件，当ρ→0，A1为有限值，故应有C1=0。当ρ=a时，A1=0，故当ρ=a时，A1=A2=0，故C4=－C3lna所以再利用磁感应强度ρ≥aρ≤a★用向量磁位计算磁通在上式中应用了斯托克斯定理，l是沿面积S的边缘的闭合曲线。因为磁通量Φ的单位是韦伯，所以A的单位是韦伯/米。在计算磁通量时，计算A的闭合线积分往往比计算B的面积分更方便。式中φm是一个标量位函数，称为标量磁位。在国际单位制中，磁位的单位是A(安)。标量磁位φm只在形式上与电位φ类似,它是一个辅助量,不象电位φ那样具有物理意义。由方程，磁场不是无旋场。因此，一般来说，不能同静电场一样用一个标量位函数来表示磁场的特性。但是，在没有传导电流（J=0）的区域内，H的旋度处处等于零。所以在J=0的区域，也可以假设§3-5磁位3.5.1磁位式中O为参考点，参考点的磁位φmo=0，而点之间的磁压降为仿照静电场，任一点A上的磁位为:

φm是多值函数。这一点可说明如下：由磁位的定义式：某点A的标量磁位φm等于该点到参考点O之间H的线积分，这个积分值与积分的路径有关。Il2l1OA图3-11如图3-11所示，设：因为：所以：可见结果相差了I。这是由于途径2穿过了电流回路所致。如果积分途径穿过电流回路k次,其结果将相差kI，故φm是多值的。为了克服这个困难，可限制积分途径不得穿过电流回路(可设想在电流回路上蒙上一层隔膜称为磁障碍面不让积分途径回路穿过)。在实际问题中我们默认这个限制的存在，则φm即为单值函数。在均匀媒质中，由于有可以得出由于媒质是均匀的，μ是常数，因此磁场的微分方程组简化为φm的拉普拉斯方程。3.5.2磁位的边值问题在没有传导电流的分界面上，H1t=H2t和B1n=B2n可用标量磁位表示。分析方法同静电场电位的边界条件一样，它们是R1R2φm1φm2图3-12例3-9

设有同心圆筒形磁极，如图3-12，求两磁极间气隙中的磁场及气隙磁导。已知内磁极半径为R1，外磁极内半径为R2，磁位分别为φm1和φm2。解：取圆柱坐标系，以圆柱形磁极的轴为z轴，略去两端的边缘效应，可得：φm=φm(r)解之得：φm=C1lnρ+C2由边界条件得：

ρ=R1,φm(R1)=C1lnR1+C2=φm1

ρ=R2,φm(R2)=C1lnR2+C2=φm2解得：故得：因，故磁通Φ为可见，φ的边值问题与对应的电位的边值问题是类似的。磁导的计算，类似于静电场中电容的计算，两者可以相互比拟。磁导：

最后,在结束本节时，我们把引入标量磁位φm和向量磁位A分析磁场问题的重要结果列于下表，供学习时参考。为了便于比较，把电位的有关结果也列在表中。位函数φφmA引入位函数的根据位函数与场量的关系位函数的方程位函数φφm场源公式A偶极子的位函数介质的影响§3-6镜象法

在静电场中曾经介绍了镜象法的概念，它是用镜象电荷来代替分布的感应电荷或极化电荷的作用，从而比较方便地找到符合边界条件的解的方法。这种分析问题的思路和方法的理论根据是”唯一性定理“，同样可以运用于磁场问题，即用”镜象电流“来代替分布的磁化电流的作用而简化求解，称为磁场的镜象法。

具有不同磁导率μ1、μ2的两种媒质，如果分界面为无限大平面，在μ1媒质中有一与分界面平行的电流I[图3-13（a）]，要求两种媒质中的磁场，可用镜象法求解。在求μ1中磁场时，可把μ2换成μ1，而用I’代替μ2对μ1的作用[图3-13（b）]；在求μ2中磁场时，可把μ1换成μ2，而用I“代(b)μ1μ1aaaII’rrααμ1aμ2I(a)μ2μ2I”arα(c)图3-13替μ1对μ2和I的作用[图3-13（c）]。根据边界条件H1t=H2t可得:再由B1n=B2n可得（1）、（2）两式联立，解得只要按照以上二式来设置镜象电流，就可按照图3-7来计算两种磁介质中的磁场。其计算结果能够满足两种磁介质中的微分方程，以及两种磁介质分界面上的边界条件，故为正确解答。◆两种特殊情况

1.当μ1=μ0，μ2→∞（铁磁物质）时，则有这时，铁磁物质内的磁场强度H2到处为零，但磁感应强度B2并不为零2.当μ1→∞，μ2=μ0时，有：这种情况是将载流导线置于铁磁物质中，可见空气中的磁感应强度比铁磁物质不存在时，增大了一倍。◆类比法

在边值问题的分析计算中，根据位场解答的唯一性定理，可采用类比的方法。即：各种物理场，不论它们所对应物理量的意义是否相同，只要它们具有相同的数学描述，也就是说，具有相似的微分方程和相似的边值,则它们的解答在形式上必完全相似。因而,在理论计算时,我们可以把某一位场的分析计算结果,推广到一切相似的位场中去.对上述磁场的镜象法,也可采用类比法。根据静电场中镜象电荷的计算公式，考虑到有关对应量，以1/μ1代替ε1，1/μ2代替ε2，以I代替τ，即可得到镜象电流的计算公式。§3-7电感3.7.1自感

考虑一个闭合的导体回路l，其中通过的电流为I。由于I在空间产生了磁场，便有磁通φ穿过l。当空间不存在非线性磁化物质时，磁场以及磁通和电流成正比，可以写成

φ=LI如果回路是由n匝导线构成，各匝的磁通都为φ，则穿过n匝回路的总磁通为ΨL=nφ，ΨL通常称为全磁通或磁链。此时

ΨL=LIL=ΨL/IL是和回路l的形状、大小以及空间媒质的磁化性能有关的常数，称为回路的自感系数。在国际单位制中,它的单位是亨利（H）。

例3-10计算长为l的同轴电缆的自感图3-14

解:如图3-14所示，设构成电缆的所有材料的磁导率均为μ0，外壳厚度忽略不计，认为R2≈R3，电缆中通过的电流为I，且在导体中均匀分布，则内导体中的电流密度

先求内磁链，由安培环路定律，可求得在内导体中穿过轴向长度为l，宽为dρ的面元上的元磁通为求磁链时，与dΦi相交链的电流不是I，仅是它的一部分，即因此，与dΦi相对应的元磁链为内导体中总的自感磁链为由此可得内自感这里注意，内自感的值仅与圆导线的长度有关，而与半径无关。当R1≤ρ≤R2时，由安培环路定律，可得外自感为当ρ＞R2（R3）时，B=0，无磁场，故总电感

若外壳厚度不能忽略，即R3≠R2时，只要再计算外壳层的内自感，与前面所计算出的电感相加即可当R2≤ρ≤R3时，也可由安培环路定律得这时与电流交链的磁链则外壳导体的内自感为此时电缆的总电感

例3-11求图3-15所示二线传输线的自感。DlIIBxxdxR图3-15

解：导线尺寸如图所示，并由非铁磁材料制成。同样分为内自感和外自感。在计算外磁链时，可认为电流集中在几何轴线上，在距左轴线x处的磁场强度为：图3-16RRD+I-IabxdxBx穿过面元ldx的磁通dΦm=Bldx，故外磁链

(图中a、b之间的磁通)所以：

对于内自感Li。设导线回路的尺寸D>>R，导体内的磁场将与单根无限长直导线内的磁场相接近，则二根导线的内自感为:由此得二线传输线的自感为现在考虑两个回路之间的互感问题，设有两个回路1和2，在1回路中通以电流I1，在空间产生了磁场，便有磁链穿过2回路。当空间不存在磁化物质时，磁链ψ21是与I1成正比的，可写为

ψ21=M21I1或M21=ψ21/I1M21是与回路的形状、大小、相互位置以及空间媒质的磁性能有关的常数，称为回路2和回路1之间(回路1对回路2)的互感(系数)。[下标第一个数字表示与磁通交链的回路，第二个数字表示引起磁通的电流回]3.7.2互感

同理：回路1和回路2的互感（系数）可表示成

M12=ψ12/I2并且可以证明M12=M21

例3-12求图3-17所示传输线的电感，图中AB表示一对传输线，CD表示一对传输线。DACDADDBCDBDABCDD’C’图3-17

解：设AB传输线中有电流I，由于电流I的对外作用中心线即为几何轴线，因此导线A中的电流所产生的与CD对传输线有关的互感磁链应为同理导线B中的电流所产生的与CD对传输线所交链的互感磁链为由于这两部分磁通方向相同，总的互感磁链为从而得互感为电感的计算：计算电感可以通过下面四种途径进行4.类比法

在磁导率为μ的均匀媒质的平行平面磁场中，一个均匀载流导体系统每单位长度的外电感

Le’，与相应的（即同样几何条件）介电常数为ε的均匀媒质的平行平面电场中每单位长度的电容C’之间，有简单的关系：

Le’C’=με如果已知电容C’，就能很快得到电感Le’。3.7.3聂以曼公式设有二导线回路l1、l2如图3-9，我们来计算它们之间的互感。设回路1中通以电流I1，则由此引起的空间各点的向量磁位为：R图3-18由于这个磁场引起的穿过回路l2的磁通，可由关系式计算。将A的表达式代入，便得由回路1中电流I1产生而和回路2相交链的互感磁链为。所以：此式称为聂以曼公式（Neumann’sFormula）

如果我们令l2中电流为I2，求它引起的穿过l1的磁通φ12,则可求得说明互感系数是符合互易特性的。若回路1、2分别由N1和N2匝的细导线紧密绕制而成，则互感为：

再来计算单匝回路的自感系数。设回路中通以电流I，我们来计算由此而产生的通过回路的磁通。如前所述，可以把磁通分成外磁通和内磁通两部分。在计算外磁通时，可以认为电流是集中在导线的轴线l1上，而磁通则是穿过导线内侧边线l2所限面积的磁通。如图3-19所示。故得：Idl1l1l2dl2R图3-19所以对于匝数等于N的紧密绕制的线形回路来说，其外自感应等于至于内电感，可以按前面给出的公式计算，所以通常线形回路的内自感远小于外自感，所以它的自感为§3-8磁场能量与力首先讨论两个电流回路产生的磁场能量。假设在真空中有两个导线回路l1和l2，它们的电流分别为i1和i2，开始时电流为零,最终电流分别为I1和I2。同时,空间各点的磁场也由零增加到最后的恒定值。根据能量守恒定律,使电流增加的各外电源所做的功的总和应等于恒定磁场的能量。我们假设上述过程分两步完成：第一步,维持i2=0,使i1先从零增加到I1;第二步,维持I1不变,再使i2从零增加到I2。3.8.1恒定磁场中的能量

先看第一步，如图3-20，当i1有增量di1时，周围的磁场有所改变，l1和l2两回路的磁链就分别有增量dψ11和dψ21，在该回路中分别有感应电动势B1l1i1i2=0l2图3-20ε11ε21ψ11ψ21和因此要使i1在dt时间内改变di1必须在回路l1中加电压u11=-ε11。在回路2中也必须加电压u21=-ε21以维持i2=0。这样在dt时间内，外源需作功：由于回路l2中的电流维持为零，故对回路l2不需作功。可见使电流i1由零增大到I1，外源作的功为

再看第二步，如图3-21所示，要维持I1不再变化，并使i2从零增加到I2。当i2在dt时间内有增量di2时，则两回路的磁链分别有增量dψ12和dψ22，在两回路中分别有感应电动势:I1l1B2l2i2图3-21ε12ψ12ε22ψ22为了维持I1不变，必须在l1中加一个电压u12=-ε12去抵消由于i2变化所产生的感应电动势。同时，为了使i2能够增加di2，必须在l2中加一个电压u22=-ε22去抵消自感电动势。总之，在dt时间内，外源在两个回路中所作的功分别是：这样，维持I1不变，并使i2从零增加到I2的过程中，外电源所作的功是：

建立整个回路系统，外电源所作的总功应为上述两步之和。根据能量守恒定律，所作的全部功都转换为两个恒定电流回路系统的磁场能量，即

我们可以把上式改写成以下形式：上式中的ψ1和ψ2分别是穿过回路l1和l2的总磁链（自感磁链与互感磁链之代数和）。

如果空间有N个电流回路，则这个系统的磁场能量由上式推广得到3.8.2磁场能量的分布及其密度上式是计算N个电流回路系统总磁能的公式。这个公式容易给人一个印象，似乎磁能是集中在有电流的导体内和回路所包围的面积上。单实验指出,如果在这些回路之外再引入一个试探电流回路,它将受到作用力而运动。这说明,磁场能量储存于磁场存在的空间,即在磁场不为零的地方就存在磁能.因此,我们还必须从上式出发寻找能量与磁场B、H的关系。在N个电流回路的磁场中，穿过第个k电流回路的总磁链可表示为：上式中的lk是第k个回路的周长，Sk是lk所围的面积，B、A是所有电流（包括Ik）所产生的。代入磁场能量公式，可得为了使磁场能量的表示式更有普遍性，设系统的电流分布在一个有限的体积V内，可用J·dV来代替Ikdl，用体积分来代替∑∮l，则有：上式中利用了恒定磁场的安培环路定律再应用向量恒等式[书上P.334倒数第一行]又考虑到在恒定磁场中，代入可得：但根据高斯散度定理：其中S是包围整个空间V的闭合面，S取得很大，不会影响积分的数值，因为在电流回路不存在的区域里J=0，这部分的积分数值为零。这里的积分范围是全部有磁场的空间。也就是说，凡是磁场不为零的空间都储存着磁场能量。由此可得磁场能量的体密度为在各向同性的线性介质中，B=μH，则在单一回路的情况下，磁场能量可表示成据此，可通过磁场能量求得自感：这是第三种计算电感的途径。

例3-13求长度为l，内外导体半径分别为R1和R2（外导体很薄）的同轴电缆，通有电流I时，电缆所具有的磁场能量(两导体间媒质的磁导率为μ0)。[书上P.129例3-15]

解：当ρ＜R1时R1＜ρ＜R2时，ρ＞R2时，同轴电缆的电感3.8.3磁场