小学生数学解题中的思维训练

小学生数学解题中的思维训练第一页，共二十六页，2022年，8月28日

四、结合例题讲解数学思想方法的运用（数学思维训练）易错的典型题例及分析第二页，共二十六页，2022年，8月28日【例题一】

有两根同样长的钢管，第一根用去3/10米，第二根用去3/10，两根相比（）。①第一根用去的多②第二根用去的多③无法比较（一）类比法：1、解决“分率与分数易混淆”的问题：分析与解：这道题无法直接比较，它需要讨论：

当长度为1米时，两根用去的长度相等；当长度大于1米时，第二根的3/10>3/10米；当长度小于1米时，第二根的3/10<3/10米，因此选择③无法比较

第三页，共二十六页，2022年，8月28日

【例题二】

一根钢管两次用完，第一次用去3/10米，第二次用去全长的3/10，两次相比（）①第一次用去的多②第二次用去的多③无法比较

分析与解：因为第二次用去全长的3/10，那么第一次用去了全长的（1-3/10）=7/10，大于全长的3/10，因此选择①

第四页，共二十六页，2022年，8月28日

2、解决单位“1”发生变化时容易混淆的问题：【例题三】一种商品先提价1/10，再降价1/10。现价与原价相比（）①与原价相等②比原价高③比原价低分析与解：

一般学生会认为是与原价相等，实际两次单位“1”不同，所以提的价不等于降的价。可以假设原价为100元，提价1/10后为:100×（1+1/10）=110元，而降低了1/10是110元的1/10，现价是：110×(1-1/10)=99(元），因此选择③比原价低。且永远现价是原价的:（1+1/10）×（1-1/10）=11/10×9/10=99/100第五页，共二十六页，2022年，8月28日

【例题四】

一种商品先降价1/10，再提价1/10。现价与原价相比（）①与原价相等②比原价高③比原价低分析与解：

可以假设原价为100元，降低100元的1/10后为90元，提价了90元的1/10（90×1/10=9元）后是99元，因此还是选择③比原价低。且永远现价是原价的:（1-1/10）×（1+1/10）=9/10×11/10=99/100）第六页，共二十六页，2022年，8月28日

（二）假设法：3、等式中的假设【例题五】甲数的2/5与乙数的1/2相等，则甲数与乙数的最简比是（）分析与解：把相等的量设为单位“1”

甲数为：1÷2/5=5/2；乙数为：1÷1/2=2

甲数︰乙数=5/2︰2=5︰4第七页，共二十六页，2022年，8月28日

【例题六】鸡的只数是鸭的1/2，鹅的只数是鸡的1/3，鹅的只数与鸭的只数的比（）。分析与解：这道题把谁为标准量:(1)以鸭为标准量“1”，鸡就是1/2，鹅就是1/2×1/3=1/6；鹅︰鸭=1/6︰1=1︰6(2)以鸡为标准量“1“，鹅就是1/3，鸭就是1÷1/2=2，鹅︰鸭=1/3︰2=1︰6(3)可以假设鸡为3份，那鹅就是1份，鸭为6份，鹅︰鸭=1︰6第八页，共二十六页，2022年，8月28日

【例题七】在2008年春季的一个月中，统计的晴、雨、阴天的状况为：雨天比晴天少1/3,阴天比晴天少3/5,这个月晴天有多少天?

分析与解：①因为，雨天与晴天的比为2︰3，阴天与晴天的比为2︰5；如果把晴天设为3和5的最小公倍数15，那么，雨天为10天，阴天6天，晴天15天，合计31天，符合生活实际；②用通比也能得出结论：雨天︰晴天︰阴天2︰35︰210︰15︰6合计：10+15+6=31（天）第九页，共二十六页，2022年，8月28日

【例题八】

把右图做成一个圆锥（接头处不计），再将这个圆锥沿高从顶点往下直切成两等份，切面是（）。

A、直角三角形B、正三角形C、钝角等腰三角形D无法确定

分析与解：假设扇形的弧长为3.14厘米，则其半径（圆锥的母线L）为1厘米，因为扇形的弧长为3.14厘米，所以底部圆的周长也是3.14厘米，推导出底部圆的直径：3.14÷3.14=1厘米因此切面为等边（正）三角形。第十页，共二十六页，2022年，8月28日

（三）替换法：4、图形中的条件转换【例题九】已知下图中阴影部分三角形面积为5平方米，求圆的面积。分析与解：①r×r=5(平方米)；3.14×5=15.7(平方米)②这里运用到一个“常数”的知识，圆与内切正方形面积的比是157/100，因此用5×2÷100/157=15.7(平方米)

第十一页，共二十六页，2022年，8月28日

【例题十】一张小圆桌的周长是3.14米,把四边撑开的部分折叠起来就成了一张方桌,求方桌的桌面是多少平方米?

分析与解：①圆的直径：3.14÷3.14=1（米）1×0.5÷2×2=0.5（平方米）②这里也可以运用圆与内切正方形的面积比是157/100这一知识点进行解答，2圆面积=3.14×（3.14÷3.14÷2）×100/157=0.5（平方米）第十二页，共二十六页，2022年，8月28日

【例题十一】如图两个正方形之间阴影部分的面积是20平方厘米，求圆环的面积。分析与解：设内圆半径为r,外圆半径为R，从图上可以看出：R的平方-r的平方=20（平方厘米）圆环的面积=3.14×（R的平方-r的平方）=3.14×20=62.8（平方厘米）第十三页，共二十六页，2022年，8月28日

【例题十二】26名同学一起去春游,每人只买一瓶饮料,如果3个空瓶可以换回1瓶饮料,他们最多可以喝到几瓶饮料？分析与解：①学生会用图示法进行分析，得出最多可以喝到38瓶饮料还剩下2个空瓶，缺乏借一个空瓶再置换一瓶汽水后喝完还回空瓶的策略。此题还可以转化为每2个空瓶就能有一瓶饮料的思路，因此用26+26÷2=39瓶，成为运用简单置换策略解决问题的典型题例。

第十四页，共二十六页，2022年，8月28日

（四）假设与图解：【例题十三】有三堆棋子，每堆棋子一样多，并且都只有黑、白两种颜色。第一堆里的黑子和第二堆里的白子一样多，第三堆里的黑子占全部黑子的2/5。把三堆棋子集中在一起，白子占全部棋子的几分之几？

分析与解：假设黑子有5颗，则第三堆黑子有2颗，第一、二堆黑子共有3颗，而第一堆里的黑子和第二堆里的白子一样多，所以每堆有3颗棋子，画图如下：第一堆第二堆第三堆○○○○4÷9=4/9第十五页，共二十六页，2022年，8月28日

（五）还原法：【例题十四】甲、乙、丙三个水桶中各装有一些水，共72升。先将甲桶中1/3的水倒入乙桶，再将乙桶中现有水的1/5倒入丙桶，最后将丙桶中现有水的1/7倒回甲桶，这时三个水桶中的水同样多。三个水桶原来各有水多少升？分析与解：首先根据“这时三个水桶中的水同样多”，得出每个水桶中的水为72÷3=24升，再列表如下：甲乙丙现在242424第三次操作前24-4=202424÷（1-1/7）=28

第二次操作前2024÷（1-1/5）=30

28-6=22第二次操作前（原来）20÷（1-1/3）=30

30-10=2022第十六页，共二十六页，2022年，8月28日

（六）抓住不变量：【例题十五】有含水量为90%的盐水500克，加热后变成了含水量为75%的盐水。蒸发了多少克的水？

分析与解：这道题盐的质量不变。先求出盐的质量：500×（1－90%）=50（克）再求出加热后盐水的质量：50÷（1－75%）=200（克）最后求出蒸发了的水的质量：500－200=300（克）基本数量关系：盐+水=盐水盐水×含盐率=盐；盐水×含水率=水第十七页，共二十六页，2022年，8月28日

【例题十六】

配制20%的糖水1000克，需要用浓度为18%和23%的糖水各多少克？分析与解：这道题糖的质量是不变量：1000×20%=200(克)设18%的糖水为x克，则23%糖水为（1000-x）克18%x+23%×（1000-x）=2000.18x+230-0.23x=2000.05x=30X=600——(18%的糖水)1000-600=400——（23%的糖水）第十八页，共二十六页，2022年，8月28日

【例题十七】甲容器中有8%的盐水300克，乙容器中有12.5%的盐水120克。往甲、乙两个容器中倒入等量的水，使两个容器中盐水的浓度一样，求每个容器应倒入水多少克？分析与解：这道题抓住盐的质量不变。300×8%=24（克）120×12.5%=15（克）

2415=300+x120+x15×(300+x)=24×(120+x)4500+15x=2880+24x24x-15x=4500-28809x=1620X=180（克）第十九页，共二十六页，2022年，8月28日

1111【例题十八】计算＋＋＋24816分析与解：这道题学生只会想到“可以先通分转化成同分母分数后再相加”；或将“分数转化为小数求和”进行计算；其实，化小数计算反而麻烦。如果给这题再添上一个加数，加一个1/32，再加1/64呢？如果这样加下去，一直加到1/1024呢？通分算还简便吗？

1111111

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＋+++……248163264132第二十页，共二十六页，2022年，8月28日

这里教师把加数增多，让学生在无法用通分来解决此题的过程中生成策略上的内需，然后出示下图：在直观图形的启发下，独立探索转化的方法通过数形结合解释图意，图中的正方形表示1，1/2+1/4+1/8+1/16的和，就是正方形里涂色部分的大小。重点突出了算式转化是根据“涂色部分的大小等于1减空白部分的差”进行的。让学生充分体会把原题这样转化，使计算简便了。第二十一页，共二十六页，2022年，8月28日

八、概率问题：【例题十九】箱内不规则地散放着式样、尺码相同的黑球鞋和白球鞋各4双，未加分辨地从中随即取出2只，恰好得到同色且左右配好对的一双鞋的概率是多少？

分析与解：8双鞋共16只，先任意取一只，再取下一只的时候有15种不同的取法。任取的这只鞋子肯定有颜色（黑或白），与它同色且左右配对的有4只，取这4只中的任意一只都符合题意，所以是4/15。第二十二页，共二十六页，2022年，8月28日【例题二十】

李医生定期去甲、乙、丙三位病人家巡诊。按计划他每三天（中间空2天）去甲家一次，每4天去乙家一次，每6天去丙家一次。4月30日那天，连续去了甲、乙、丙三家，那么从5月1日到12月31日，李医生应该去巡诊的天数是多少？九、周期（推理）：分析