对数与对数的应用

对数与对数的应用第一页，共三十六页，2022年，8月28日一、數學單元主題教材內容分析教學重點：

1.對數的基本定義與定律

2.對數常用基本定律

3.對數的換底公式.連鎖公式.變形公式

4.對數函數的圖形與性質

5.對數方程式與對數不等式

6.對數表及科學記號的使用

7.生活中的對數應用第二页，共三十六页，2022年，8月28日1.對數的基本定義設a＞0,a≠1,當ax＝b時,以符號logab表示x,即ax＝bx＝logab

(指數關係)(對數關係)Ex.3x2＝2x＝log32logab稱之為以a為底數,b之對數；其中b叫真數記憶方式：右手轉基本性質logab＝xax＝b第三页，共三十六页，2022年，8月28日Example1.1滿足2x＝8的x值為何？

Sol.顯然23＝8

故x＝3問log28之值為何？

Sol.由定義知x＝log282x＝8

又由上題得知23＝8

故可得知log28＝3第四页，共三十六页，2022年，8月28日2.對數常用基本定律設a＞0,r＞0,s＞0(1)logaa＝1(2)loga1＝0(3)logaax＝x(4)alogax＝xlogars＝logar+logasloga＝logar-logas

第五页，共三十六页，2022年，8月28日Example2.1化簡

Sol.原式第六页，共三十六页，2022年，8月28日Example2.2設x≠0,則logx2＝？

Sol.logx2＝log|x|2

＝2log|x|(因為真數必須是正數才有意義)第七页，共三十六页，2022年，8月28日3.對數的換底.連鎖.變形公式換底公式：連鎖公式：變形公式：第八页，共三十六页，2022年，8月28日Example3.1(利用換底＋連鎖公式)若log23＝a,log37＝b,以a,b表log4256.Sol.利用換底公式,取2當新的底數原式＝

又由連鎖公式知log27＝log23×log37＝ab

∴log4256＝第九页，共三十六页，2022年，8月28日Example3.2(利用連鎖公式化簡)設a,b,c,dR+-{1}且a2＝c3,c2＝e5,

求(logab)(logbc)(logcd)(logde)之值.Sol.

已知,由連鎖公式知原式＝logae＝第十页，共三十六页，2022年，8月28日Example3.3(善用變形公式簡化問題)解2(xlog3)(3logx)－5xlog3－3＝0.Sol.令u＝xlog3＝3logx,

則原式：2u2－5u－3＝0,

解得u＝或3

但u＝3logx＞0,

故僅取u＝3,即3logx＝3,

則logx＝1,∴x＝10第十一页，共三十六页，2022年，8月28日4.對數函數的圖形與性質指對數的反函數關係第十二页，共三十六页，2022年，8月28日底數和圖形的關係第十三页，共三十六页，2022年，8月28日Example4.1

第十四页，共三十六页，2022年，8月28日對數函數的增減特性第十五页，共三十六页，2022年，8月28日對數函數的增減特性第十六页，共三十六页，2022年，8月28日Example4.2(利用真數和底數決定大小關係)設,

比較a,b,c,d之大小順序.

※解答見下頁投影片第十七页，共三十六页，2022年，8月28日Sol.1.觀察底數與真數是否同時大於1或小於1：得知a＜0,b＞0,c＜0,d＞02.由底數判斷函數的增減：因為a,c底數為＜1,故為減函數,由此得知a＞c3.化簡再用函數增減特性比較：由1.2.3得知c＜a＜b＜d第十八页，共三十六页，2022年，8月28日5.對數方程式及對數不等式1.設0＜a≠1,則logax1＝logax2x1＝x2＞02.(1)設a＞1,則0＜x1＜x2logax1＜logax2(2)設0＜a＜1,logax1＜logax2x1＞x2＞0Note.解對數不等式及對數方程式時,千千萬萬要注意到真數與底數的限制!！第十九页，共三十六页，2022年，8月28日Example5.1(解對數方程式時請注意解的範圍)解log6x＋log6(x2－7)＝1

Sol.第二十页，共三十六页，2022年，8月28日Example5.2(解對數不等式請小心限制範圍)解log2x＋logx2＜

Sol.第二十一页，共三十六页，2022年，8月28日6.對數表及科學記號的使用常用對數與科學記號常用對數：一般以10為底數之對數log10x,

以logx表之,稱之為常用對數.科學記號：若a＞0,則可化為a＝b×10,

其中nZ且1≦b＜10,稱為科學記號表示法.第二十二页，共三十六页，2022年，8月28日首數與尾數之運用巨大數字之處理原理:

若x＞1且logx＝n＋c,其首數n≧0,

尾數c＜1,則x之整數部分為n＋1位數分析n≦logx＝n＋c＜n＋110x≦x＜10n+1

又10x為最小的n＋1位正整數∴x之整數部分為n＋1位數第二十三页，共三十六页，2022年，8月28日Example6.1(1)27100＋5200整數部分為幾位數？首位數字？

(2)1＋3＋32……＋380之和為幾位數？首位數字？

Sol.第二十四页，共三十六页，2022年，8月28日微小數字之處理原理:

若0＜x＜1且logx＝n＋c,其首數n＜0,尾數c＜1,則x之有效數字自小數點後面第|n|位開始第二十五页，共三十六页，2022年，8月28日Example6.2若()66在小數點後第k位始出現不為0之數字p,求序組(k,p)＝？

Sol.第二十六页，共三十六页，2022年，8月28日對數表與內差法：第二十七页，共三十六页，2022年，8月28日Example6.3已知log3.42＝0.5340,log3.43＝0.5353,

若logx＝-3.4650,求x值.(取四位有效數字的近似值)

Sol.第二十八页，共三十六页，2022年，8月28日7.生活中的對數應用本利和之計算

設本金A,每期利率為r,期數為n1.單利本利和＝A(1＋nr)2.複利本利和＝A(1＋r)n3.年利率1分＝10％,1厘＝1％月利率1分＝1％,1厘＝0.1％第二十九页，共三十六页，2022年，8月28日Example7.1(利用查表求本利和)

※解答見下頁投影片第三十页，共三十六页，2022年，8月28日Sol.第三十一页，共三十六页，2022年，8月28日二.教學網頁設計理念加入跟生活有關的對數問題啟發學生的興趣藉由簡易的基本公式讓學生導入對數的概念運用簡單的Flash讓網頁生動有趣味第三十二页，共三十六页，2022年，8月28日三.教學網頁教學目標能熟知各個對數的基本公式能將基本公式靈活運用能將對數和生活連結第三十三页，共三十六页，2022年，8月28日四.網頁設計規劃流程教學網頁規劃PPT檔(97年11月10日前)網頁文字部分(97年11月17日前)網頁圖片影片部分(97年11月25日前)網頁互動部分(9