机械能守恒定律

机械能守恒定律物理学的任务是发现普遍的自然规律。因为这样的规律是最简单的形式之一表现为某种物理量的不变性，所以对于守恒量的寻求不仅的合理的，而且也是极为重要的研究方向。——劳厄高三（2）班李伟峰追寻守恒量——能量相互作用的物体凭借其位置而具有的能量叫做势能：物体由于运动而具有的能量叫做动能联想：伽利略理想斜面实验功功有正负，但是标量（力对物体做正功，表示这个力是动力；反之，为阻力）；W=Flcosα，适用于计算恒力做功；可根据F与v的夹角判断功的正负；合力做的功等于各力做功的代数和.一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生了一段位移，这个力就对物体做了功力和物体在力的方向上发生的位移，是做功的两个不可缺少的因素W=Flcosα功率功率：表示做功快慢的物理量功W与完成这些功所用的时间t的比值叫做功率P=W/t单位：瓦特，符号：W额定功率：发动机正常工作时的最大输出功率；实际功率：发动机实际工作时的输出功率.关系：P实≤P额P=W/t=Flcosα/t=Fvcosαv是平均速度时，计算平均功率；v是瞬时速度时，计算瞬时功率.机车启动恒定功率启动：P不变，v↑由P=Fv得F↓由F-Ff=ma得a↓当a=0时，速度最大vm=P/F=P/Ff恒定加速度启动：a不变，v↑F-Ff=ma得F不变由P=Fv得P↑当P增大到P额时，速度达到v1，匀加速运动结束，仍有av1=P额/F，匀加速时间t1=v1/a以后v↑，由P=Fv得F↓由F-Ff=ma得a↓当a=0时，速度最大vm=P额/F=P额/Ff在如图所示的伽利略的斜面理想实验中（斜面光滑），一下说法中正确的是（）A.小球从A到B的过程中动能保持不变；B.小球从A到B的过程中势能减少；C.只有小球从B到C运动的过程中动能和势能的总和保持不变D.小球在斜面CD上运动的最大距离等于ABB如图所示，在加速向左运动的车厢中，一人用力向前推车厢（人与车厢始终保持相对静止），则下列说法正确的是（）A.人对车厢做正功；B.车厢对人做负功；C.人对车厢做负功；D.车厢对人做正功：CD解:先确定人对车厢的作用力方向和力的作用点的位移方向,这里人对车厢除有手对车厢的推力F外,还有个容易被疏忽的力:脚对车厢地板的静摩擦力F,受力分析如图所示.其中F做正功,F做负功.因为F和F大小未知,因此这两个力的总功正负难以确定.于是将研究对象转换为受力情况较简单的人,在水平方向人受到车厢壁向右的力F和车厢地板对人向左的静摩擦力F,这两个力的合力使人产生向左加速运动的加速度,合力是动力,对人做正功,表示车厢对人做正功,由牛顿第三定律知,人对车厢的作用力向右,是阻力,所以人对车厢做负功,故C、D正确.如图所示，滑轮和绳的质量及摩擦不计，用力F开始提升原来静止的质量为m=10kg的物体，以大小为a=2m/s²的加速度上升，求前3s内力F做的功.（g取10m/s²）物体受到两个力的作用：拉力F’和重力mg，由牛顿第二定律得F’-mg=ma，所以F’=m（g+a）=10×（10+2）N=120N.则F=1/2F’=60N.物体由静止开始运动，3s内的位移为X=1/2·at²=9m.方法一：力F的作用点为绳的端点，而在物体发生的9m位移的过程中，绳的端点的位移为2x=18m，所以力F做的功为W=F·2x=1080J。方法二：由于滑轮和绳的质量及摩擦不计，所以拉力F做的功和拉力F’对物体做的功相等，即WF=WF’=F’s=1080J质量为M的长木板放在光滑的水平面上，如图所示，一个质量为m的滑块以某一速度沿木板表面从A点滑至B点，在木板上前进了L，而木板前进了l.若滑块与木板间的动摩擦因数为μ，问：（1）摩擦力对滑块所做的功为多大；（2）摩擦力对木板所做的功为多大.（1）滑块受力合力为摩擦力，摩擦力对滑块做的功为：Wm=-μmg（l+L）.（2）木板所受合力是摩擦力，摩擦力对木板做的功为：WM=μmgs变力做功的计算：1.将变力做功转化为恒力做过；分段计算功，然后用求和的方法求变力做的功；用转换研究对象的方法2.方向不变，大小随位移线性变化的力，可用平均力求所做的功；3.用图象法求解变力做功.如图所示，某人用大小不变的力F拉着放在光滑水平面的物体，开始时与物体相连的绳与水平面的夹角是α，当拉力作用一段时间后，绳与水平面间的夹角为.已知图中的高度h，求绳子的拉力FT对物体所做的功.绳的质量、滑轮质量及绳与滑轮间的摩擦不计.转换研究对象设绳的拉力FT对物体做的功为WFT人的拉力F对绳做的功为WF，由图可知，在绳与水平面的夹角由α变到β的过程中，拉力F的作用点的位移大小为△l=l1-l2

．由W=Fl可知，WFT=WF=F△l=Fh（1/sinα-1/sin）故绳子的拉力FT做的功为Fh（1/sinα-1/sin）放在水平地面上的木块与一轻弹簧相连.现用手水平拉弹簧，拉力F与力的作用点的位移l的函数关系如图所示，木块开始运动后，继续拉弹簧，木块缓慢移动了0.8m的位移，则上述过程中拉力所做的功为（）A.16JB.20JC.24JD.无法确定B如图所示，物体A、B质量相同，与地面的动摩擦因数也相同，在力F作用下一起沿水平地面向右运动的位移为l，下列说法正确的是（）A.摩擦力对A、B做的功一样多B.A克服摩擦力做的功比B多C.F对A做的功与A对B做的功相同D.A所受的合外力对A做的功与B所受的合外力对B做的功相同BD自动扶梯以恒定的速度v运转，运送人员上楼.一个人第一次站在扶梯上后相对扶梯静止不动，扶梯载他上楼过程中对他做功为W1，做功功率为P1.第二次这个人在运动的扶梯上又以相对扶梯的速度v同时匀速向上走，这次扶梯对人做功为W2，做功功率为P2.以下说法中正确的是（）A.W1＞W2，P1＞P2B.W1＞W2，P1＝P2C.W1＝W2，P1＞P2D.W1＝W2，P1＝P2B解析：在扶梯上，人相对于扶梯静止不动和人相对扶梯匀速向上运动，相对地面上的人都是做匀速直线运动，两次人均处于平衡状态，两次人的受力情况相同，即扶梯对人向上的支持力等于重力，两次扶梯运动的速率v不变，据P=Fvcosα知，两次扶梯做功的功率不变，即P1＝P2；但两次人通过相同位移所用时间不同，有t1＞t2，据W=Pt知，两次扶梯所做的功不相同，有W1＞W2，故选B.质量为m的汽车以恒定功率P在平直的水平公路上行驶，汽车匀速行驶时的速率为v1，当汽车速率以v2（v2＜v1）行驶时，汽车的加速度为（）A.P/mv1B.P/mv2C.P（v1-v2）/mv1v2D.2P/m（v1+v2）C汽车以v1匀速行驶时，地面阻力Ff=P/v1；当汽车的速率为v2时，牵引力F2=P/v2，此时加速度a=F2-Ff/m=P（v1-v2）/mv1v2起重机的钢丝绳在10s内将4t重的货物向上吊起15m高.（1）如果货物是匀速上升，求起重机对货物做功的功率多大；（2）如果货物是从静止开始匀加速上升，求起重机对货物做功的平均功率是多少以及该起重机的额定功率最小是多少.（g取10m/s²）解析（1）匀速上升时，起重机对货物向上的拉力F1=mg=4×10^4N.拉力做的功W1=F1l=6×10^5J，拉力的功率P1=W1/t=6×10^4W.（2）匀加速上升时，加速度a=2l/t²=0.3m/s²起重机对货物的拉力F2=m（g+a）=4.12×10^4N拉力做的功W2=F2l=6.18×10^5J，拉力的平均功率P=W/t=6.18×10^4W.最小额定功率即实际功率的最大值，也就是10s末的实际功率，10s末的速度vt=at=3m/s，拉力的最大功率Pmax=F2vt=1.236×10^5W,所以该起重机的额定功率最小是1.236×10^5W.如图所示，一长为L的轻杆一端固定在光滑铰链上，另一端固定一质量为m的小球.一水平向右的拉力作用于杆的中点，使杆以角速度匀速转动，当杆与水平方向成60°时，拉力的功率为（）A.mgLB.√3/2·mgLC.1/2·mgLD.√3/6·mgLC先求拉力F的大小.根据力矩平衡，F·L/2·sin60°=mgLcos60°，得F=2√3mg/3；再求速度v=·L/2；再求力与速度的夹角Θ=30°，所以功率P=FvcosΘ=1/2·mgL面积很大的水池，水深为H，水面上浮着一正方体小木块，木块变长为a，密度为水的1/2，质量为m.开始时，木块静止，如图所示.现用力F将木块缓慢压到水池底部，不计摩擦.求：从木块刚好完全浸入水中到停止到池底的过程中，木块重力势能的改变量和池水重力势能的改变量。木块从1移动到2，相当于使相同体积的水从2移动到1，重心升高H-a，所以池水势能的改变量等于这部分水在位置1和2的势能之差.木块的质量为m，与木块同体积的水的质量为2m，故木块和池水势能的改变量分别为△E木=-mg（H-a），△E水=2mg（H-a）如图所示，竖直光滑半圆轨道DOC与水平粗糙轨道ABC相切于C点，轨道的AB部分可绕B点转动，一质量为m的滑块在水平外力F的作用下从A点由静止做匀加速直线运动，到B点时撤去外力F，滑块恰好能通过最高点D。现将AB顺时针转过37°（不计滑块在B点的能量损失），若将滑块从A点由静止释放，则滑块恰好能到达与圆心等高的O点。已知滑块与轨道ABC间的动摩擦因数μ=0.5，重力加速度为g，sin37°=0.6，BC=R/2。（1）求水平外力F与滑块重力mg的比值；（2）若斜面AB光滑，其他条件不变，滑块仍从A点由静止释放，求滑块在D点对轨道的压力.解：（1）因滑块恰好能通过最高点D，所以在D点有mg=mvD²/R设直轨道AB长为s，则滑块从A到D由动能定理Fs-μmg（s+R/2）-mg·2R=1/2·mvD²-0滑块从A点由静止释放，从A到O由动能定理mgs·sinΘ-μmg（cosΘ·s+R/2）-mgR=0-0联立并代入数据得s=25R/4，F/mg=47/50（2）因斜面AB光滑，设滑块到达D点时的速度为v，则从A到D由动能定理得mgs·sinΘ-μmg·R/2-mg·2R=1/2·mv²-0带入数值得v²=3gR在D点，由牛顿第二定律知FD+mg=mv²/R即FD=2mg由牛顿第三定律知滑块在D点对轨道的压力大小为2mg.（2016全国Ⅰ卷）如图，一轻弹簧原长为2R，其一端固定在倾角为37°的固定直轨道AC的底端A处，另一端位于直轨道上B处，弹簧处于自然状态，直轨道与一半径为5/6R的光滑圆弧轨道相切于C点，AC=7R，A、B、C、D均在同一竖直面内。质量为m的小物块P自C点由静止开始下滑，最低到达E点（未画出），随后P沿轨道被弹回，最高点到达F点，AF=4R，已知P与直轨道间的动摩擦因数μ=1/4，重力加速度大小为g。（取sin37°=3/5，cos37°=4/5）（1）求P第一次运动到B点时速度的大小。（2）求P运动到Ｅ点时弹簧的弹性势能。（3）改变物块P的质量，将P推至E点，从静止开始释放。已知P自圆弧轨道的最高点D处水平飞出后，恰好通过Ｇ点。Ｇ点在Ｃ点左下方，与Ｃ点水平相距7/2R，竖直相距R。求Ｐ运动到Ｄ点时速度的大小和改变后Ｐ的质量。解：（1）根据题意知，B、C之间的距离为l=7R-2R①设P到达B点时的速度为vB，由动能定理有mglsinΘ-μmglcosΘ=1/2·mvB²-0②式中Θ=37°联立①②式并由题给条件得vB=2√（gR）③（2）设BE=x。P到达E点时的速度为零，设此时弹簧的弹性势能为EP。P由B点运动到E点的过程中，由动能定理有mgxsinΘ-μmgxcosΘ-EP=0-1/2·mvB²④E、F之间的距离为l1=4R-2R+x⑤P到达E点后反弹，从E点运动到F点的过程中，由动能定理有EP-mgl1sinΘ-μmgl1cosΘ=0-0⑥联立③④⑤⑥式并由题给的条件得x=R⑦EP=12/5mgR⑧（3）设改变后P的质量为m1。D点与G点的水平距离x1和竖直距离y1分别为x1=7/2R-5/6RsinΘ⑨y1=R+5/6R+5/6RcosΘ⑩式中，已应用了过C点的圆轨道半径与竖直方向夹角仍为Θ的事实设P在D点的速度为vD，由D点运动到G点的时间为t。由平抛运动公式有y1=1/2gt²⑪x1=vDt⑫联立⑨⑩⑪⑫式得vD得3/5√（5gR）⑬设P在C点速度的大小为vC。在P由C点运动到D点的过程中机械能守恒，有1/2·m1vC²=1/2·m1vD²+m1g（5/6R+5/6RcosΘ）⑭P由E点运动到C点的过程中，由动能定理有EP-m1g（x+5R）sinΘ-μm1g（x+5R）cosΘ=1/2·m1vC²-0⑮联立⑦⑧⑬⑭⑮式得m1=m/3⑯（2016年全国Ⅱ卷）轻质弹簧原长为2l，将弹簧竖直放置在地面上，在其顶端将一质量为5m的物体由静止释放，当弹簧被压缩到最短时，弹簧长度为l。现将该弹簧水平放置，一端固定在A点，另一端与物块P接触但不连接。AB是长度为5l的水平轨道，B端与半径为l的光滑半圆轨道BCD相切，半圆的直径BD竖直，如图所示。物块P与AB间的动摩擦因数μ=0.5。用外力推动物块P，将弹簧压缩至长度l，然后放开，P开始沿轨道运动，重力加速度大小为g。（1）若P的质量为m，求P到达B点时速度的大小，以及它离开圆轨道后落回到AB上的位置与B点间的距离；

（2）若P能滑上圆轨道，且仍能沿圆轨道滑下，求P的质量的取值范围。解：（1）依题意，当弹簧竖直放置，长度被压缩至l时，质量为5m的物体的动能为零，其重力势能转化为弹簧的弹性势能。由机械能守恒定律，弹簧的长度为l时的弹性势能EP=5mgl①设P的质量为M，到达B点时的速度为vB，由能量守恒定律得EP=1/2·MvB²+μMg·4l②联立①②式，取M=m并代入题给数据得vB=√（6gl）③若P能沿圆轨道运动到D点，其到达D点时的向心力不能小于重力，即P此时的速度大小v应满足mv²/l-mg≥0④设P滑道D点时的速度为vD，由机械能守恒定律得1/2·mvB²=1/2·mvD²+mg·2l⑤联立③⑤式得vD=√（2gl）⑥vD满足④式要求，故P能运动到D点，并从D点以速度vD水平射出。设P落回到轨道AB所需的时间为t，由运动学公式得2l=1/2·gt²⑦P落回AB上的位置与B点之间的距离为s=vDt⑧联立⑥⑦⑧式得s=2√2l⑨（2）为使P能滑上圆轨道，它到达B点时的速度不能小于零。由①②式可知5mgl＞μMg·4l⑩要使P仍能沿圆轨道滑回，P在圆轨道的上升高度不能超过半圆轨道的中点C。由机械能守恒定律有1/2·MvB²≤Mgl⑪联立①②⑩⑪式得5m/3≤M＜5m/2⑫（2016年全国Ⅲ卷）如图，在竖直平面内由1/4圆弧AB和1/2圆弧BC组成的光滑固定轨道，两者在最低点B平滑连接。AB弧的半径为R，BC弧的半径为R/2。一小球在A点正上方与A相距R/4处由静止开始自由下落，经A点沿圆弧轨道运动。（1）求小球在B、A两点的动能之比；（2）通过计算判断小球能否沿轨道运动到C点。解：（1）设小球的质量为m，小球在A点的动能为EkA=mgR/4①设小球在B点的动能为EkB，同理有EkB=5mgR/4②由①②式得EkA/EkB=5③（2）若小球能沿轨道运动到C点，小球在C点所受轨道的正压力FN应满足FN≥0