定积分概念可积性性质

定积分概念可积性性质第一页，共二十三页，2022年，8月28日

Chap7―1

定积分的概念第二页，共二十三页，2022年，8月28日Oa=x0xn=bxyy=f(x)x1xi–1xiixn–1x2(1)分割

取分点a=x0<x1<…<xn=b,将[a,b]分为n个小区间[xi–1,xi](i=1,2,…,n),其长度记为xi=xi–xi–1.(2)作近似和

i[xi–1,xi],第i个小曲边梯形面积Sif(i)xi，故曲边梯形面积(3)

取极限记,则曲边梯形面积一、曲边梯形面积第三页，共二十三页，2022年，8月28日问题一质点以速度v=v(t)C[a,b],作变速直线运动,如何求时刻a到时刻b质点经过的路程s？(1)分割

取分点a=t0<t1<…<tn=b,将[a,b]分为n个小区间[ti–1,ti](i=1,2,…,n),其长度记为ti=ti–ti–1.(2)作近似和

i[ti–1,ti],质点在时段[ti–1,ti]经过的路程siv(i)ti,故质点在[a,b]经过的路程(3)取极限记,则质点在时间[a,b]内的路程二、变速直线运动路程第四页，共二十三页，2022年，8月28日三、定义定义设f:[a,b]R.任取[a,b]的分划以及i[xi–1,xi]({1,2,,n}=()称为分划下的介点集),作和若总有则称f在[a,b]上可积,记为fR[a,b].I称为

f在[a,b]上的定积分，记为

分划:a=x0<x1<…<xn=b.其模第五页，共二十三页，2022年，8月28日—积分号;a,b—积分下、上限;[a,b]—积分区间;f(x)—被积函数;x—积分变量.即

Riemann和或积分和

定积分的“”表述？问题极限过程||||0能否换为n+？Riemann(1826-1866)第六页，共二十三页，2022年，8月28日

定积分的值仅与积分区间和被积函数有关！而与[a,b]的分划和介点集()的选取无关!也与积分变量无关,即结论若存在两个分划或同一分划下不同i的选取,使Riemann和的极限不同,则f在[a,b]上不可积！例1

证明Dirichlet函数在[0,1]不可积.第七页，共二十三页，2022年，8月28日3)

当f(x)0时,曲边梯形在x轴下方,面积4)

表示直线x=a,x=b,

曲线y=f(x)和x轴所围图形面积代数值之和,其中规定x轴上方图形面积代数值为正,下方图形面积代数值为负.2)

当f(x)0时,曲边梯形面积特别地四、定积分的物理、几何意义1)变速直线运动质点的路程第八页，共二十三页，2022年，8月28日

当fR[a,b]时,可采用特殊的分划和特定的点i[xi–1,xi]通过作Riemann和取极限求例2

计算例3

已知(p>0),求极限

利用定积分求和式极限:关键在于利用其中左式i取为左端点xi–1,右式i取为右端点xi.第九页，共二十三页，2022年，8月28日

Chap7―2

函数可积的条件第十页，共二十三页，2022年，8月28日一、必要条件定理1(必要条件)

设fR[a,b],则f在[a,b]上有界.

有界是函数可积的必要不充分条件.

如D(x)有界,但不可积!二、充要条件定义设f在[a,b]上有界，:a=x0<x1<…<xn=b是[a,b]的分划,记称及分别为f

在分划下的Darboux大和及小和.第十一页，共二十三页，2022年，8月28日引理1

设f在[a,b]上有界,若分划*是分划的加细，则

加细分划*由分划添加分点得到.

加细分划具有“大和不增，小和不减”性！引理2

设f在[a,b]上有界,1和2是[a,b]的任意两分划，则

为非空上有界集.

为非空下有界集.第十二页，共二十三页，2022年，8月28日定义称为f在[a,b]上的下积分结论定理2(第II充要条件)设f在[a,b]上有界,则fR[a,b]

>0,分划:试一试f在[a,b]上的上积分的定义！

等价表述>0,分划:其中i=Mimi是f在[xi1,xi]上的振幅.第十三页，共二十三页，2022年，8月28日

几何意义

思考要，那么或者i

很小；或者虽i不小，但其对应的小区间长度和很小！定理3(第III充要条件)设f在[a,b]上有界,则fR[a,b]

>0,>0,分划:，其中={i|i}.定理4(第I充要条件)设f在[a,b]上有界,则fR[a,b]

第十四页，共二十三页，2022年，8月28日定理5若fC[a,b],则fR[a,b].定理6设f在[a,b]有界,且只有有限个间断点,则fR[a,b].定理7设f在[a,b]单调有界,则fR[a,b].三、充分条件

分段连续函数的可积性！

命题设f在[a,b]有界,其间断点全体为{xn},且则fR[a,b].例证明Riemann函数

在[0,1]上可积.第十五页，共二十三页，2022年，8月28日

Chap7―3

定积分的性质第十六页，共二十三页，2022年，8月28日一、运算性质

规定定理1(线性性)

若f,g

R[a,b],,R,则fgR[a,b],且定理2(乘积可积性)

若f,g

R[a,b],则f

·g

R[a,b].定理3(区间可加性)

设f

R[a,b],则对(2)c(a,b)有f

R[a,c]R[c,b],且(1)

[,][a,b]有f

R[,

].第十七页，共二十三页，2022年，8月28日定理4(保序性)

若f

R[a,b],且f(x)0,则推论1

若f,g

R[a,b],且f(x)g(x),则推论2(估值不等式)若fR[a,b],且mf(x)M,则推论3(绝对值不等式)若fR[a,b],则|f|R[a,b],且问题逆命题成立吗？即|f|R[a,b]能否导出fR[a,b]？定义设f:[a,b]R,若|f|R[a,b],则称f在[a,b]上绝对可积.第十八页，共二十三页，2022年，8月28日例1

设fC[a,b],f(x)0,且证明f(x)0.

若f(x)0,且则f(x)在连续点的取值为0.

设fR[a,b],f(x)>0,则例2(Cauchy—Schwarz不等式)设f,gR[a,b],则有例3

设fR[a,b],g(x)在[a,b]上除有限点外与f(x)取值相同.证明：gR[a,b],

且第十九页，共二十三页，2022年，8月28日二、积分第一中值定理定理5设fC[a,b],g在[a,b]上可积且不变号,则[a,b]:推论设fC[a,b],则[a,b],使得Oabxyy=f(x)几何意义“化曲为方”！f在[a,b]上的平均值第二十页，共二十三页，2022年，8月28日例5

证明例4

设函数fC[0,1]D(0,1),且证明：(0,1)使得第二十一页，共二十三页，2022年，8月28日三、变限积分函数定义若f

R[a,b],对x[a,b],是x的函数,即称之为f(x)在[a,b]上的变上限积分(函数)定理6

若f

R[a,b],则F(x