高中数学函数极点与极线探秘

2002222202200学习数学领悟数学秒杀数学2002222202200极点与极探秘第讲极点和线定及点极的图

第四章圆锥曲线极与线高几中重概，然是高数课标准规的习容也属高考查范，由极与线圆曲的种本征因此高试中然有反，然也成高试的题景作一中数教，当解点极的念掌有极点极的本质只这，才“破试中含有极与线知背，而握命规.一极点和线定和质在锥线程，替换x0

x，02

替x，

y0

替

y

2

，

y2

替

，可到Px,的极线方程．已知圆锥曲线00

Cy

Dx，称点P(xy)和直线l:AxCyyD(x)(y)0是圆曲一对点极.从义们同考讨几问:．若

()

在圆，其应极是么椭的个点对的线别什?（）于圆x,对的极方为

xya

当为其00点(,极

xa

yb

变成

ac

是椭的准于曲与点P(对的线程

xa

yb

；当,y)为焦F(,0)时，线0

xa

yb

变成

ac

，是曲的准（对抛线px，点)应极线程yp(x)．x,y)为000其点F(

pp0)时，线ypx)为，恰抛线准．22过椭圆（、）意点

(,y)0

，何出应极？（）点P在圆曲时，极时线点P点处切；（）点P时极l时曲点P所引两切的点确的（切弦所的线（）点P时其线l时曲线点P的任割两点的线点轨．为表方，们出锥线部外的义圆椭是封图其部外很界，物线双线是闭是的对曲和物的部外给出下义焦所的面域为该线内，含点平区称曲的部曲上点既在部不外．注：明写程参下讲抛线线阿米三形》的导差代联即，里不详。二极点与线作（何义如1，是在锥线的点过P点引条线次圆曲线四E,H，连EH,FG交N，接,FH交M，直为对的线若P圆曲上点则点的线为线由1同可，PM为N对的线为点M所对的线因将称为自三形设线交圆曲于B两，PA恰圆曲的条线.

22学习数学领悟数学秒杀数学22

第四章圆锥曲线F

N

H

G

Q

M图1如2点P关于锥线极为

l

图点P任作割交,Bl则

PB；反，有成，称,调分线AB，称与Q关于

调共，称P(或

关于锥线的调共点点Q(或点P).点P关于锥线调共点一直线这条线是点P的极.注：于割调分问，《1》定点法解点极中阐，以参。图配原：P关于锥线的极p点点于极q经过P;直关于的极在线上直线关极Q在直．由可，线的线共；点线极必线极极垂定:图3设锥线一焦为，与相的线l．（）过的直与锥线交M两，M,两处切的点在准且MN;

l

上（）过线l一Q作锥线的条线切分为M，则线MN过焦点，且FQMN；（）过点F的线圆曲交M,点过F作FQMN交准线l于，则线,是圆曲两切．注：点极一在题直用爽但在题，于不中的本围，本都法直使，么答中们给思，多写程是考之提的线分阿米三形写，线写或定点写．三极极的用求切线切弦程题【1（2013山）3圆(的两切，点别、则直的程（）．xy

．y

．xy

Dy

20012b222122学习数学领悟数学秒杀数学20012b222122

第四章圆锥曲线【析法：为点(3,1)作圆(x的条线切分为A，B所圆一切方为y切点一，然B、D项过(1,1)，B不满题；另个点坐在(1,1)的侧所以线斜为，项不满，A满足故：A．法：点AB所的线是3应极，其程即y．选Ax【2•武模）过圆内一M，直AB与椭交点，作线CD259与圆于，，，B分别椭的线于点P过C，分作圆切交点求所在直方．【析过点A、CD切方为别l:

yyyyyyl:l:259259

，l

:

yyD因Px，y)在，PB则25

xyxy，这表A，y)，25259xyxy(，)，在线，理所在的线程，为直，交2593x3xx于，所，，所PQ所的线程25925

．本实就求圆

x32内点M2)对应的线程、Q所在直方为．259讨论直与锥线位关【32010•湖北）已椭C:

xxy两焦FF，()满022

y，PFPF的值围直1

x02

y与椭C的公点数．0【析依意，P在椭圆部与点重．画图，椭方得，数结可，当P点在段F上原时(||PF|)

，在椭圆时|)

2a2，故|

的值围22)．由意，点P(y)和线0

x02

恰是圆一极0和线因点P在椭内所极与圆离，极与圆共的数零【42009•安已点P(x,y)椭0

sin0

，，2直l与线l:2

xyab

垂直为标点，线OP的斜角直l的斜为2

．明点P是椭

与直l的一交．bxy【析Ⅰ由

y，得y

2y2)，代椭，2b2

学习数学领悟数学秒杀数学

第四章圆锥曲线()x，将ayay

sin

，入式得

cos

，从xcos

yyxyb

有一

，直l

与圆唯交P．易(xy)直l是椭的对点线(y)在圆所直l椭相与即0100是圆l:

xyab

与线l唯一点1yb（）tanl的斜率xa，tantan构等比列.最问

，此tantan，b【5（2018•安徽末已知圆

C

的程

x，过线l:上任意点，椭的4两切，点别A，，则点直离最值．【析法：A，y)(x，)，Q(4,y)，椭

2a在(，)处的线b2程：

xxxyyxx，直QA的程，直线QB的方：，由线，b33线QB过，将代入直QA，直B方程3yy，3，(x，)，B(，)1分为程3的直的程令直线恒过点(1,0)当直线AB的斜率不存时，直线AB的方程(x，O到线AB的距离d

k|1

11，当线斜不在，直AB的方，原到线11距离为1，故案：．法：点AB是点Q对的极，点

的标知线的程

4，43x

my3

因直椭焦点1,，所原到线的离最大为1．【6（•诸市期）知圆C:

xy2a的左点右点别，F右线a为线，D:x

y（）点A在圆，椭C的离率

32

，椭的方；（）直m上存在使等三形求圆的心的取范；（）若点在（）中的圆上且点P作D的条线切分为求长的

学习数学领悟数学秒杀数学取范．

第四章圆锥曲线【析）对x

y，令，则．以(，a，因，e

c3，a所，3，

2，椭圆C方为y

2

．a（）由图知AFQ为腰三角形aAF，所以cac，2，c(2e又，所

11，椭离心取范为(2

．（）法连交于H，DM，则由圆几性知H为的点DM，MNPD．MH

22PDMDMD21PDPD

，D:

，MD13，MN

PD

，P，)

x，4

y

，PD

y3)

y

y

16(y13

，以，0

392

．法思切弦程自证完点P为椭上点点P(2

,sin

对应极即点弦MN）方为2x

sin

2

由圆D:x

y的圆为，径，弦距

]，显然MN

]，以0MN

392

．直线过点定线题【72019•武汉期设P是直l:2y上的一过作x

的两切、，切分为A、B，则直恒过点．【析法：为是线l:2xy上任点所设m，于x

的两切、PB，点别、，以OA，OBPB，点A、在以为径圆，ABmm是和的公共，圆的坐是(，)，半径平是r

2

m2(24

2

，所圆的方程是

mmm2m)2)222

2

，又x

，②，②①得，m即公弦所在直方是：mxm)9)，由得，，所直恒过点(，故案：(．yy法：点P的坐为(m,，为对的线直，其程mx，整得(x，，见线过,故案：(

222学习数学领悟数学秒杀数学222

第四章圆锥曲线【2019江西拟已椭C:

2y离率，椭圆的与个b2点F，F构成三形最面为1，（）椭的方程（若为线xy上的意点点作椭圆的两切QD（点别D、)，试明直DE过定，求该点坐．22【析）解椭圆C:的离率

2椭上点P两焦F，22a2成三形最面为1，得a2，b，椭的方为a

2

．（）明设点(，y)

，(y)

，切方为xyy2，yy，两切都x上意点()，得到xm)，xy(2)，(，y)

，E(x，)

，在线)y，而对意，直mx)y始终11过点)．动线恒过定)2

．x1【9（2018福建校考已椭C长长4，离率点P是椭圆异顶的意点过做圆切l，轴点A，直l．

过P垂于l，交y轴点（）椭的程（）判以为径圆否过点若，出点标若能请明由1x【析1，，，b3．圆方为．a243（）点(x，yx，y0)，直l

的程()，代入

y2，整，

)

()x)

．

x是方的个等根x

k()，解k

x．直l的方为y

y

(令x，得A的坐为(0,

x

)．又

x4

4y

．点A的坐为(0,

y

)．又线l

的程y

y(x)，令，得B的标(0,0)．

422yM学习数学领悟数学秒杀数学422yM

第四章圆锥曲线以为直的的程xy

yy3)(．理得)y．y33y令，得，为直的恒定(1,0)(．xy利极极整一思：(x)(x0,y0)，据线程可直l的方程0，03所点的标为)又直线ly

的程

43x

()，令，点B坐标(0,

)所3以AB为直的方程y))（的径程(x)(y)，y其x,和B,y)为圆的条径两端，理xy12

y3)0)，y，33得所以以为直径圆过点和(．证明直交在直上【（2015南开一）知圆C:0)与y轴的点A，（A位于的2上，

F左点原O直距离为

．（）椭C的心；（），线y与椭C交不的点M，N，求：线M与线AN的交在定直上【析1由意F的标(，依意bc

22ab，椭圆离率e22

．x22（）一若b，由Ⅰ），椭圆方为．联方组8

yykx化得xkx24，△，得：k2

由达理：xM

①

②M(，kx，(x，4)，kxMB方程：yMx

kx2(kx)x③方程：y，，由③④得MMxxM

kkkx)2()k2k2kkxxkk

即，直线BM与直的点G定直线．法：线法若，由1得，圆程

y2．设l

:，

l

BM

:yx2

，l

:y+4，

l

:x0AB

，以AMBN四点曲系程(xykx(kx4)84xy的数0；系为0u；

22942294

第四章圆锥曲线l

:，

l

BM

:yx2

相可得，y=

kx12

，减以到

k012联可，点在定线y上极极原：圆程

y2．线（）与线ABy轴的点S0,4直线AM与直的点则，构椭圆自三形故点一定点极线上其程

4即y，是直BM与线AN的交点G在直上．【2018太原拟知圆C:

2ya的右点别，A焦为F，b2点(1,)

在圆上．（）椭方；（）直l:(k0)与椭C交M，两，已直M与A相交点G，明点G在直上并出直的程y【析F(1,0)由目已条知椭圆的程：；143（）一由圆称知G在x，设线l

过圆顶，M3)，k

33333N()，l:(2),l:(，)，所G在定线x上．4522(x当不椭圆点设M(x，)N(x，)，

整理)xx64k，所12

32k23k

2

x12

64k3k

，l:y

y(2),l:yxx

(，当x，

3xx

，xxx)，以2

642kk2k2

8(3k2k

)

，所以G在直上法：线法设l

:

l

A

:xy

，l

:y(，

l

:y0以AMA四曲系程[x2)][(y[k]12xy的数0y的数为，kk；

4l

M

:，l

:相加以到2x

ky12

，减以到

ky12联可，即在定线上．极极原由直l:yx经过P设线相交于则直GH在点P1所应极上点对应极方

4，即，点G顶点．43

2222学习数学领悟数学秒杀数学2222达标训练

第四章圆锥曲线2018•兰州考过P,4)作圆x

2

y

2

的两切，点别，则所在直线方为）．y

．3x

．3x

D3x（2018•蚌埠模已F椭圆与点B，则线BF的率（）

x的右点过的直线椭在上方相4．

12

．

23

．

D

432014•辽宁已点A(,抛线：的准上过点A的直与在第象相与，记C焦，则线BF的斜为．

12．2

．

34

D

43．若点,3)作圆

2

2

的切，两所在线程_____．（2018•深圳末对抛线Cy，我称足y2l:y物（）00

20

的x,抛物线内，直0．恰1个共B．有2个共．可有个公也能2个共．有共x．已知为2y上一点过P作椭圆的条线切点别B，当P运动4时直AB过点该点坐是．（2011•希杯从线l:

y上任一作O：的两条线切为、B则4弦度最值．（2019通州期）已点P是抛线上一动，点作两条线切点别，N，则段MN长的小为．点()在圆:

2

上且cos

sin

x0直l直l:2

yy垂，为坐原，线的斜为，直l的倾角为．

学习数学领悟数学秒杀数学

第四章圆锥曲线（）明点P是椭圆:

与直l

的一共；（）明tan，tan成比列•福建卷已直l:y，R．（）以(2,0)为圆的与线l

相于P且在y轴，该圆方；（）直l

关轴对的线l

，直l物:

y是否切说理．•徐州期）知C:xy有以性：过C一M(，y)的的线程yr②M(x，y)为一，M作圆两条切，点别，，则线AB的程xxy；③不坐轴的Mx，y)为圆C外点国M作圆C的条线切点分为，B，则垂直AB，即k

k

且OM平分段．（）类上有结，猜过圆Ca0)上一点M(x，)切方（不证，b2（）椭

0)外一M(x，y)两线与圆切，B两，过A，b两的线程（）过圆C外点M(x，)(M不在标上作直，与圆切A，0点，求k

为定，OM平分段．

学习数学领悟数学秒杀数学

第四章圆锥曲线y22010江苏在平直坐系xOy中，已知圆的左右顶为A、右点F．过(t,m的线TA、椭分别于(,)

、N(,)

，中y，y．（）动满PF

PB

，点P的轨；（），2

13

，点的坐；（）t，求：线必

轴的定（坐与无．•咸阳二）知A(B,是动，直和线的斜之为

34

．（）动C轨迹方；（）至线l（中迹切点P与线相较点,断为直的是过轴一定.•常德期）知是:y内点直l:y．（）圆的弦AB恰被P平分求所在线方；（）过P作圆O的条相直弦EF，GH，求边EGFH的积最值（）k

12

，Q是l

上动，Q作O的两切，点别C，D．证：线CD过点

学习数学领悟数学秒杀数学•四川椭有顶A0)、B，其点(0的线l

第四章圆锥曲线与圆于C、D两，并与

轴于P．直直交点Q（）CD

32

2时，求线l

的程（）点P于、B两点时求：为定．•南一）、焦分为F、F的椭2

x220)经点Q3)，P为椭ab2圆一，的重为G，内心I，IG//FF．（）椭C的方；（）M为直x上一点过M作椭C的两条线MAMB，A、为切，直是否过点若定，出点坐；不定，说理．•深圳二）知数P,且点M

2

)的线l与线：x

2

2py交,B两．（）O为坐原，线OA的率别k，若k，p的；1212（）直MT曲C分相于T,T，点N为直T与弦AB的点且122MAMBMN证：

1

1

为值

学习数学领悟数学秒杀数学

第四章圆锥曲线•安徽）椭:（）椭的方程

220)过M2,1)且焦为（）过(4,1)的动线l

与圆C相交两同，B时，线AB上取Q，满||PB，证：总在定线．（•浦东新校级月）材有介绍：y上x，y)处的切线方程为yr

x2xy我们其结推椭的，)的线程a2b

在本时以接用已，线y与椭:1

xa

22

y

2

有只一公点（）椭的方程（设O为标点椭圆上两分别该圆两切l

l

l

与l

交点M(2,m)化，OAB面的大；（）若，是椭圆:2

22

2

上不同两，x轴，E过PP，且圆上任一都在E内，则圆E为该圆一内切．问椭是否在左点F的切？存，求圆E的坐标若存，说理．

2x学习数学领悟数学秒杀数学2x

第四章圆锥曲线【解】P(所应极方y，故B．【解析】设过点圆的另一条切线与椭圆在轴方相于点C，故点A的极线BC

43，直xy经过右点，所直BF的率4【解】已得

p2

，抛线程为

2

x，设点A作直与物C相与一点D，则过两切的线就是点对应极，方是3点A在抛线准线，焦F在A的极上B、、D三点共BFBD

43

，选．【解】点即点对的线其程1，xy．【解】于物:，点的线直l:yy极（,y）在在抛000物的部，线抛线离故D．解析】设点的坐标（，则切点弦的方程为

mx(4)y，化简得3(3xy)，令xy，可x2,y，直过定，)．4解析(8m易的线方为my)xm(2xy)可得弦AB

必

，易圆：x2上过长为2r

max

3．解圆

y4)

的心C(0,4)，径r．设(x

x

)，故方程xxy0

0

4)弦距

x

1x4

4)

1x216

，x

时，d取得最值则MN|取最值

333

．【析证明（1直线l:

xx

yy，得：y

x2xx)，椭Cy2

2

得x(4y

)．

x2cosysin

代上得：x

cos

，2

，

y方组有一

y

，

x2点P是椭:2

2

与直l

的一共．（）

22

，l的斜为，l的斜为tan

tan

，tan

，

，

构等数．

OMx学习数学领悟数学秒杀数学OMx

第四章圆锥曲线析设求的半为r则圆方可设(xr由意求与线l:x相于m)，则有

r

，得

r2

，以的程(y．（2由于直线l

的方程为ym，所以直线l

的方程为y，由

y

消去得到

x，△

m16(1)．①m时即时直l

与物C:

y相切②时，△时，直l

与物:

y不相．综，m时直l

与物:xy相切当时直l

与物Cy不相．解（1过圆

xya0)上点M(x，y)的切方为ab

（过圆C

a0)外点M(x，)作直与椭圆切AB两点设A，)

，(，y)，由1的结可A处的线程

xxxy，处切方为bb

，又切都M可

xxxx，bb

，由A，B两确一直可，AB的yy线程；abxx（证明由（2可得AB的直方为b

，可得k

，

yb2则k；xa2由，B都在圆，得

xyy，abab

(xx)(yy)()，相减得ab

，设中为(mn)得yn则k

ba

x

y，，可

，OM过AB的点即OM平线段AB．【解析】（）设点(,)，则：F、(．由PF9(xy]，化得．所点P的轨为线．21520（）xx分代椭方，及，，得M)N(，)339

2

PB

，得

又，(2,0)所以(y，学习数学领悟数学秒杀数学又，(2,0)所以(y，

第四章圆锥曲线直方程：

x1即，线方程：

x3

，55即yx．立程，得62

10，以坐标为(7,)3

．（）线法详过参上讲这介极极原理点坐为)．t9时点T的坐9，连MN交AB于，极极的义知点T对的线过K，点T的对应的线程

x，该线为与线AB交的迹当0，得x1，故线MN必经9过轴的点．解析设C,y)则题得

k

A(y0)xx42x整得y0)，动的轨迹程y43（2）法一：设直l:，与

y

联立得

4()

，即k)xkmxm，依意km)4(3)(4，即

，设线l与点C的轨交点x，y)

，，y)

，

km，，kk

P(

kmk

3mk

)

，

，P()mm

，Q(4,4k)，t,0)为为直的上点则RQ得(

34,)k)整得(t，mk由的意得t且m

t，得，综知以为直径圆轴上定点(1,0)．法：

xxy(x，)，曲点P处切PQ:，令，Q

y

)，设Rt,0)，由RQ，得(x)(4)，即(1)x

t，由的任性且tt，得t，上，PQ直的圆轴上定(1,0)．解（1由意，k

k

，，因弦AB所直方为2)，即2xy（）图设O到直线GH的离别则d

OP

r228|GHr21

四边

12

EF

)(242d)，

学习数学领悟数学秒杀数学10当时取号边形EGFH积最值112t（3）证：由题意可知C、D两在以为径的圆上Qt,

第四章圆锥曲线，则该圆的方程1x(x)y(yt，即yt．又、在:上直线的21y方为txty()由直线CD过定点(1,．22析1）椭的点y轴设圆标方为a由知，，b2所2，椭的程2，当线l与轴直与意符设直l的方为ykx，(x，y)，D(x，y)，将线l的方代椭圆方化得(kx，则x，kk|

(x)

1

(

k

k)

k3解．直l

的程2；（）题以常方和线法具体容参上讲本题究下极极性，对圆2

2

若点为点其应极过Q,Pm其极方为

y

1+mx1x=，1故设的坐标(y)，所•OQ(m,0)•(,y)1即为定1．m22解（1椭圆C:焦在x轴上且点(0,，b设PFF内切的径r，点P的坐为(，y)，则PFF重G的坐为(//FF，yr．由PFF面积得||FFr|F2

xy，

)

，即c，

2)，得a，即求椭方为椭圆程（）(，)，A(，y)，()则切，MB的方程别

xxyxxy343点M在两条线，

xxxxxx，，故线AB的方程34

．

4，222222222学习数学领悟数学秒杀数学4，222222222

第四章圆锥曲线又

xx(xy点M为直线y上，x即直线的方程可为3

整理得(3xx，

解

34

，此直过定)

．解（）设直

p的方程