第五章机械波

教学基本要求一掌握描述简谐波的各物理量及各量间的关系；二理解机械波产生的条件.掌握由已知质点的简谐运动方程得出平面简谐波的波函数的方法.理解波函数的物理意义.了解波的能量传播特征及能流、能流密度概念.三了解惠更斯原理和波的叠加原理.理解波的相干条件，能应用相位差和波程差分析、确定相干波叠加后振幅加强和减弱的条件；

四理解驻波及其形成，了解驻波和行波的区别；五了解机械波的多普勒效应及其产生的原因.在波源或观察者沿二者连线运动的情况下，能计算多普勒频移.波动：一定的扰动的传播。两类波的不同之处机械波的传播需有传播振动的介质;电磁波的传播可不需介质.能量传播反射折射干涉衍射两类波的共同特征5-1机械波的产生机械波电磁波波动机械扰动在介质中的传播.交变电磁场在空间的传播.物质波波源介质+弹性作用机械波一机械波的形成产生条件：1）波源2）连续弹性介质.★波是运动状态的传播，介质的质点并不随波传播.机械波：机械扰动在介质中的传播.横波：质点振动方向与波的传播方向相垂直的波.（仅在固体中传播，由于切变）二横波与纵波

特征：具有交替出现的波峰和波谷.纵波：质点振动方向与波的传播方向互相平行的波.（可在固体、液体和气体中传播，由于容变）特征：具有交替出现的密部和疏部.三波线波面波前*球面波平面波波前波面波线各质点相对平衡位置的位移波线上各质点所在位置简谐波：在均匀的、无吸收的介质中，波源作简谐运动时，在介质中所形成的波.一平面简谐波的波函数平面简谐波：波面为平面的简谐波.介质中任一质点（坐标为x）相对其平衡位置的位移（坐标为y）随时间的变化关系，即称为波函数.5-2平面简谐波及其特征量点O的振动状态点Pt时刻点P的运动t-x/u时刻点O的运动以速度u沿x轴正向传播的平面简谐波.令原点O的初相为零，其振动方程点P

振动方程时间推迟方法沿

轴负向

点O

振动方程

波函数沿轴正向

O如果原点的初相位不为零二波速波的周期和频率波长波速：波动过程中，某一振动状态（即振动相位）单位时间内所传播的距离（相速）.★波速只决定于媒质的性质！波速与介质的性质有关，

为介质的密度.如声音的传播速度空气，常温左右，混凝土横波固体纵波液、气体切变模量弹性模量体积模量◆物体的弹性形变弹性形变：物体在一定限度的外力作用下形状和体积发生改变，当外力撤去后，物体的形状和体积能完全恢复原状的形变。(1)长变在弹性限度范围内，应力与应变成正比(2)切变相对面发生相对滑移在弹性限度范围内，应力与应变成正比(3)容变在弹性限度范围内，压强的改变与容变应变的大小成正比

周期：既质点简谐振动的周期

频率：周期的倒数★

周期或频率只决定于波源的振动!

波长：沿波的传播方向，两个相邻的、相位差为的振动质点之间的距离，即一个完整波形的长度.OyAA-解析：

波矢

k：波速(相速):群速:能量的传播速度(不讲)宏观波相速:群速:色散:波速与波长有关的现象ω与k的依赖关系ω（k）称为色散关系若波速ω/k是常数，说明没有色散(光)声波是典型的无色散波波函数的其它形式平面波的波动特征方程沿x方向传播的平面波动特征方程（坐标与时间的关系）求t的二阶导数求x的二阶导数质点的振动速度，加速度三波函数的物理意义1当x

固定时，波函数表示该点的简谐运动方程，并给出该点与点O

振动的相位差.（波具有时间的周期性）波线上各点的简谐运动图（波具有空间的周期性）2当一定时，波函数表示该时刻波线上各点相对其平衡位置的位移，即此刻的波形.波程差OO

3若均变化，波函数表示波形沿传播方向的运动情况（行波）.

时刻时刻

例1

已知波动方程如下，求波长、周期和波速.解：方法一（比较系数法）.把题中波动方程改写成比较得例2

已知波动方程如下，求波长、周期和波速.解：方法二（由各物理量的定义解之）.周期为相位传播一个波长所需的时间波长是指同一时刻，波线上相位差为的两点间的距离.1）波动方程

例3一平面简谐波沿Ox轴正方向传播，已知振幅，，.在时坐标原点处的质点位于平衡位置沿Oy

轴正方向运动.求解写出波动方程的标准式O2）求波形图.波形方程o2.01.0-1.0

时刻波形图3）

处质点的振动规律并做图.

处质点的振动方程01.0-1.02.0O1234******1234处质点的振动曲线1.0

例4一平面简谐波以速度沿直线传播,波线上点A的简谐运动方程.1）以A

为坐标原点，写出波动方程ABCD5m9m8m2）以B

为坐标原点，写出波动方程ABCD5m9m8m3）写出传播方向上点C、点D的简谐运动方程ABCD5m9m8m点C的相位比点A超前点D的相位落后于点A4）分别求出BC

，CD

两点间的相位差ABCD5m9m8m

1）给出下列波函数所表示的波的传播方向和

点的初相位.

2）平面简谐波的波函数为式中为正常数，求波长、波速、波传播方向上相距为的两点间的相位差.讨论:向x轴正向传播向x轴负向传播

3）如图简谐波以余弦函数表示，求O、a、b、c

各点振动初相位.Oabct=T/4t=0OOOO四波动能量的传播媒质中质点在平衡位置附近振动，具有振动动能.介质发生形变，因而具有弹性势能.xOxO以固体棒中传播的纵波为例分析波动能量的传播.（一）波的能量振动动能xOxO胡克定律：弹性势能xOxO体积元的总机械能(1)固定x(2)固定tdWp均随t周期变化dWk、dW

p均随x周期变化dWk、y=0、dWp最大dWky最大、dWp为0dWk★物理意义oyxwkwpt=t0u(1/4)2A2yx=x0otTwkwp(1/4)2A2讨论:体积元在平衡位置时，动能、势能和总机械能均最大.体积元的位移最大时，三者均为零.

1）在波动传播的媒质中，任一体积元的动能、势能、总机械能均随作周期性变化，且变化是同相位的.定量分析：速度最大时：质点过平衡位置时动能最大.此时的相对形变（应变）也最大！同理可证：质元动能最小时，势能也最小。质元的相对位移小（周围的质元位移都大）（左侧质元位移向上，右侧质元位移向下。）质元的相对位移大

2）任一体积元都在不断地接收和放出能量，即不断地传播能量.任一体积元的机械能不守恒.波动是能量传递的一种方式.能量密度：单位体积介质中的波动能量.平均能量密度：能量密度在一个周期内的平均值.平均能量密度:一个周期内能量密度的平均值。（二）波的能流和能流密度能流：单位时间内垂直通过某一面积的能量.平均能流：能流密度:通过垂直于波传播方向的单位面积的能流.udtS平均能流密度(波的强度)：例:试证明在均匀不吸收能量的媒质中传播的平面波在行进方向上振幅不变，球面波的振幅与离波源的距离成反比。分析平面波和球面波的振幅证明：在一个周期T内通过S1和S2面的能量应该相等所以,平面波振幅相等。对平面波：所以振幅与离波源的距离成反比。如果距波源单位距离的振幅为A则距波源r处的振幅为A/r由于振动的相位随距离的增加而落后的关系，与平面波类似，球面简谐波的波函数：对球面波：★波的吸收(不讲)波在实际介质中，由于波动能量总有一部分会被介质吸收，波的机械能不断减少，波强亦逐渐减弱。波通过厚度为dx的介质，其振幅衰减量为-dA波强的衰减规律：球面波平面波

介质中波动传播到的各点都可以看作是发射子波的波源，而在其后的任意时刻，这些子波的包络就是新的波前.（只解决方向，未解决强度）一惠更斯原理O5-3惠更斯原理波的衍射

波的衍射

水波通过狭缝后的衍射波在传播过程中遇到障碍物时，能绕过障碍物的边缘，在障碍物的阴影区内继续传播.二波的衍射N界面三波的反射和折射RN界面IL用惠更斯原理证明.2）1）反射线、入射线和界面的法线在同一平面内；反射定律i

i

i

A1A2A3B2B3B1NNAId时刻tB2B3B1NNAIBL时刻t+△t波的折射用惠更斯原理证明.时刻ti

i

i

A1A2A3B2B3B1NNAIdⅠⅡ1）折射线、入射线和界面的法线在同一平面内；2）N界面RN界面IL时刻t+△tⅠⅡB2B3B1NNAIBRi

i

i

A1A2A3B2B3B1NNAIdⅠⅡⅠⅡ时刻t时刻t+△tB2B3B1NNAIBR所以一波的叠加原理1几列波相遇之后，仍然保持它们各自原有的特征（频率、波长、振幅、振动方向等）不变，并按照原来的方向继续前进，好象没有遇到过其他波一样.2在相遇区域内任一点的振动，为各列波单独存在时在该点所引起的振动位移的矢量和.5-4波的叠加原理波的干涉频率相同、振动方向平行、相位相同或相位差恒定的两列波相遇时，使某些地方振动始终加强，而使另一些地方振动始终减弱的现象，称为波的干涉现象.二波的干涉*波源振动点P的两个分振动1）频率相同；2）振动方向平行；3）相位相同或相位差恒定.★波的相干条件*点P的两个分振动常量讨论:1)合振动的振幅（波的强度）在空间各点的分布随位置而变，但是稳定的.其他振动始终加强振动始终减弱2)波程差若则振动始终减弱振动始终加强其他3)例如图所示，A、B两点为同一介质中两相干波源.其振幅皆为5cm，频率皆为100Hz，但当点A为波峰时，点B适为波谷.设波速为10m/s，试写出由A、B发出的两列波传到点P

时干涉的结果.解15m20mABP设A

的相位较B

超前，则.点P合振幅一驻波的产生

振幅、频率、传播速度都相同的两列相干波，在同一直线上沿相反方向传播时叠加而形成的一种特殊的干涉现象.5-5驻波驻波的形成驻波的振幅与位置有关二驻波方程正向负向各质点都在作同频率的简谐运动驻波方程讨论:10波腹波节相邻波腹（节）间距

相邻波腹和波节间距

1）振幅随x

而异，与时间无关.

2）相邻两波节之间质点振动同相位，任一波节两侧振动相位相反，在波节处产生的相位跃变.（与行波不同，无相位的传播）.为波节例C三半波反射和全波反射实验1）：反射点为固定端CCC’Cbaa质点b要带动a向上运动b却受一反作用力C’给C一作用力,C’不动，而给C一反作用力，使C’点产生一向下的反向位移。CCu好有一比！结论；作为反射波的波源C’点的位移总是与入射波在C’点的位移反向。--半波反射。解释：Cuu半波损失半波反射e’在反射点C’：入射波在C’点的振动方程：反射波在P点的振动方程C’其实质是：入射波在C’引起的振动与反射波在C’引起的振动反相（相位差）实验2）：反射点自由端（全波反射）uua质点b要带动a向上运动b却受一反作用力解释：CbauuC’C’给C一作用力,C’象其它质点一样向上产生一位移，此位移便是反射波的波源振动Cuu全波反射CC’其实质是：入射波在C’引起的振动与反射波在C’引起的振动同相（无相位差）在反射点C’：入射波在C’点的振动方程：反射波在P点的振动方程反射波透射波入射波一般言之：（特殊情况）分别为两种媒质的密度和波在两种媒（质中传播的速度。）若若（从波疏介质进入波密介质）称为半波反射（从波密介质进入波疏介质）称为全波反射若介质的波阻抗z

处处相同，则对波的传播来说，介质是均匀的。一个机械波在无限大的均匀介质中传播时是不会发生反射的，但遇到两介质的分界面，由于两者的波阻抗不同，就会在介面处发生波的反射和折射。对于垂直入射的情况，从理论上可得到入射波i

，反射波r

和折射波t

在界面点的位移yi、yr

和yt

之间有如下关系：OBB12x作定性分析：●，均匀的介质中不会发生波的反射。●，相当于介质2是一种刚性壁，这种情况发生“半波损失”，一般只要，有此现象发生。●，例如一根棒，它的一端是自由的，即置于真空或空气中，这种情况发生全波反射，一般只要，有此现象发生。此外怎样理解？折射波的强度可见折射波事实上是不存在的，由这一点可推断，在波的反射和折射中保持守恒关系的是波的强度：，而不是波的振幅。注意：如果波不是垂直入射到介质界面，情况就要复杂得多，结论也不是如此简单。波密介质较大波疏介质较小四驻波的能量驻波的能量在相邻的波腹和波节间往复变化，在相邻的波节间发生动能和势能间的转换，动能主要集中在波腹，势能主要集中在波节，但无长距离的能量传播.ABC波节波腹位移最大时平衡位置时入射波+反射波，平均能流为0Xy当波节点间质点振幅最大时：ABXyAB势能曲线动能曲线当质点到达平衡位置时：能量在节点附近的质点与腹点附近的质点间交换与转移五振动的简正模式(不讲)应满足，由此频率两端固定的弦线形成驻波时，波长和弦线长决定的各种振动方式称为弦线振动的简正模式.两端固定的弦振动的简正模式一端固定一端自由的弦振动的简正模式频率

波速

基频

谐频

解：弦两端为固定点，是波节.千斤码子

如图二胡弦长，张力.密度讨论:.求弦所发的声音的基频和谐频.在弹性介质中传播的机械纵波，一般统称为声波.

可闻声波20~20000Hz次声波低于20Hz超声波高于20000Hz声强：声波的平均能流密度.贝尔（B）声强级：人们规定声强（即相当于频率为1000Hz

的声波能引起听觉的最弱的声强）为测定声强的标准.如某声波的声强为I，则比值的对数，叫做相应于I的声强级LI

.声强：声波的平均能流密度.能够引起人们听觉的声强范围：分贝（dB

）声源声强W/m2声强级dB响度引起痛觉的声音1120钻岩机或铆钉机10-2100震耳交通繁忙的街道10-570响通常的谈话10-660正常耳语10-1020轻树叶的沙沙声10-1110极轻引起听觉的最弱声音10-120几种声音近似的声强、声强级和响度发射频率接收频率人耳听到的声音的频率与声源的频率相同吗？接收频率——单位时间内观测者接收到的振动次数或完整波数.讨论:只有波源与观察者相对静止时才相等.5-6多普勒效应一波源不动，观察者相对介质以速度运动观察者接收的频率观察者向波源运动观察者远离波源二观察者不动，波源相对介质以速度匀速运动波源向观察者运动观察者接收的频率波源远离观察者三波源与观察者同时相对介质运动观察者向波源运动+，远离.波源向观察者运动，远离+.波的传播方向、波源速度、观察者速度三者不共线的一般情况需讨论瞬时过程若波源与观察者不沿二者连线运动机械波有纵向多普勒效应无横向多普勒效应在相对论中，除纵向外，还有横向多普勒效应多普勒效应的公式中只出现观察者对波源的相对速度v五电磁波的多普勒效应六多普勒效应的应用5）卫星跟踪系统等.1）交通上测量车速；2）医学上用于测量血流速度；3）天文学家利用电磁波红移说明大爆炸理论；4）用于贵重物品、机密室的防盗系统；四冲