近世代数期末考试试卷

e,e,a4一、单项选择题(本大题共5题，每小题3分，共15)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1、设G有6个元素的循环群，a是生成元，则的子集（）是子群。ABCD、

2、下面的代数系统（G，*）中）不是群A、G为整数集合，*为加法B、G为偶数集合，*为加法C、G为有理数集合，*为加法D、G为有理数集合，*为乘法3、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（）A、a*b=a-bB、a*b=max{a,b}C、a*b=a+2bD、a*b=|a-b|4设2、

是三个置换其中1（12（243

=（1324

3

=（）A、

2

1

B、

1

2

C、

2

2

D、

25、任意一个具有2个或以上元的半群，它（A、不可能是群B、不一定是群C、一定是群D、是交换群二填空题(本大题共10小题每空3分共30)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。凯莱定理说：任一个子群都同一个----------构。一个有单位元的无零因子-----称为整环。已知群中的元素的阶等于50，则的阶等于------。a的阶若是一个有限整数n，那么G与-------构。A={1.2.3}B={2.5.6}那么A∩B=-----。若映是单射又是满射，则-----------------。7、叫做域

的一个代数元，如果存在的-----0

使得n

。8代数系(A,0)的元素任xA均成x为--------。9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集G作成一个群，如果满足

G对于乘法封闭；结合律成立、---------。10、一个环R对于加法来作成一个循环群，则是----------。三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共分）1、设集合是A上的置换群，H是G子群，H={I,(12)}，写出H的所有陪集。2、设是有偶数做成的集合

•

”是数的乘法，则“

•

”是E中运算，

•

）是一个代数系统，问E，•）不是群，为什么？3、a=493,b=391,求(a,b),[a,b]和p,q。四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第小题15分，共分）若<G，*>是群，则对于任意的a、b∈G，必有惟一的∈G使得a*x。m是一个正整数定整数Z上的二元关系b当且仅m︱a–b。近世代模试题三一、单项选择题(本大题共5题，每小题3分，共15)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1、6阶有限群的任何子群一定不是（A、2阶B、3阶C、4阶D、6阶2、设G是群，G有（）个元素，则不能肯定G是交换群。A、4个B、5个C、6个D、7个3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（A、偶数B、奇数C、4的倍数D、2的正整数次幂4、下列哪个偏序集构成有界格（）ABC（{2,3,4,6,12},|（整除关系D、(P(A),5设S3＝{(1)(12)(13)(23)(123)(132)}那么在S3中可以与123)交换的所有元素有（）A、(1)，(123)，(132)B、12)，(13)C、(1)，(123)D、S3中的所有元素二填空题(本大题共10小题每空3分共30)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、群的单位元是--------的，每个元素的逆元素是-------的。2、如果f是与A间的一一映射是A的一个元，则

f

----------。区间[1，2]上的运{min,}单位元是-------。可换群G中|a|=6,|x|=8,则|ax|=——————————。环Z零因子有-----------------------。8一个子群H的右、左陪集的个数----------从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的--------。无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为的-----------。设G中元a的阶mmn存在整除关系为-------。三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共分）用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？S，SA的子环，则S∩S也是子环。S+S也是子环吗？1212123、设有置换

，

(234)(456)

。．．确定置奇偶性。四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第小题15分，共分）1、一个除环R只有两个理想就是零理想和单位理想。2、M为含幺半群，证明b=-1充分必要条件是=a=。B，，所以2近世代模试题一

参考答一、单项选择题。1、C；2、D；3、B；4、C；5、D；二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共分)。1、

；2、单位元；3、交换环；4、整数环5、变换群；6、同构;7、零、-a；8、S=I或S=R；9、域；三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共分）1、解：把和写成不相杂轮换的乘积：

(1653)(247)(8)

可知为奇置换，为偶置换。

和可以写成如下对换的乘积：

2、解：设A是任意方阵，令

1((AA2，2，则B是对称矩阵，而是反对称矩阵，且

A

。若令有

11，这里和1别为对称矩阵和反对称矩阵，则

1

，而等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵，于是两边必须都等于0，即：

11

，所以，表示法唯一。3、答

，

）不是群，因为

中有两个不同的单位元素0和。四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第小题15分，共分）1、对于G中任意元x，y，由于

xy)

2

xy

yx

（对每个x，从x可xx2、证明在F里a

(,bR,b有意义，作F的子集

aQbRb0)

显然是R的一个商域

证毕。ZaZa近世代模试题二

参考答一、单项选择题(本大题共5小题，每小题分，共15分)。1、C；2、D；3、B；4、B；5、A；二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共分)。1、变换群2、交换环3、n乘余类加群5、{2}、一一映射7、不都等于零的元；8、右单位元；9、消去律成立；、交换环；三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共分）1、解：H的3个右陪集为：{I,(12)}，{(123，(13)}，{(13)，(23)}H的3个左陪集为：{I,(12)}，{(123)，(23)}，{(132)，(13)}2、答•）不是群，因为（•）中无单位元。3、解方法一、辗转相除法。列以下算式：=b+102=3×102+85102=1×85+17由此得到(a,b)=17,[a,b]=a×b/17=11339然后回代：17=102-85=102-(b-3×102)=4×102-b=4×(a-b)-b=4a-5b.所以p=4,q=-5.四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第小题15分，共分）1、证明设群<G，*>的幺元。令x＝a，则＝a*(a－1*b)＝(a*a－1)*b＝e*b＝b。所以，x＝a－1*b是a*x＝b解。若xa*x＝b的解－1*a)*x－1*b＝x。所以，x＝a－1*b是a*x＝b的惟一解。2、容易证明这样的关系是Z的一个等价关系，把这样定义的等价类集合记为Zm，每个整数a所在的等价类记为[｛x∈Z；m︱x–a｝或者也可记为，称之为模m剩余类。若m︱a–b也记为a。当m=2时，Z2仅含2个元：[0]与[1]。近世代模试题三

参考答一、单项选择题(本大题共5题，每小题3分，共15)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1、C；2、C；3、D；4、D；5、A；二填空题(本大题共10小题每空3分共30)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1、唯一、唯一2；3、2；4；5、

、相等；7、商群；8特征；9、

mn

；三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共分）解在学群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法。用笔在纸上画一下，用黑白两种珠子，分类进行计算：例如，全白只1，四白一黑1种，三白二黑2种，…等等，可得总共8种。证由上题子环的充分必要条件，要证对任意a,b∈S1有a-b,ab∩S2：因为S1，S2是A的子环，故a-b,ab∈S1和a-b,ab∈S2，因而a-b,ab∈S1∩S2，所以S1∩S2是子环。S1+S2不一定是子环。在矩阵环中很容易找到反例：3、解：1．，

(16524)

；2．两个都是偶置换。四、证明题（