第五章点的运动学

教师：袁方强甘肃民族师范学院第五章点的运动学实际上，对于一切机械运动的描述都有其相对性。例如，相对于地面是铅垂下落的雨滴，相对于行进中的人来说则是倾斜迎面下落的。因此，在描述物体的机械运动时，必须指明这一机械运动是相对于什么物体来说的，否则就毫无意义。凡可借以确定被研究物体位置和运动的其他物体称为该被研究物体的参考体。而与参考体相固结的整个延伸空间或坐标系称为参考系或参考坐标系。在一般的工程问题中，如未特别说明，则通常取固结在地面上的坐标系为参考系。5-1运动学的基本概念在研究物体的运动时，要区别两个与时间有关的概念，即时间间隔和瞬时。时间间隔是指物体在不间断的运动中，从一个位置运动到另一个位置所经历的时间，它对应于物体运动的某一过程；瞬时是指时间间隔趋近于零的一刹那，它对应于物体在运动过程中的某一位置和状态。5-2用矢量法研究点的运动在给定的参考系中，描述点的空间位置随时间变化规律的数学表达式称为点的运动方程。为了确定动点M在任一瞬时的位置，可选取参考体上某固定点O为坐标的原点，自O点向动点M作矢量r=OM（如图所示），称为r为动点M相对于固定点O的位置矢径。显然动点M的位置与矢径存在一一对应的关系。上式称为点的矢量形式的运动方程。动点M在运动过程中，其矢径r的末端在空间所描出的曲线称为矢径端迹。显然，矢径端迹就是动点的轨迹。

设在瞬时t，动点位于M，其矢径为r，在瞬时t+Δt，动点位于M’，其矢径为r’（如图所示），在时间间隔Δt内矢径r的改变量Δr=r’-r，就是动点在Δt内的位移。令，v*称为动点在Δt内的平均速度，用来表示动点在Δt内平均运动的快慢和运动方向。当Δt趋近于零时，平均速度v*的极限称为动点在瞬时t的速度，以v表示之，有

即动点的速度等于其矢径对时间的一阶导数。

即动点的加速度等于其速度对时间的一阶导数，或等于矢径对时间的二阶导数。5-3用直角坐标法研究点的运动当动点M运动时，其坐标x、y、z均随时间连续不断地变化，它们都是时间t的单值连续函数，故有：上式称为点的直角坐标形式的运动方程。由上式三个方程中的前两式和后两式分别消去时间参数，可得母线分别平行于z轴和x轴的两个曲面方程，即由于动点的空间位置既可以用矢径r表示，也可以用直角坐标x、y、z表示。当矢径的原点和直角坐标系原点重合时，坐标x、y、z分别为矢径r在各对应坐标轴上的投影，所以矢径r可用沿直角坐标轴的分解式表示，即由于直角坐标系Oxyz是固定的，所以i、j、k是大小、方向均不随时间变化的常矢量。将式（5-6）两端对时间t求一阶导数，得（5-6）若以vx、vy、vz分别表示速度v在直角坐标系x、y、z轴上的投影。则有所以即速度在直角坐标轴上的投影等于动点的各对应坐标变量对时间的一阶导数。由速度在直角坐标轴上的投影可求出其大小和方向，即加速度若以ax、ay、az分别表示加速度a在直角坐标轴x、y、z轴上的投影，则有即加速度在直角坐标轴上的投影等于动点的速度在对应坐标轴上的投影对时间的一阶导数或等于动点的对应坐标变量对时间的二阶导数。由加速度在坐标轴上的投影可求出其大小和方向例5-1曲柄连杆机构如图所示。曲柄OA绕O轴以ᵠ=ωt的规律转动（ω为已知常数），并通过连杆AB带动滑块B在水平滑到内滑动。设连杆AB与曲柄OA的长度相等，即OA=AB=l，运动开始时曲柄在水平向右位置，试求连杆AB中点C的轨迹、速度和加速度。（1）求C点的轨迹，由几何关系可得将时间t消去，得：（2）求C点的速度将运动时间方程对时间求导：故C点的速度大小为：速度的方向余弦为：（3）求C点的加速度故C点的加速度为：其方向余弦为：5-4用自然法研究点的运动如图所示，在动点的轨迹曲线上任取相邻两点M点和M’点，分别过M和M’点做轨迹的切线MT和M’T’，一般情况下这两条切线并不在同一平面上。过M点作与切线M’T’平行的直线MT1，则MT和MT1可确定一平面P。过M点作一与密切面垂直的平面（法平面），发平面与密切面相交的直线称为主法线。在法平面内过M点，且与主法线垂直的直线称为次法线。

速度加速度切向加速度切向加速度是反应速度大小随时间变化快慢的物理量，它等于速度代数量对时间的一阶导数或等。法向加速度

所以，加速度为加速度分别在切向轴、主法线轴和次法线轴上的投影为加速度大小为：加速度的方向：加速度a位于密切面内，且指向轨迹凹的一侧或沿切线方向。几种特殊情况1.匀变速曲线运动2.匀速曲线运动3.直线运动例5-2列车沿半径为R=500m的圆弧轨道作匀加速运动。如初速度为零，经过100s后，速度达到54km/h。求起点和末点的加速度。

5-6汽车在半径R=250m的一段圆弧道路上行驶，在20s内其速度由36km/h均匀的增加到54km/h。求汽车在20s末的加速度。

自然法：

直角坐标系：以O为坐标原点