实数集与函数

实数集与函数第一页，共一百零六页，2022年，8月28日

记号与术语第二页，共一百零六页，2022年，8月28日《数学分析》概述

一、研究对象变量间的关系及变化过程，具体表现为函数及其性质。函数及其性质：单调性、有界性、奇偶性、最大（小）值、极大（小）值、周期性、图象、……需要指明的是：中学也研究函数的这些性质，但主要采用“静止”、“孤立”的方法去研究函数．而在《数学分析》中主要采用“运动”、“联系”、“变化”的过程把握变化的结果．因而《数学分析》中的方法具“运动性”、“变化性”．如何研究函数？通过什么方式、角度去研究呢？或用什么样的工具去研究函数呢？这些构成《数学分析》的主要内容．第三页，共一百零六页，2022年，8月28日第四页，共一百零六页，2022年，8月28日第五页，共一百零六页，2022年，8月28日变量数学分析数学分析函数极限方法极限论微分学积分学级数论（单变量和多变量）工具基础中心对象对象变动观点关系第六页，共一百零六页，2022年，8月28日第七页，共一百零六页，2022年，8月28日第八页，共一百零六页，2022年，8月28日第九页，共一百零六页，2022年，8月28日第十页，共一百零六页，2022年，8月28日第一章实数集与函数

§1实数§2数集确界原理§3函数的概念§4复合函数与反函数第十一页，共一百零六页，2022年，8月28日1.1实数一.实数及其性质二.绝对值与不等式第十二页，共一百零六页，2022年，8月28日

若规定：

则有限十进小数都能表示成无限循环小数.实数对正整数对负有限小数（包括负整数）y,先将-y表示成无限小数，再在无限小数前加负号．如:-8=-7.999一.实数及其性质：1.回顾中学中关于有理数和无理数的定义.第十三页，共一百零六页，2022年，8月28日说明:

对于负实数x,y,若有-x=-y与-x>-y,则分别称x=y与x<y(y>x)2.两个实数的大小关系

说明:

自然规定任何非负实数大于任何负实数.)2,1(,,,2,1,.90,90),2,1(,,,.,.110000210210xyyxx，yyxbalkbalbay；x，yxkbaba，kba，babbbbyaaaaxllkkkkkkkknn<>>==>===££££===++或分别记为小于或大于则称而使得或存在非负整数若记为相等与则称若有为整数为非负整数其中给定两个非负实数LLLLLLL1)定义1第十四页，共一百零六页，2022年，8月28日定义2设

为实数x的n位不足近似，而有理数

称为x的n位过剩近似，n=0,1,2,….为非负实数.称有理数2)通过有限小数比较大小的等价条件第十五页，共一百零六页，2022年，8月28日

对于负实数其n位不足近似和n位过剩近似分别规定为和

注意：对任何实数x,有,第十六页，共一百零六页，2022年，8月28日命题1

设实数的性质

1.实数集R对加,减,乘,除(除数不为0)四则运算是封闭的.即任意两个实数和,差,积,商(除数不为0)仍然是实数.

2.实数集是有序的.即任意两个实数a,b必满足下述三个关系之一:a<b,a=b,a>b.为两个实数，则第十七页，共一百零六页，2022年，8月28日3.实数集的大小关系具有传递性.即若a>b,b>c,则有a>c.5.实数集R具有稠密性.即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数,且既有有理数,也有无理数.6.实数集R与数轴上的点具有一一对应关系.即任一实数都对应数轴上唯一的一点,反之,数轴上的每一点也都唯一的代表一个实数..

,

0

,

,

.

4

b

na

n

a

b

R

b

a

,

>

>

>

Î

使得

则存在正整数

若

即对任何

实数具有阿基米德性

第十八页，共一百零六页，2022年，8月28日例1证明例2证明.::,yrxr，yx<<满足存在有理数证明为实数设.,)(21.,yrxyyrxx，ryxryxn，yxnnnnnn<<£<<£+=<<即得且有为有理数则令使得故存在非负整数由于.,:,,babaRba£+<Î则有若对任何正数证明设ee..,,..bababababa,£+<+=-=>从而必有矛盾这与假设为正数且则令有则根据实数的有序性假若结论不成立用反证法eeee第十九页，共一百零六页，2022年，8月28日a0-a二.绝对值与不等式从数轴上看的绝对值就是到原点的距离：

绝对值定义：第二十页，共一百零六页，2022年，8月28日绝对值的一些主要性质第二十一页，共一百零六页，2022年，8月28日性质4（三角不等式）的证明：由此可推出第二十二页，共一百零六页，2022年，8月28日几个重要不等式:⑵均值不等式:(算术平均值)(几何平均值)(调和平均值)第二十三页，共一百零六页，2022年，8月28日有平均值不等式:等号当且仅当时成立.⑶Bernoulli不等式:第二十四页，共一百零六页，2022年，8月28日⑷利用二项展开式得到的不等式:由二项展开式第二十五页，共一百零六页，2022年，8月28日§1.2数集·确界原理一、区间与邻域

二、上确界、下确界第二十六页，共一百零六页，2022年，8月28日一、区间与邻域1.集合:具有某种特定性质的事物的总体.组成这个集合的事物称为该集合的元素.有限集无限集第二十七页，共一百零六页，2022年，8月28日数集分类:N----自然数集Z----整数集Q----有理数集R----实数集数集间的关系:例如不含任何元素的集合称为空集.例如,规定空集为任何集合的子集.第二十八页，共一百零六页，2022年，8月28日2.区间:是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.称为开区间,称为闭区间,第二十九页，共一百零六页，2022年，8月28日称为半开区间,称为半开区间,有限区间无限区间区间长度的定义:两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.第三十页，共一百零六页，2022年，8月28日3.邻域:第三十一页，共一百零六页，2022年，8月28日二有界集·确界原理1有（无）界数集:定义(上、下有界,有界)数集S有上界数集S无上界数集S有下界数集S无下界数集S有界数集S无界第三十二页，共一百零六页，2022年，8月28日例证明集合

是无界数集.证明：由无界集定义，E为无界集.第三十三页，共一百零六页，2022年，8月28日第三十四页，共一百零六页，2022年，8月28日2确界:直观定义:若数集S有上界，则它有无穷多个上界，其中最小的一个上界称为数集S的上确界，同样，有下界数集S最大的一个下界称为数集S的下确界，MM2M1上确界上界m2mm1下确界下界第三十五页，共一百零六页，2022年，8月28日确界的精确定义

第三十六页，共一百零六页，2022年，8月28日第三十七页，共一百零六页，2022年，8月28日第三十八页，共一百零六页，2022年，8月28日第三十九页，共一百零六页，2022年，8月28日例3设数集S有上确界.证明第四十页，共一百零六页，2022年，8月28日例4设A,B为非空数集,满足:证明数集A有上确界,数集B有下确界,且证:

故有确界原理知,数集A有上确界,数集B有下确界.

是数集A的一个上界,而由上确界的定义知由假设,数集B中任一数

都是数集A的上界,A中任一数

都是B的下界,

是数集A的最小上界,故有

而此式又表明数

是数集B的一个下界,

故由下确界的定义证得

第四十一页，共一百零六页，2022年，8月28日例5

为非空数集,

试证明:

证

有或

由和分别是的下界,有或即

是数集的下界,

.和第四十二页，共一百零六页，2022年，8月28日2、3、上第四十三页，共一百零六页，2022年，8月28日

3.数集与确界的关系:确界不一定属于原集合.以例1⑵为例做解释.

4.确界与最值的关系:

设E为数集.

⑴E的最值必属于E,但确界未必,确界是一种临界点.

⑵

非空有界数集必有确界(见下面的确界原理),但未必有最值.

⑶

若存在,必有对下确界有类似的结论.第四十四页，共一百零六页，2022年，8月28日

5确界原理

定理1(确界原理).设E为非空数集，若E有上界，则E必有上确界；若E有下界，则E必有下确界。第四十五页，共一百零六页，2022年，8月28日设A,B为非空有限数集,.证明:

例6证:

故得

所以

综上,即证得第四十六页，共一百零六页，2022年，8月28日§1.3函数的一般概念函数的概念2几个特殊的函数举例3函数的性质第四十七页，共一百零六页，2022年，8月28日

一、函数概念

函数是整个高等数学中最基本的研究对象,可以说数学分析就是研究函数的.因此我们对函数的概念以及常见的一些函数应有一个清楚的认识.

第四十八页，共一百零六页，2022年，8月28日因变量自变量D称为定义域，记作Df，即Df=

D

.函数值的全体构成的数集称为值域，记为：第四十九页，共一百零六页，2022年，8月28日对应法则f函数的两要素:定义域与对应法则.自变量因变量约定:定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.第五十页，共一百零六页，2022年，8月28日关于函数定义的几点说明:第五十一页，共一百零六页，2022年，8月28日第五十二页，共一百零六页，2022年，8月28日定义:如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数．第五十三页，共一百零六页，2022年，8月28日函数的相等与不等注：分清和“函数值的相等与不等”。第五十四页，共一百零六页，2022年，8月28日表示函数的主要方法有三种:表格法、图形法、解析法(公式法).用图形法表示函数是基于函数图形的概念,坐标平面上的

函数的表示法第五十五页，共一百零六页，2022年，8月28日单值函数与多值函数

在函数的定义中,对每个xD,对应的函数值y总是唯一的,这样定义的函数称为单值函数.如果给定一个对应法则,按这个法则,对每个xD,总有确定的y值与之对应,但这个y不总是唯一的,我们称这种法则确定了一个多值函数.例如,由方程x2y2r2确定的函数是一个多值函数:此多值函数附加条件“y0”后可得到一个单值分支第五十六页，共一百零六页，2022年，8月28日此函数称为绝对值函数,其定义域为D=(-,+),其值域为Rf

=[0,+).

(2)

(1)常值函数y=c.其定义域为D=(-,

+),其值域为Rf

={c}.下页三几个特殊的函数举例第五十七页，共一百零六页，2022年，8月28日(3)符号函数

其定义域为D=(-,+),其值域为Rf

={-1,0,1}.第五十八页，共一百零六页，2022年，8月28日(4)取整函数y=[x][x]表示不超过的最大整数阶梯曲线其定义域为D=(-,+),其值域为

=Z.例：

第五十九页，共一百零六页，2022年，8月28日（5）“非负小数部分”函数

它的定义域是第六十页，共一百零六页，2022年，8月28日有理数点无理数点•1xyo(6)狄利克雷函数其定义域为D=(-,+),其值域为={0,1}.第六十一页，共一百零六页，2022年，8月28日(7)取最值函数yxoxo第六十二页，共一百零六页，2022年，8月28日(8)Riemann函数第六十三页，共一百零六页，2022年，8月28日在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.分段函数第六十四页，共一百零六页，2022年，8月28日例2解故第六十五页，共一百零六页，2022年，8月28日三、函数的性质M-Myxoy=f(x)X有界无界M-MyxoX1．函数的有界性:第六十六页，共一百零六页，2022年，8月28日M-Myxoy=f(x)X有界无界M-MyxoX1．函数的有界性:四、函数的性质第六十七页，共一百零六页，2022年，8月28日f(x)=sinx在(-,+)上是有界的:

|sinx|1.所以函数无上界.有界函数举例第六十八页，共一百零六页，2022年，8月28日例3第六十九页，共一百零六页，2022年，8月28日2．函数的单调性:xyo第七十页，共一百零六页，2022年，8月28日xyo第七十一页，共一百零六页，2022年，8月28日3．函数的奇偶性:偶函数yxox-x第七十二页，共一百零六页，2022年，8月28日奇函数yxox-x第七十三页，共一百零六页，2022年，8月28日第七十四页，共一百零六页，2022年，8月28日第七十五页，共一百零六页，2022年，8月28日4．函数的周期性:（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.第七十六页，共一百零六页，2022年，8月28日第七十七页，共一百零六页，2022年，8月28日§1.4复合函数

反函数初等函数二.反函数三.初等函数四.双曲函数与反双曲函数一.复合函数第七十八页，共一百零六页，2022年，8月28日一、复合函数

在实际问题中，有很多比较复杂的函数是由几个比较简单的函数“叠置”而成的，如在简谐振动中位移y与时间t的函数关系就是由三角函数和线性函数“叠置”而成的，第七十九页，共一百零六页，2022年，8月28日定义:注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;——复合条件第八十页，共一百零六页，2022年，8月28日复合函数的定义域复合条件在实际应用时常取形式内层函数的值域落在外层函数的定义域之内2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.第八十一页，共一百零六页，2022年，8月28日二、反函数DWDW反函数.第八十二页，共一百零六页，2022年，8月28日的反函数，记为

反函数的定义域和值域恰为原函数的值域和定义域

显然有

(恒等变换）

(恒等变换)

。第八十三页，共一百零六页，2022年，8月28日这样直接函数与反函数的图形关于直线对称.从方程角度看，函数和反函数没什么区别，作为函数，习惯上我们还是把反函数记为.第八十四页，共一百零六页，2022年，8月28日

严格单调函数是1-1对应的，所以严格单调函数有反函数。但1-1对应的函数（有反函数）不一定是严格单调的，看下面例子它的反函数即为它自己.

第八十五页，共一百零六页，2022年，8月28日

实际求反函数问题可分为二步进行：

(1).确定的定义域和值域，考虑1-1对应条件。固定，解方程

得出。(2).按习惯，自变量、因变量互换，得.第八十六页，共一百零六页，2022年，8月28日三初等函数１、基本初等函数（1）.幂函数第八十七页，共一百零六页，2022年，8月28日幂函数第八十八页，共一百零六页，2022年，8月28日（2）.指数函数第八十九页，共一百零六页，2022年，8月28日（3）.对数函数第九