定量定理及守恒定律

定量定理及守恒定律第一页，共二十六页，2022年，8月28日一冲量——力对时间的累积矢量冲量：元冲量：说明：1冲量是矢量：2独立性：多个力对同一物体产生的冲量，等于每一个力单独对物体产生的冲量的矢量和大小方向：沿着平均作用力方向运算法则：矢量合成法则可投影在坐标系中讨论第二页，共二十六页，2022年，8月28日二动量定理理解：1冲量是动量改变的原因和量度。2动量定理具有矢量性。可在坐标系中表示即：质点所受合外力的冲量等于质点动量的改变量**.动量定理与状态相联系解题时比牛律更方便！！3适用惯性参考系1单个质点第三页，共二十六页，2022年，8月28日2质点系的动量定理:对i质点运用动量定理：对所有质点求和可得：一对内力的冲量能抵消吗？？答案是肯定的！f1nfn1m1mifi1f1iFiF1mnFnfnifin质点系动量定理:

作用于系统的合外力的冲量等于系统动量的增量第四页，共二十六页，2022年，8月28日讨论：A.适用条件：惯性系

B.内力对质点组总动量改变量没有贡献，但对其中某一质点的动量改变有贡献。C.质点系的动量定理同样具有矢量的独立性

第五页，共二十六页，2022年，8月28日１、成立的条件：

Ａ系统根本不受外力或合外力为零。Ｂ系统内力很大，外力可以忽略不计。（如爆炸碰撞打击等）C系统在某一方向所受合外力为零，系统在该方向动量守恒（总动量不一定守恒）。***D.质点系的动量守恒定理：当质点系所受合外力为零时，质点系的总动量守恒。关于系统动量守恒的几点说明：第六页，共二十六页，2022年，8月28日2动量守恒定律是关于自然界一切过程的一条最基本的定律。它适用于A宏观粒子系统B电磁场C微观粒子系统

过程、系统、条件

·用任何守恒定律解题，注意分析:3更普遍的动量守恒定律并不依赖牛顿定律。4只适用于惯性系。第七页，共二十六页，2022年，8月28日三动量定理的应用1.可运用动量定理求解的问题特征

不考虑中间过程或中间过程很繁杂，而物体系状态量易求，或由物体系的状态量就可以求解的问题。2.动量定理应用的常用近似方法

A.平均冲力：由于碰撞问题中作用力的时间一般很短暂，因而，在没有特别注明情况下，一般将碰撞过程中随时间变化的冲力视为平均力，即平均冲力。B.忽略较小外力。一般情况下，冲力的大小比物体的重力、摩擦力等外力大一到二个数量级，因而，它们常可被忽略。第八页，共二十六页，2022年，8月28日例1:质量为m的质点，经时间t、以不变的速率v越过一水平光滑轨道60º的弯角.求：轨道作用于质点的平均冲力的大小。解：平均冲力可视为恒力,由动量定理有

因30omv2v130oij平均冲力根据对称性,易知平均力方向即沿j方向第九页，共二十六页，2022年，8月28日

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特别注意动量定理的矢量性!若无对称性,一般的可如图建立坐标系，将速度投影大小:，方向：j(y轴正方向)。代入上式得30omv2v130oij第十页，共二十六页，2022年，8月28日解:合外力:练习：一质量为m的质点在xoy平面上运动，其位置矢量为：式中a、b、是正值常数，且a>b。求：t=0到t=/(2)时间内所受合力的冲量及质点动量的改变量

∴合力的冲量为：讨论:若用动量定理来求呢?提示显然,用定理更简单!第十一页，共二十六页，2022年，8月28日例2如图，用传送带A输送煤粉，料斗口在A上方高h=0.8m处煤粉自料斗口自由落在传送带A上。设料斗口连续卸煤的流量为qm=40kg/s,传送带A以v=3m/s匀速向右运动。求：卸煤的过程中，煤粉对传送带A的平均作用力（不计相对传送带静止的煤粉质量，取g=10m/s2）

解：煤粉下落h时的速度

取在时间dt内落下的煤粉dm=qmdt为研究对象应用动量理，有：hAvv0yx变质量问题第十二页，共二十六页，2022年，8月28日平均冲力：大小:|F|=200N，方向与x轴正方向成53.1o.煤粉对传送带A的平均作用力与此力大小相等而方向相反。

此类题型:(质量变化且无穷),其运动状态易知关键是选取质量微元为研究对象写出常规的动量定理形式．第十三页，共二十六页，2022年，8月28日m练习：一质量均匀分布的柔软的细绳铅直地悬挂着，绳的下端刚好触到水平桌面上。如果把绳的上端放开，绳将落向桌面。试证明：在绳下落的过程中，任意时刻作用于桌面的压力，等于已落到桌面上的绳重量的三倍。

证:设绳的线密度为,下落长度为h时,绳的速度为取时间t~t+dt内落下的绳dm=.dt为研究对象Fdmdmg由作用力与反作用关系，得绳子对地面的冲力为最后得:N=mg+=3mg即:作用于桌面的压力是重量的三倍。第十四页，共二十六页，2022年，8月28日例3：一柔软链条长为l，单位长度的质量为，链条放在有一小孔的桌上，链条一端由小孔稍伸下，其余部分堆在小孔周围．由于某种扰动,链条因自身重量开始下落.m1m2Oyy求：链条下落速度v与y之间的关系．设各处摩擦均不计，且认为链条软得可以自由伸开．仍是变质量问题但总质量有限,若运动状态不易知道，则选取整个系统为研究对象写出动量定理的微分形式．第十五页，共二十六页，2022年，8月28日解

以竖直悬挂的链条和桌面上的链条为一系统，建立坐标系由质点系动量定理的微分式得则m1m2Oyy两边同乘以则第十六页，共二十六页，2022年，8月28日练习:一长为l,密度均匀的柔软链条,其单位长度的质量为,将其卷成一堆放在地面上,如图所示.若用手握住链条的一端,以加速度a从静止匀加速上提.当链条端点离地面的高度为x时,求手提力的大小.解：以链条为系统,向上为X正向,地面为原点建立坐标系t时刻,系统总动量OX系统受合外力第十七页，共二十六页，2022年，8月28日动量守恒定律例4：如图，质量为M的物体有一个四分之一滑槽，静止在光滑水平面上，质量为m的滑块自其顶部由静止开始下滑。求：当m滑至滑槽底部时，M移动的距离。解：选择M、m为物体系，由于物体系在水平方向不受外力作用，因而动量守恒两边同时对时间积分：令于是：注意，vx、s是相对于地面的水平速度和位移，相对于滑槽的水平位移为：第十八页，共二十六页，2022年，8月28日第十九页，共二十六页，2022年，8月28日而讨论：A.对中间过程是变力的运动过程，用牛顿定律求解，往往很繁杂，此时，应考虑用动量定理或动量守恒求解。B.求解过程中，并没有考虑m与M之间是否存在摩擦力，因而，即便存在摩擦力，上述结果同样成立。C.此题一个重要技巧用到(1)式，即两物体水平位移成比例。这在许多问题中经常用到。类似的还有速度、加速度成比例。第二十页，共二十六页，2022年，8月28日练习（高中题目）如图所示，一辆质量为M的平顶小车静止在光滑的水平轨道上，今有一质量为m的小物体以水平速度o滑向车顶。设物体与车顶之间的摩擦系数为，求:(1)从物体滑上车顶到相对车顶静止需多少时间？(2)要物体不滑下车顶，车长至少应为多少？

M0m解(M+m):水平方向不受外力，故动量守恒：mo=(M+m)

式中是相对静止时的速度。(1)对物体m应用动量定理，有-mg.t=m-mo解得第二十一页，共二十六页，2022年，8月28日(2)要物体不滑下车顶，车长至少应为多少？M0mm相对地面的加速度：a=-gm相对地面运动的距离：S1=(2-02)/2a

M相对地面的加速度：a0=mg/MM相对地面运动的距离：S2=2/2a0=mo/=(M+m)故车的最小长度为第二十二页，共二十六页，2022年，8月28日另解：由于一对内力(摩擦力)的功与参考系无关,可取车为参考系来计算摩擦力的功,由系统动能定理得要物体不滑下车顶,车的最小