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文档简介

第五节对坐标的曲面积分教学内容

1对坐标的曲面积分的概念与性质；

2对坐标的曲面积分的计算法；

3两类曲面积分之间的联系考研要求

1了解对坐标的曲面积分；

2掌握对坐标的曲面积分的计算法；

3了解两类曲面积分之间的联系一、基本概念观察以下曲面的侧(假设曲面是光滑的)曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧其方向用法向量指向方向余弦>0为前侧<0为后侧封闭曲面>0为右侧<0为左侧>0为上侧<0为下侧外侧内侧侧的规定

指定了侧的曲面叫有向曲面,

表示(曲面法向量的指向决定曲面的侧

):曲面的投影问题:二、概念的引入实例:流向曲面一侧的流量.思路：大化小,常代变,近似和,取极限1.分割则该点流速为.法向量为.3.取极限2.求和三、概念及性质类似可定义称为P

在有向曲面上对

y,z

的曲面积分;称为Q

在有向曲面上对

z,x

的曲面积分;存在条件:组合形式:物理意义:性质:(2)-Σ表示与Σ取相反侧的有向曲面,则积分曲面取相反侧时,对坐标曲面积分变号,有:(1):关于积分曲面的可加性若Σ=Σ1+Σ2,则注意:对坐标的曲面积分必须注意积分曲面所取的侧.四、计算法有向投影元素面积元素注意:对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧.应注意的问题:

(3)曲面S取哪一侧.(2)向哪个坐标面投影;

(1)曲面S用什么方程表示;(4)积分前取什么符号.这就是把对坐标的曲面积分化成二重积分的计算公式要点为：投：将曲面的方程表示为二元显函数，将积分曲面投影到与有向面积元素（如dxdy）中两个变量同名的坐标面上（如xoy面）代：将显式曲面方程代入到被积函数，将其化成二元函数定符：由曲面的方向，即曲面的侧确定二重积分的正负号一投、二代、三定符

曲面取上侧、前侧、右侧时为正曲面取下侧、后侧、左侧时为负注:积分曲面的方程必须表示为单值显函数否则分片计算，结果相加解另解例2解小结：利用直接投影法计算对坐标的曲面积分，要掌握其基本步骤，把积分转化为二重积分是关键。当积分曲面表示为显函数后不是单值函数，则应将曲面分片，使每片曲面的显函数表示为单值函数。五、两类曲面积分之间的联系两类曲面积分之间的联系解另解解3六、小结1.对坐标曲面积分的物理意义2.对坐标曲面积分的计算时应注意以下两点a.曲面的侧b.“一投,二代,三定号”求

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