专题112 统计与统计案例(原卷版)文科生

第十一章概率与统计专题2统计与统计案例（文科）【考点1】抽样方法、总体分布的估计【备考知识梳理】1•简单随机抽样：一般地，设一个总体的个体数为N，如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样.2•分层抽样：当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本更充分地反映总体的情况，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比进行抽样，这种抽样叫做分层抽样.3•总体：在数理统计中，通常把被研究的对象的全体叫做总体.4•频率分布：用样本估计总体，是研究统计问题的基本思想方法，样本中所有数据（或数据组）的频数和样本容量的比，就是该数据的频率所有数据（或数据组）的频率的分布变化规律叫做样本的频率分布•可以用样本频率表、样本频率分布条形图或频率分布直方图来表示【规律方法技巧】分层抽样的步骤：（1）分层；（2）按比例确定每层抽取个体的个数；（3）各层抽样（方法可以不同）；（4）汇合成样本.解决总体分布估计问题的一般程序如下：（1）先确定分组的组数（最大数据与最小数据之差除以组距得组数）；（2）分别计算各组的频数及频率（频率=频数）;（3）画出频率分布直方图，并作出相应的总数估计.【考点针对训练】【2016届山西右玉一中高三下学期模拟】在某电视台举行的大型联欢会晚上，需抽调部分观众参加互动，已知全部观众有900人，现需要采用系统抽样方法抽取30人，根据观众的座位号将观众编号为1,2,3，•…900号，分组后在第一组，采用简单随机抽样的方法抽到的号码为3,抽到的30人中，编号落入区间［1,360］的人与主持人A一组，编号落入区间［361,720］的人与支持人B一组，其余的人与支持人C一组，则抽到的人中，在C组的人数为（ ）A．12 B．8 C．7 D．6【2016届河南省新乡卫辉一中高考押题一】博鳌亚洲论坛2015年会员大会于3月27日在海南博鳌举办，大会组织者对招募的100名服务志愿者培训后，组织一次APEC知识竞赛，将所得成绩制成如右频率分布直方图（假定每个分数段内的成绩均匀分布），组织者计划对成绩前20名的参赛者进行奖励．

1)试确定受奖励的分数线；2)从受奖励的20人中利用分层抽样抽取5人，再从抽取的5人中抽取2人在主会场服务，试求2人成绩都在90分以上的概率．【考点2】相关性、最小二乘估计与统计案例【备考知识梳理】1．相关性通常将变量所对应的点描出来，这些点就组成了变量之间的一个图，通常称这种图为变量之间的散点图．从散点图上，如果变量之间存在某种关系，这些点会有一个集中的大致趋势，这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似，这样近似的过程称为曲线拟合．若两个变量x和y的散点图中，所有点看上去都在一条直线附近波动，则称变量间是线性相关，若所有点看上去都在某条曲线(不是一条直线)附近波动，称此相关是非线性相关．如果所有的点在散点图中没有显示任何关系，则称变量间是不相关的．2．回归方程(1)最小二乘法如果有n个点(X],yi)，(x2,y2)，…,(xn，yn)，可以用表达式人一(a+bX])]2+y2—(a+bx2)]2+...+yn—(a+bxn)]2来刻画这些点与直线y=a+bx的接近程度，使得上式达到最小值的直线y=a+bx就是我们所要求的直线，这种方法称为最小二乘法．(2)回归方程方程y=bx+a是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(X],y])，(x2，y2)，…，(x『y^的回归方程，其中a，b是待定参数．工(x-x)(y-y)工(x-x)(y-y)n--xy-nxyi1工(X-X)2ii=1-2x2-nxA-A-a=y-bxi=13．回归分析(])定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．(2)样本点的中心对于一组具有线性相关关系的数据(x「yj,(x2，y2), (xn,yn),其回归直线y=bx+a的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：工(x-工(x-x)(y-y)工xy-nxyi i i14=1 =4=1 工(x-x)2 工x2-nxii=11/、i=1a=y-bx).其中x=丄(x+xH Fx),n12niy=(y+y+—Fy),(x,y)称为样本点的中心.n1 2 n工(x-X工(x-X)(y-y)ii-4=1—，②当r>0时，表明两个变量正相r=,；:工(x-x)2；工(y-y)2'i=1 *i=1关；当rV0时，表明两个变量负相关.r的绝对值越接近于1,表明两个变量的线性相关性越强.r的绝对值越接近于0,表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系.独立性检验⑴设A,B为两个变量，每一个变量都可以取两个值，变量A：A】，A2=Aj变量B：BfB=B2x2列联表构造个随机变量K2构造个随机变量K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)错误！未找到引用源。其中错误！未找到引用源。BBB总计A12A1aba+bA2cdc+d总计a+cb+da+b+c+d为样本容量.独立性检验:利用随机变量来判断“两个变量有关联”的方法称为独立性检验.当数据量较大时，在统计中，用以下结果对变量的独立性进行判断当WW2.706时，没有充分的证据判定变量A,B有关联，可以认为变量A,B是没有关联的;当无2>2.706时，有90%的把握判定变量A,B有关联；当无2>3.841时，有95%的把握判定变量A,B有关联；当%2>6.635时，有99%的把握判定变量A,B有关联.【考点针对训练】【2016年山西四校高三四模】某研究机构对儿童记忆能力和识图能力y进行统计分析，得到如下

数据：记忆能力10识图能力y4由表中数据，求得线性回归方程为，y二5x+a，若某儿童的记忆能力为12时，则他的识图能力约为（）A.9.2 B.9.5 C.9.8 D.10【2016届河北省邯郸市高三下第二次模拟】为推行“新课堂”教学法，某化学老师分别用原传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式，在甲、乙两个平行班进行教学实验，为了解教学效果，期中考试后分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出的茎叶图如下图，记成绩不低于70分者为“成绩优良”.i695 « 7 ? 99 5 1080 15 6P亨4 *z73 4S7 ? 7 &S8 5 1EG60 74 3-3252 51）分别计算甲、乙两班20个样本中，化学分数前十的平均分，并大致判断哪种教学方式的教学效果更佳；（2）由以上统计数据填写下面2x2列联表，并判断“成绩优良与教学方式是否有关"?啟缱不扰R总计甲班啟缱不扰R总计甲班附：n(ad—bc)2附：K2= (a+c)(b+d)(a+b)(c+d)独立性检验临界值表0100.050.0250.0)0瓷7063.8415邂G.635【三年高考】1.【2016高考新课标3文数】某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为15°C，B点表示四月的平均最低气温约为5°C.下面叙述不正确的是（ ）

一月（A）各月的平均最低气温都在0°C以上 （B）七月的平均温差比一月的平均温差大（C）三月和十一月的平均最高气温基本相同 （D）平均气温高于20°C的月份有5个2.【2016高考山东文数】某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30］，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）A）56 （B）60 （C）120 （D）1403.【2016高考北京文数】某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.学生序号12345678910立定跳远（单位：米）1.961.921.821.801.781.761.741.721.681.6030秒跳绳（单位：次）63a7560637270a1b65在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人则A.2号学生进入30秒跳绳决赛 B.5号学生进入30秒跳绳决赛C.8号学生进入30秒跳绳决赛 D.9号学生进入30秒跳绳决赛4.【2016高考新课标2文数】某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数01234>5保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：出险次数01234>5频数605030302010记A为事件："一续保人本年度的保费不高于基本保费'.求P(A)的估计值；记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%””.求P(B)的估计值；求续保人本年度的平均保费估计值.【2016高考新课标III文数】］下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图玉玉IH專魁爭WIX窘掘腔曲肝由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与的关系，请用相关系数加以说明；建立y关于的回归方程(系数精确到0.01),预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.附注：参考数据：工y二9.32,工ty二40.17，呢(y-y)2=0.55,^7^2.646.i ii V ii=1 i=1 i=1

工(t-T)(y-y)工(t-1)工(t-1)2工(y-y)2i ii=1 i=1工(t-1)(y-y)i i回归方程y=a+b中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b=I ,a=y-bt.L(t-t)2ii=16.【2015高考重庆，文4】重庆市2013年各月的平均气温(°C)数据的茎叶图如下则这组数据中的中位数是()(A)19(B)20(C)21.5(D)23(A)19(B)20(C)21.5(D)237.【2015高考陕西，文2】某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为()A．93B．123 C．137D．167[初中部) (高中部)[初中部) (高中部)8.【2015高考湖北，文4】已知变量和满足关系y=-0.1x+1，变量与正相关.下列结论中正确的是()A.A.与负相关，与负相关C.与正相关，与负相关B.与正相关，与正相关D.与负相关，与正相关9.【2015高考广东，文17】某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以1160,180),[180,200),[200,220),b20,240),b40,260),b60,280),b80,300〕分组的频率分布直方图如图.

求直方图中的值；(2)求月平均用电量的众数和中位数；(3)在月平均用电量为[220,240),[240,260),[260,280),[280,300〕的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户？【2014高考广东卷文第6题】为了了解1000名学生的学习情况,采用系统抽样的方法,从中抽取容量为40的样本,则分段的间隔为()A.50 B.40 C.25 D.20【2014高考湖南卷文第3题】对一个容量为N的总体抽取容量为的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P,P,P，则123()A.p 二p<p B.p 二p<p C.p 二 p< p D.p 二p二p1 2 3 2 3 1 1 3 2 1 2 312.【2014高考安徽卷文第17题】某高校共有15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位:小时)应收集多少位女生样本数据？根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为：二二」=二」？ •二二]•估计该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率.在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4个小时.请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.n(ad一bc)2附：2二(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2>k)00.100.050.0100.005k02.7063.8416.6357.879【一年原创真预测】1.2016年2月，为保障春节期间的食品安全，某市质量监督局对超市进行食品检查，如图所示是某品41牌食品中微量元素含量数据的茎叶图，已知该组数据的平均数为11.5，则一+：的最小值为（）ab甲a0311b29TOC\o"1-5"\h\zA.9 B. C.8 D.422.若样本数据x,x,,x的平均数为10，则数据4x一3，4x-3，•…4x-3，的平均数为 .121012103•为了解决低收入家庭的住房问题，某城市修建了首批108套住房，已知A,B,C三个社区分别有低收入家庭360户，270户，180户，现采用分层抽样的方法决定各社区所分配首批经济住房的户数，则应从C社区抽取低收入家庭的户数为（ ）A．48 B．36 C．24 D．184.某市重点中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88,乙组学生成绩的中位数是89,则m+n的值是（ ）甲组乙组87964885m29225TOC\o"1-5"\h\zA．10 B．11 C．12 D．135.2016年高考体检，某中学随机抽取名女学生的身高（厘米）和体重y（公斤）的数据如下表:x165160175155170y5852624360

根据上表可得回归直线方程为y=0.92x+a，则a=()A.-96.8 b.96.8 c.-104.4d.104.46．某工厂为了了解一批产品的净重(单位：克)情况，从中随机抽测了200件产品的净重，所得数据均在区间96，106］上，其频率分布直方图如图所示，已知各个小方形按高度依次构成一个等差数列则在抽测的200件产品中，净重在区间［98,102)上的产品件数是 .7.为了解家庭收入高低对学生学习文史与理工的关系，某科研机构在某综合性大学校园中随机地对100名学生进行调查，其结果如下：家庭收入高家庭收入低合计文史252550理工153550合计4060100从被调查的100名学生中随机抽取一人，求来自家庭收入低的概率；在被调查的100名学生中，利用分层抽样方法从学习文史类专业的学生中抽取6人参加科研机构的座谈，为节约时间，该科研机构从这6人中选出3人进行座谈，求这3人中至少有2名学生来自家庭收入高的概率.你是否有99%的把握认为"家庭收入高低对学生学习文史与理工有关”？Pg叫Pg叫0.100.050.0100.005k02.7063.8416.6357.879n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)8.2016年全国高考只有最后几十天，某省一重点中学对本届高三文科的1200名学生进行全国卷数学模拟适用测评.这1200人随机分为6组，每组200人，并把这6组随机编排在六天分别进行考察，最后把考察结果量化为分数，总分150分.现根据第一组200人的得分绘制出如下频率分布直方图：

利用第一组200人的得分情况，估测一下1200人中得分在105分以上的人数；根据频率分布直方图求出中位数和众数；如果本次参加测评的1200人平均分数不低于100分，就符合期望，即说明学生已经顺利适用高考的题型，学校的文科数学教学是成功的，否则就不符合期望，学生和老师要继续调整学习和教学.请你利用第一组200人得分的平均值(每组的平均数按照对应区间的中点来计算)来判断一下，这次测试是否符合期望.【考点1针对训练】【答案】D【解析】因900-720=180，而180十30=6，故依据系统抽样的特征可知抽到的人中，在C组中的人数应是人，应选D。2•【解析】（1）由频率分布直方图知，竞赛成绩在9°口100分的人数为0.012x10x100=12，竞赛成绩在80口90的人数为0.02x10x100=20，故受奖励分数线在80口90之间，设受奖励分数线为,（2）由（1）知，受奖励的20人中，分数在86口90的人数为8,分数在90口100的人数为12,利用分层抽样，可知分数在86口90的抽取2人，分数在90口100的抽取3人，设分数在86口90的2人分别为牛A2，分数在90口100的3人分别为B3，所有的可能情况有1 2 口 1 2 3（A,A）,（A,B）,（A,B）,（A,B）,（A,B）,（A,B）,（A,B）,（B,B）,（B,B）,（B,B）满足条件1 2 1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 1 2 1 3 2 3的情况有（B］，B2），（B1,B3），（B2,B3），所求的概率为P=10【考点2针对训练】【答案】B【解析】由表中的数据x=l3y=5.5?由&J）在直线$=#丸+/解得丘=—右，即回归直线方程为$=#茏一召，所以■当*12时，$=}12—右=9勺即他的识團能力为9勺故选B【解析】（1）甲班样本化学成绩前十的平均分为-1x= （72+74+74+79+79+80+81+85+89+96）=80.9甲10乙班样本化学成绩前十的平均分为-1x乙= （78+80+81+85+86+93+96+97+99+99）=89.4.甲班样本化学成绩前十的平均分远乙10低于乙班样本化学成绩前十的平均分，大致可以判断“高效课堂”教学方式的教学效果更佳.甲班方式）乙班（E方式）总计成绩扰良1026徒绩不扰良10414总计202040根据列联表中的数据，得疋的观测值施辔需育®心顼“在犯错棉不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关二【三年高考】【答案】D【解析】由图可知0°C均在虚线框内，所以各月的平均最低气温都在0°C以上，A正确；由图可在七月的平均温差大于7.5°C,而一月的平均温差小于7.5°C,所以七月的平均温差比一月的平均温差大,B正确；由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在5°C，基本相同，C正确；由图可知平均最高气温高于20C的月份有3个或2个，所以不正确.故选D.【答案】D【解析】由频率分布直方图知，自习时间不少于22.5小时的有200x（0.16+0.08+0.04）x2.5二140选D.【答案】B【解析】将确定成绩的30秒跳绳成绩的按从大到小的顺寻排，分别是3，6，7，10，（1，5并列），4，其中，3，6，7号进了立定跳远的决赛，10号没进立定跳远的决赛，故9号需进30秒跳绳比赛的前8名，此时确定的30秒跳绳比赛决赛的名单为3，6，7，10，9，还需3个编号为1-8的同学进决赛，而（1,5）与4的成绩仅相隔1,故只能1，5，4进30秒跳绳的决赛，故选B.【解析】（I）事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2•由所给数据知，一年内险次数小于2的频60+50 ___率为200二0.55，故P（A）的估计值为0.55.(厂t)2(厂t)2=28，:为(y.-亍)2=0.55i=1 i=1，工(t-1)(y-y)=2ty-1工2.89i i iiti=1 Ii=1为y与的相关系数近似为0.99y=40.17—4x9.32=2.89，r沁 沁0.99.因i 0.55x2x2.646i=1说明y与的线性相关相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与的关<l【)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4一由是给朝据知，一年内出险灰数夫于1且彳吁4的頻率为弓详=03，故P(B)的估计值为0-3-〔III)由题所求分布列対：保费0.85a3.1.25a1.5a1,75a2a頻率0J00.250.150.1S0.100.05调查200名续保人的平均保费为0.85ax030+ok0.25+1.25^x045+1^x0.15+1J5ax030+2ax0.10=L1925a因此，续保人本年度平均保费估计值为1一即劭工【解析】(I)由折线图这数据和附注中参考数据得t=4,，系.L(t-1)(y-y)一932(II)由y=7沁1.331一932(II)由y=7沁1.331及(I)得b=L(t-t)2 28ii=1 /x_a=y—b沁1.331—0.103x4沁0.92，所以，y关于的回归方程为：y=0.92+O.lOt.将2016年对应的t=9代入回归方程得：y=0.92+0.10x9=1.82，所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨.【答案】B【解析】由茎叶图可知总共12个数据，处在正中间的两个数是第六和第七个数，它们都是20，由中位数的定义可知：其中位数就是20，故选B.【答案】C【解析】由图可知该校女教师的人数为110x70%+150x(1-60%)=77+60=137，故答案选C.8.【答案】A.【解析】因为变量和满足关系y=-0.1x+1，其中-0.1<0，所以与成负相关；又因为变量与正相关,不妨设z=ky+b(k>0)，贝9将y=-0.1x+1代入即可得至U：z=k(-0.1x+1)+b=-0.1kx+(k+b)，所以-0.1k<0，所以与负相关，综上可知，应选A.9.【解析由(0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025)x20=1得：x=0.0075,所以直方團中工的值是0-0075⑵月平均用电量的众数是2笃240=230,因(0.002+0.0095+0.011)x20=0.45<0.5,所以，月平均用电量的中位数在240)内，设中位数为」由(0.002+0.0095+0.011)x20+0.0125x(^-220)=0.5得：a=224,所以月平均用电量的中位数是224(3)月平均用电量为［220,240)的用户有0.0125x20x100二25户，月平均用电量为［240,260)的用户有0.0075x20x100二15户，月平均用电量为［260,280)的用户有0.005x20x100二10户，月平均用电量为［280,300〕的用户有0.0025x20x100-5户,抽取比例 ，所以月25+15+10+5 5平均用电量在匕20,240)的用户中应抽取25x5-5户【答案】C【解析】由题意知，分段间隔为嘤-25，故选C.40【答案】D【解析】根据随机抽样的原理可得简单随机抽样,分层抽样,系统抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等,即p-p-p,故选D.123450012.【解析】(1)300x15000-90，所以应收集90位女生的样本数据.(2)由频率分布直方图得1—2x(°.1°0+0.025)-0.75，该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率为0.75.(3)由(2)知，300位学生中有3°°x°・75-225人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时.又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的.所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：每周平均体育运动时间与性别列联表男生女生总计每周平均体育运动时间不超过4小时453075每周平均体育运动时16560225

间超过4小时总计间超过4小时总计21090300结合列联表可算得K2二300x(45x60-30x165)75x225x210x90罟4・762〉3・841.有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.【一年原创真预测】1.【答案】B【解析】由茎叶團可知，b>0?且甲的数据共有4个，fl,11,13,(20+b).由题意可知,-(5+—+-),因为2at?“+11+13+(20+册=斗xll.5,-(5+—+-),因为2at?abab2~^=斗〔当且仅当-=^-?即a=lb时取等号)一所^1(5+—+^)>1(5+4)=?,TOC\o"1-5"\h\zab ab 2ab2 2斗1 9即兰+丄的最小值为二故选B.ab 22.【答案】37x+x+■■■+x【解析】设数据4Xi-3，4X2-3，…，%-3的平均数为X，由已知得1 210 10二10所以X=所以X=4x1-3+4x2-3+…+4x1。-3二4(x1+x2+二+x10)-30二4x10-3二37.1010【答案】C180 2【解析】根据分层抽样的要求可知在C社区抽取户数为108x 二108x二24360+270+180 9【答案】C解析】由题意，得甲组中78+88+84+86+92+90+m+957解析】由题意，得甲组中78+88+84+86+92+90+m+957二88解得m=3乙组中88<89<92，所以n=9，所以m+n=12，故选c.【答案】A【解析】由表中数据可得x=165,=55,•.•点(x,y)一定在回归直线方程y=0.92兀+a上,55=0.92x165+a，解得a=-96.8.故选A.6【答案】100

【解析】由题意可知(HbO卫上工皿构成等差数列，设公差为巧由小长方形的面积之和为1可得(O.O5O+o+i+c+J)x2=l,艮卩Q.Q5Q+a+b+c+d=O.5? 5x0.050+^/=0.5,解彳寻t=0.025一