对偶理论与灵敏度分析

对偶理论与灵敏度分析第一页，共九十四页，2022年，8月28日第三章

对偶理论与灵敏度分析第二页，共九十四页，2022年，8月28日第一节对偶问题的提出例：常山机械厂生产Ⅰ和Ⅱ两种产品。生产中需使用A、B、C三种设备进行加工，加工每件Ⅰ产品或Ⅱ产品所需的设备机时数、利润值及每种设备可利用机时数列于下表，请问：充分利用设备机台时，工厂应生产Ⅰ和Ⅱ产品各多少件才能获得最大利润？试列出相应的线性规划数学模型。ABC产品利润（元／件）Ⅰ2402Ⅱ2053设备可用机时数（工时）121615第三页，共九十四页，2022年，8月28日第一节对偶问题的提出解：设Ⅰ、Ⅱ产品的生产数量分别为x1和x2，建立问题数学模型如下：maxz=2x1+3x22x1+2x2≤124x1≤165x2≤15xj≥0，j=1，2现假设有另一家四海机器厂，为了扩大生产想租借常山机器厂拥有的设备资源，问常山厂分别以每小时什么样的价格才愿意出租自己的设备呢？第四页，共九十四页，2022年，8月28日第一节对偶问题的提出设A、B、C设备的机时单价分别为y1、y2、y3，新的线性规划数学模型为minw=12y1+16y2+15y32y1+4y2≥22y1+5y3≥3yj≥0，j=1，2，3A（y1）B（y2）C（y3）产品利润（元／件）Ⅰ（x1）2402Ⅱ（x2）2053设备可用机时数（工时）121615maxz=2x1+3x22x1+2x2≤124x1≤165x2≤15xj≥0，j=1，2第五页，共九十四页，2022年，8月28日第一节对偶问题的提出23x1

x2

原问题12y1

22≤1216y2

40≤1615y305≤15对偶问题23第六页，共九十四页，2022年，8月28日第一节对偶问题的提出X1,X2,…,Xnxjyi对偶问题原问题

…MinwMaxZMaxZ=Minw原问题与对偶问题的形式关系第七页，共九十四页，2022年，8月28日第一节对偶问题的提出原始问题maxz=CXs.t. AX≥b X≥0对偶问题minw=bTYs.t.ATY≤CTY≥0≥maxbACCTATbT≤minmnmn第八页，共九十四页，2022年，8月28日第一节对偶问题的提出原问题与对偶问题maxz=c1x1+c2x2+…+cnxn

s.t.a11x1+a12x2+…+a1nxn≤b1

a21x1+a22x2+…+a2nxn≤b2

……am1x1+am2x2+…+amnxn≤bmxj≥0（j=1,2,…,n）minw=b1y1+b2y2+…+bmym

s.t.a11y1+

a21y2+…+am1ym≥c1a12y1+a22y2+…+am2ym≥c2

……a1ny1+a2ny2+…+amnym≥cnyi≥0（i=1,2,…,m）

设原LP问题为则称下列LP问题第九页，共九十四页，2022年，8月28日第一节对偶问题的提出例：写出下列线性规划问题的对偶问题minw=12x1+8x2+16x3+12x4s.t.2x1+x2+4x3

22x1+2x2+4x43x1，x2，

x3，x40解：该问题的对偶问题：

maxz=2y1+3y2s.t.2y1+2y212y1+2y284y1164y212y1，y20y1y2第十页，共九十四页，2022年，8月28日第一节对偶问题的提出例：写出下列线性规划问题的对偶问题maxz=10x1+x2+2x3s.t.x1+x2+2x3

10y14x1+2x2-x320y2

x1，x2，

x30解：该问题的对偶问题：

minw=10y1+20y2s.t.y1+4y210y1+2y212y1-y22y1，y2

0第十一页，共九十四页，2022年，8月28日例：写出下列线性规划问题的对偶问题

minw=x1+2x2+3x3s.t.2x1+3x2+5x3

2

3x1+x2+7x33x1，x2，

x30解：用（-1）乘以第二个约束方程两边

minw=x1+2x2+3x3s.t.2x1+3x2+5x3

2y1

-3x1-x2-7x3-3y2x1，x2，

x30该问题的对偶问题：

maxz=2y1-3y2s.t.2y1-3y213y1-y225y1-

7y23y1，y20第一节对偶问题的提出第十二页，共九十四页，2022年，8月28日第一节对偶问题的提出解：化为对称形式。max

x1≥0,x2≤0,x3无约束s.t.a11x1+a12x2+a13x3≤

b1z=c1x1+c2x2

+c3x3

a31x1+a32x2+a33x3≥

b3a21x1+a22x2+a23x3=b2令maxs.t.例：写出下述线性规划问题的对偶问题第十三页，共九十四页，2022年，8月28日第一节对偶问题的提出maxs.t.对偶变量mins.t.对偶问题：第十四页，共九十四页，2022年，8月28日第一节对偶问题的提出maxs.t.对偶变量mins.t.对偶问题：第十五页，共九十四页，2022年，8月28日第一节对偶问题的提出原问题（对偶问题）对偶问题（原问题）A约束系数矩阵约束系数矩阵的转秩b约束条件右端项向量目标函数中价格系数向量c目标函数中价格系数向量约束条件右端项向量目标函数变量xj(j=1,···,n)约束条件有n个xj≥0≥cjxj≤0≤cjxj无约束=cj约束条件有m个变量有m个yi(i=1,···,m)≤biyi≥0≥biyi≤0=biyi无约束第十六页，共九十四页，2022年，8月28日第一节对偶问题的提出例：写出原问题的对偶问题minz=7x1+4x2-3x3-4x1+2x2-6x3≤24-3x1-6x2-4x3≥155x2+3x3=30x1≤

0x2无符号限制

x3≥0maxw=24y1+15y2+30y3y1≤0y2≥0y3无符号限制

-4y1-3y2≥722y1-6y2+5y3=4-6y1-4y2+3y3≤

-3第十七页，共九十四页，2022年，8月28日第一节对偶问题的提出例：写出(P)问题的(D)问题maxz=2x1+3x2-5x3+x4s.t.4x1+x2-3x3+2x4≥53x1-2x2+7x4≤4-2x1+3x2+4x3+x4=6x1≤

0,x2,x3≥0,x4无符号限制minw=5y1+4y2+6y3s.t.4y1+3y2-2y3≤

2y1-2y2+3y3≥

3-3y1+4y3≥-52y1+7y2+y3=1y1≤

0,y2≥0,y3无符号限制第十八页，共九十四页，2022年，8月28日第二节对偶问题的基本性质minZ’=-CXs.t.-AX≤-b X≥01、对称性：对偶问题的对偶是原问题。

minW=Ybs.t.YA≥CY≤0maxZ=CXs.t.AX≥b X≥0对偶的定义对偶的定义maxW’=-Ybs.t.YA≥CY≤0第十九页，共九十四页，2022年，8月28日2、弱对偶性：设和分别是问题（P）和（D）的可行解，则必有第二节对偶问题的基本性质第二十页，共九十四页，2022年，8月28日ZYX在Y=0的平面上鞍点是z=f(0,y)的极大值点第二节对偶问题的基本性质第二十一页，共九十四页，2022年，8月28日XYZ在X=0的平面上鞍点是z=f(0,y)的极小值点第二节对偶问题的基本性质第二十二页，共九十四页，2022年，8月28日3、无界性：在一对对偶问题（P）和（D）中，若其中一个问题可行但目标函数无界，则另一个问题不可行；反之不成立。原问题对偶问题问题无界无可行解无可行解问题无界第二节对偶问题的基本性质第二十三页，共九十四页，2022年，8月28日4、互补松弛性：设和分别是原问题和其对偶问题的最优解，若对偶变量，则原问题相应的约束条件若约束条件，则相应的对偶变量第二节对偶问题的基本性质第二十四页，共九十四页，2022年，8月28日例：给定线性规划问题minz=2x1+3x2+x33x1-x2+x3≧1x1+2x2-3x3≧2x1,x2,x3≧0已知对偶问题的最优解为y=（y1,y2）T=（1/7,11/7）试用互补松弛性质，求原问题的最优解。第二节对偶问题的基本性质第二十五页，共九十四页，2022年，8月28日解：先写出它的对偶问题maxw=y1+2y23y1+y2≦2-y1+2y2≦3y1-3y2≦1y1,y2≧0将最优解y=（y1,y2）T=（1/7,11/7）代入上面的线性规划中，第三个约束条件严格不等，说明x3=0,第一、二个约束条件严格取等，说明，x1=4/7,x2=5/7第二节对偶问题的基本性质第二十六页，共九十四页，2022年，8月28日例:已知线性规划问题

Min.Z=2x1+3x2+5x3+2x4+3x5

S.t.x1+x2+2x3+x4+3x5≥4

2x1–x2+3x3+x4+x5≥3xi≥0(i=1,2,3,4,5)已知对偶问题的最优解为y1=4/5,y2=3/5,试应用对偶理论解原问题。

第二节对偶问题的基本性质第二十七页，共九十四页，2022年，8月28日2＝21/5＜317/5＜57/5＜23=3将y1、y2的值代入，得知②、③、④为严格不等式，于是由互补松弛定理知，必有x2=x3=x4=0；又因y1,y2

＞0，故原问题的两个约束必为紧约束，于是有：

x1+3x5=42x1+x5=3解之，x1=x5=1。Z(1,0,0,0,1)=5

解：写出对偶问题为：

Max.S=4y1+3y2S.t.y1+2y2≤2①y1–y2≤3②

2y1+3y2≤5③

y1+y2≤2④

3y1+y2≤3⑤

y1,y2≥0第二节对偶问题的基本性质第二十八页，共九十四页，2022年，8月28日例:已知线性规划问题试通过求对偶问题的最优解来求解原问题的最优解。第二节对偶问题的基本性质第二十九页，共九十四页，2022年，8月28日用图解法求出：Y*=（1.3），W=11。将y*1=1，y*2=3代入对偶约束条件，（1）（2）（5）式为紧约束，（3）（4）为松约束。令原问题的最优解为X*=（x1.x2.x3.x4.x5），则根据互补松弛条件，必有x3=x4=0(1.3)（1）（2）（3）（4）（5）解：对偶问题为第二节对偶问题的基本性质第三十页，共九十四页，2022年，8月28日

又由于y*1＞0，y*2

＞0，原问题的约束必为等式，即化简为此方程组为无穷多解令x5=0,得到x1=1，x2=2即X*1=（）为原问题的一个最优解，Z=11。再令x5=2/3，得到x1=5/3，x2=0即X*2

（）也是原问题的一个最优解，Z=11。第二节对偶问题的基本性质第三十一页，共九十四页，2022年，8月28日例:已知线性规划问题及其对偶问题maxz=2x1+3x2+0x3+0x4+0x52x1+2x2+x3=12y14x1+x4=16y25x2+x5=15y3xj≥0minw=-12y1-16y2-15y3+0y4+0y5-2y1-4y2+y4=-2x1-2y1-5y3+y5=-3x2yi≥0分别求解，得到如下两个最优单纯形表。第二节对偶问题的基本性质第三十二页，共九十四页，2022年，8月28日

基b原问题变量原问题松弛变量x1x2x3x4x5x13101/20-1/5x4400-214/5x2301001/500101/5变量对偶问题的剩余变量对偶问题变量y4y5y1y2y3

基b对偶问题变量对偶问题的剩余变量y1y2y3

y4y5y11120-1/20y21/50-4/511/5-1/504033变量原问题松弛变量原问题变量x3x4x5

x1x2第二节对偶问题的基本性质第三十三页，共九十四页，2022年，8月28日w1wiwmwm+1wm+jwn+m

x1xjxnxn+1xn+ixn+m

对偶问题的变量对偶问题的松弛变量

原始问题的变量原始问题的松弛变量xjwm+j=0，wixn+i=0(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)在一对变量中，其中一个大于0，另一个一定等于0第二节对偶问题的基本性质第三十四页，共九十四页，2022年，8月28日第三节对偶单纯形法

我们前面介绍的一般单纯形法，是从“可行”(右端项非负）开始，逐步地迭代运算，直到得出最优解。而应用对偶规划的性质，可以找到一种求解线性规划的新方法——对偶单纯形法。对偶单纯形法则是从“不可行”(右端项含负）开始，在保持最优性之下逐步迭代，直到不可行变为可行，即得到可行最优解为止。当对偶问题的约束条件的数目较原问题为少时，应用对偶单纯形法求解较为方便。第三十五页，共九十四页，2022年，8月28日例：用对偶单纯形法解下列线性规划问题

minw=12y1+16y2+15y3s.t.2y1+4y222y1+5y3

3y1，y2，

y30解：此题可用人工变量方法求，但也可用对偶单纯形法。

maxw’=-12y1-16y2–15y3s.t.-2y1-4y2+y4=-2-2y1-5y3+y5=-3y1，y2，

y3，y4，y5

0第三节对偶单纯形法第三十六页，共九十四页，2022年，8月28日列初始单纯形表Cj－12－16－1500CBXBby1y2y3y4y500y4y5-2-3-2-2-400[-5]1001-12-16-1500第三节对偶单纯形法第三十七页，共九十四页，2022年，8月28日Cj－12－16－1500CBXBby1y2y3y4y500y4y5-2-3-2-2-400[-5]1001-12-16-15000-15y4y3-23/5[-2]2/5-4001100-1/5-6-1600-3第三节对偶单纯形法第三十八页，共九十四页，2022年，8月28日Cj－12－16－1500CBXBby1y2y3y4y500y4y5-2-3-2-2-400[-5]1001-12-16-15000-15y4y3-23/5[-2]2/5-4001100-1/5-6-1600-3-12-15y1y311/5102-4/501-1/21/50-1/50-40-3-3Y*=(1,0,1/5,0,0)第三节对偶单纯形法第三十九页，共九十四页，2022年，8月28日例：用对偶单纯形法求解：解:（1）将模型转化为求最大化问题，约束方程化为等式求出一组基本解，因为对偶问题可行，即全部检验数≤0（求max问题）。第三节对偶单纯形法第四十页，共九十四页，2022年，8月28日cj-9-12-15000bcBxBx1x2x3x4x5x60x4-2-2-1100-100x5-2-3-1010-120x6-1-1-5001-14(-9/-1.-12/-1.

-15/-5)λj-9-12-150000第三节对偶单纯形法第四十一页，共九十四页，2022年，8月28日cj-9-12-15000bcBxBx1x2x3x4x5x60x4-9/5-9/5010-1/5-36/50x5-9/5-14/5001-1/5-46/5-15x31/51/5100-1/514/5(-30/-9,-45/-14,-15/-1)-6-9000-342cj-9-12-15000bcBxBx1x2x3x4x5x60x4-9/14001-9/14-1/14-9/7-12x29/14100-5/141/1423/7(-3/-9,-45/-9,-33/-1)-15x31/140101/14-3/1415/7-3/14000-45/14-33/14第三节对偶单纯形法第四十二页，共九十四页，2022年，8月28日cj-9-12-15000cBxBx1x2x3x4x5x6b-9x1100-14/911/92-12x20101-102-15x30011/90-2/92000-1/3-3-7/3原问题的最优解为：X*=（2,2,2,0,0,0），Z*=72其对偶问题的最优解为：Y*=（1/3,3,7/3），W*=72第三节对偶单纯形法第四十三页，共九十四页，2022年，8月28日第三节对偶单纯形法例:用对偶单纯形法解下列线性规划问题

minS=x1+4x2+3x4s.t.x1+2x2-x3+x43-2x1-x2+4x3+x4

2x1，x2，

x3，x40解：用对偶单纯形法。

maxS’=-x1-4x2-3x4s.t.-x1-2x2+x3-x4+x5=-32x1+x2-4x3-x4+x6=-2x1，x2，

x3，x4，x5

，x6

0第四十四页，共九十四页，2022年，8月28日第三节对偶单纯形法计算检验数全为非正，称为对偶可行；而常数项全是负数，称为原始不可行。常数项是负数且最小，确定出基变量x5。第四十五页，共九十四页，2022年，8月28日第三节对偶单纯形法用出基变量x5行的所有负数分别去除对应的检验数，最小值对应的为进基变量x1，交叉元素为主元（-1）主元运算：第一行乘（-1）第四十六页，共九十四页，2022年，8月28日第三节对偶单纯形法主元运算：第二行加上第一行（-2）计算检验数第四十七页，共九十四页，2022年，8月28日第三节对偶单纯形法确定出基变量X6确定进基变量X3，主元（-2）第四十八页，共九十四页，2022年，8月28日第三节对偶单纯形法主元运算：第二行乘（-1/2）主元运算：第一行加第二行第四十九页，共九十四页，2022年，8月28日第三节对偶单纯形法计算检验数：全为非正。但此时常数b已全大于零，最优解=（7，0，4，0）最优值S’=-7S=7第五十页，共九十四页，2022年，8月28日例:用对偶单纯形法解下列线性规划问题

minS=x1+2x2s.t.-x1+2x2-x3

1-x1-2x2+x36x1，x2，

x30解：将原问题化成

maxS’=-x1-2x2s.t.x1-2x2+x3+x4=-1x1+2x2-x3+x5=-6x1，x2，

x3，x4，x5

0第三节对偶单纯形法第五十一页，共九十四页，2022年，8月28日常数项最小出基变量X5，按比值无法比较。常数项次小出基变量X4，按比值X2为进基变量。主元（-2）第三节对偶单纯形法第五十二页，共九十四页，2022年，8月28日主元运算：第一行乘（-1/2）主元运算：第二行加第一行（-2）第三节对偶单纯形法第五十三页，共九十四页，2022年，8月28日计算检验数：全小于零。但常数项为负数的行元素全大于零，原问题无可行解。第三节对偶单纯形法第五十四页，共九十四页，2022年，8月28日例:用对偶单纯形法解下列线性规划问题解：先化为标准型

约束条件两边同乘(-1)第三节对偶单纯形法第五十五页，共九十四页，2022年，8月28日Cj－15－24－500CBXBbx1x2x3x4x500x4x5－2－10－5[-6]-2-1-11001-15-24-500第三节对偶单纯形法第五十六页，共九十四页，2022年，8月28日Cj－15－24－500CBXBbx1x2x3x4x500x4x5－2－10－5[-6]-2-1-11001-15-24-500---45-240x2x51/3-1/30-5101/6[-2/3]-1/6-1/301-150-1-40第三节对偶单纯形法第五十七页，共九十四页，2022年，8月28日Cj－15－24－500CBXBbx1x2x3x4x500x4x5－2－10－5[-6]-2-1-11001-15-24-500---45-240x2x51/3-1/30-5101/6[-2/3]-1/6-1/301-150-1-4033/212-24-5x2x31/41/2-5/415/21001-1/41/21/4-3/2-15/200-7/2-3/2X*=(0,1/4,1/2)’Y*=(7/2,3/2)第三节对偶单纯形法第五十八页，共九十四页，2022年，8月28日①单纯形表检验数行全部非正（对偶可行）②变量取值可有负数（非可行解）注：通过矩阵行变换运算，使所有相应变量取值均为非负数即得到最优单纯形表。应用前提：有一个基，其对应的基满足:第三节对偶单纯形法第五十九页，共九十四页，2022年，8月28日对偶单纯形法与原始单纯形法的对应关系原始单纯形法对偶单纯形法前提条件所有bi≥0所有bi≥0?最优性检验所有所有换入、出基变量的确定先确定换入基变量后确定换出基变量先确定换出基变量后确定换入基变量原始基本解的进化可行最优非可行可行(最优)第三节对偶单纯形法第六十页，共九十四页，2022年，8月28日灵敏度分析一词的含义是指对系统或事物因周围条件变化显示出来的敏感程度的分析。在前面所讲的线性规划问题都假定了各系数cj,

aij,

bi等始终保持不变，是已知常数。而实际当中，这些系数通常是一些估计或预测数字。如果外界条件发生了变化，这些系数也会发生相应变化，这样以来，就会引出一些问题：——这些系数中，如果有一些发生变化，问题的最优解会发生怎样的变化？——如果发生变化，又将使用何种简便方法求出新的最优解？第四节灵敏度分析第六十一页，共九十四页，2022年，8月28日例：线性规划及最优单纯形表如下maxw=2x1+3x2+x31/3x1+1/3x2+1/3x3≤

11/3x1+4/3x2+7/3x3≤3

x1,x2,x3≥0价值系数c发生变化第四节灵敏度分析第六十二页，共九十四页，2022年，8月28日可得到Δc3≤3时，原最优解不变。当-3+Δc3≤0最优解不变第四节灵敏度分析第六十三页，共九十四页，2022年，8月28日例：

线性规划及最优单纯形表如下试求c3

在多大范围内变动时，原最优解保持不变。cj-2-3-400B-1bcBxBx1x2x3x4x5-3x201-1/5-2/51/52/5-2x1107/5-1/5-2/511/5σj00-9/5-8/5-1/5-28/5第四节灵敏度分析第六十四页，共九十四页，2022年，8月28日可得到Δc3≤9/5时，原最优解不变。cj-2-3-4Δc300B-1bcBxBx1x2x3x4x5-3x201-1/5-2/51/52/5-2x1107/5-1/5-2/511/5σj00-9/5+Δc3-8/5-1/5-28/5第四节灵敏度分析第六十五页，共九十四页，2022年，8月28日下表为最优单纯形表（考虑基变量系数c1发生变化）-3+Δc1

≤0-5-4Δc1≤0-1+Δc1≤0最优解不变可得到-5/4≤ΔC1≤1时，原最优解不变。最优值将会出现相应的变化。第四节灵敏度分析第六十六页，共九十四页，2022年，8月28日MaxZ=2x1+3x2+0x3+0x4+0x5x1+2x2+x3=84x1+x4=164x2+x5=

12

x1,x2,x3,x4,x5≥0例第四节灵敏度分析第六十七页，共九十四页，2022年，8月28日下表为最优单纯形表（考虑基变量系数c2发生变化）可得到-3≤Δc2≤1时，原最优解不变。第四节灵敏度分析第六十八页，共九十四页，2022年，8月28日例:已知线性规划的标准形式为其最优单纯形表如下Cj－12100CBXBbX1x2x3x4x520x2x56101310111101-Z-12-30-1-20问：(1)当C1由－1变为4时，求新问题的最优解。

(2)讨论C2在什么范围内变化时，原有的最优解仍是最优解。第四节灵敏度分析第六十九页，共九十四页，2022年，8月28日解：由表可知，C1是非基变量的价值系数，因此C1的改变只影响σ1，可见最优性准则已不满足，继续迭代Cj42100CBXBbx1x2x3x4x520x2x56101[3]10111101610/3-Z-1220-1-2024x2x18/310/301102/31/32/31/3-1/31/3-Z-56/300-5/3-8/3-2/3第四节灵敏度分析第七十页，共九十四页，2022年，8月28日（2）要使原最优解仍为最优解，只要在新的条件下满足σ≤0成立，因为x2是基变量，所以所有的σ值都将发生变化，即

则△c2≥-1，所以当x2的系数△c2≥-1时，原最优解仍能保持为最优解。－3－△c2≤0－１－△c2≤0－２－△c2≤0第四节灵敏度分析第七十一页，共九十四页，2022年，8月28日例：

线性规划及最优单纯形表如下，问b3由12变为12+Δb3最优性不变。MaxZ=2x1+3x2+0x3+0x4+0x5x1+2x2+x3=84x1+x4=164x2+x5=

12+Δb3

x1,x2,x3,x4,x5≥02、右端项b

发生变化第四节灵敏度分析第七十二页，共九十四页，2022年，8月28日第四节灵敏度分析第七十三页，共九十四页，2022年，8月28日比如第三个式子中，由4+Δb3≥0，解得Δb3≥-4

时最优性不变第四节灵敏度分析第七十四页，共九十四页，2022年，8月28日若Δb3=-8，则4+（-8）=-4<0，改变了最优性，只要再继续迭代即可。第四节灵敏度分析第七十五页，共九十四页，2022年，8月28日例：线性规划及最优单纯形表如下。求当b1在由8变动为12时，原最优性是否保持不变，若变动求出新的最优解。Ci23000B-1bCBXBx1x2x3x4x52

x1

1001/4040

x5

00-21/2143

x2

011/2-1/802σj00-3/2-1/8014第四节灵敏度分析第七十六页，共九十四页，2022年，8月28日第四节灵敏度分析第七十七页，共九十四页，2022年，8月28日将b’代入原最优单纯形表中，运用对偶单纯形法计算最优解。Ci23000B-1bCBXBx1x2x3x4x52

x1

1001/4040

x5

00-21/21-43

x2

011/2-1/804σj00-3/2-1/8014第四节灵敏度分析第七十八页，共九十四页，2022年，8月28日将b’代入原最优单纯形表中，运用对偶单纯形法计算最优解。经一次迭代后，求得新的最优解:(43200)TCi23000B-1bCBXBx1x2x3x4x52

x1

1001/4040

x5

00-21/21-43

x2

011/2-1/804σj00-3/2-1/8014θ3/42

x1

1001/4040

x3

001-1/4-1/223

x2

01001/43σj000-1/2-3/417第四节灵敏度分析第七十九页，共九十四页，2022年，8月28日例：

常山机械厂生产Ⅰ和Ⅱ两种产品。生产中需使用A、B、C三种设备进行加工，加工每件Ⅰ产品或Ⅱ产品所需的设备机时数、利润值及每种设备可利用机时数列于下表，请问：充分利用设备机台时，工厂应生产Ⅰ和Ⅱ产品各多少件才能获得最大利润？试列出相应的线性规划数学模型。ABC产品利润／（元／件）Ⅰ2402Ⅱ205