第五章流体动力学基础

第五章流体动力学基础流体动力学概述5.1理想流体的运动微分方程式5.2理想流体的伯努利方程式5.3实际流体总流的伯努利方程式5.4伯努利方程的应用

5.5叶轮机械内相对运动伯努利方程5-6动量方程和动量矩方程及其应用流体动力学概述流体动力学是研究流体在外力作用下的运动规律即研究流体动力学物理量和运动学物理量之间的关系的科学。流体动力学主要研究内容就是要建立流体运动的动量平衡定律、动量矩平衡定律和能量守恒定律（热力学第一定律）、流量测量原理。5.1

理想流体的运动微分方程式1、选取控制体：在所研究的运动流体中，任取一微小平行六面体，如图5-1所示。六面体边长分别为dx、dy、dz，平均密度为，顶点A处的压强为p。2、受力分析质量力：fxdxdydz,fydxdydz,fzdxdydz

表面力：设A点压强为p时，则与其相邻的ABCD、ADEH、ABGH三个面上的压强均为p，而与这三个面相对应的EFGH、BCFG、CDEF面上的压强可由泰勒级数展开略去二阶以上无穷小量而得到，分别为则x、y、z轴向上的表面力分别为：X轴：Y轴：Z轴：则根据牛顿第二定律有：化简整理得：欧拉运欧拉平动微分衡微分方程式方程式其中加速度项可分解为时变加速度和位变加速度之和：欧拉运动微分方程式又可以表示为：理想流体的运动微分方程式一、理想流体沿流线的伯努利方程式在流场中任取一流线，假设单位质量的流体质点某瞬时的速度为v=ui+vj+wk。不论运动是否定常，经过dt时间质点沿流线移动一段微小位移dl=dxi+dyj+dzk则单位质量理想流体沿这段微元流线移动时外力所作的功为：在定常流动的条件下

5.2理想流体的伯努利方程式令平均速度两边求导得：

所以上式化简为若流体不可压缩，即=c，积分上式得在重力场中如果流体所受的质量力只有重力，则

fx=0，fy=0，fz=-g，U=-gz得到理想不可压缩流体重力作用下沿流线的伯努利方程式：式一式二式三二、理想流体总流的伯努利方程1、动能修正系数α用平均速度表示的单位时间内通过某一过流断面的流体动能为：单位时间内通过同一过流断面的真实流体动能为：(忽略二级无穷小)所以2、缓变流动及其特性缓变流动：流线间夹角很小，流线曲率很小，即流线几乎是一些平行直线的流动。缓变过流断面：如果在流束的某一过流断面上的流动为缓变流动，则称此断面为缓变过流断面。缓变流动具有以下两条主要特性：（1）在缓变流动中，质量力只有重力。（2）在同一缓变过流断面上，任何点上的静压水头都相等。3、理想流体总流的伯努利方程式任取1-1、2-2两过流截面，并在其上取一微小流束，对应的面积分别为dA1和dA2

，对应的速度分别为u1和u2

，对应的压强分别为p1和p2，相对于基准面的位置高度分别为z1

和z2。对于理想流体，每一微小流束上单位重量流体的能量关系式为单位时间内流过总流过流断面1-1、2-2的流体所具有的能量关系式为该式实际是由两部分构成：(1)势能项积分：该项表示单位时间通过过流断面的流体总势能。对于缓渐变流，其流过过流断面上的动压强按静压强的规律分布，即(2)动能项积分该项表示单位时间通过过流断面的流体动能。但由于过流断面各点速度不同，为此需引入修正系数α，使积分可按断面平均速度v来计算。式中：于是：得理想流体总流的伯努利方程式：设1-1、2-2为总流的两个截面，对任意一条微小流束，有：总流的伯努利方程的另一推导两式相乘并积分或在一些工程问题中，流动往往具有固定的边界，例如液体和气体在管道中的流动，这种流动是由许多微小流柬组成的，所有这些流束的全体称为总流。V=Q/A是截面上的平均速度，称为动能修正系数如果1-1和2-2都为渐变流(缓变流)，有常数用平均速度表示速度水头的积分对不可压缩流体的定常流动，Q1=Q2上式称为总流的伯努利方程。对于管流，z和p可以在轴线上取值。动能修正系数α与截面上的速度分布有关，速度分布愈不均匀,α的值愈大。在工程实际的流动中，α≈1总流的伯努利方程应用条件(1)恒定(定常)(2)理想流体(3)不可压流体(4)重力场(5)所选过流断面流动均匀或渐变流总流伯努利方程的推广：两支总流的汇合是单位重量流体具有的总势能；式中每一项都表示单位重量流体具有的某种能量。z是单位重量流体具有的位置势能；是单位重量流体具有的压强势能；是单位重量流体具有的动能；伯努利方程表示理想流体恒定流动，沿同一条流线，各点单位重量流体的机械能守恒。工程流体力学是单位重量流体具有的总机械能。4、伯努利方程的物理意义理想流体伯努利方程的物理意义是：在满足一定的条件下，沿总流单位重量流体所具有的总机械能（位置势能、压强势能及动能）可以相互转化，但总和不变，它是机械能守恒定律在理想流体中的表现形式。【例4.1】用水银比压计测量管中水流，过流断面中点流速如图（4.3）。测得A点的比压计读数（不计损失）。求：（1）该管中的流速v；（2）若管中流体是密度为0.8g/cm3的油，仍不变，该点流速又为多少。

工程流体力学图4.3点流速的测量【解】（1）管中流动若不计损失，则管中流动为均流。现要测量过流断面上A点的流速，用水银比压计来测量，其原理是：由于来流在A点受比压计的阻滞，该处的速度为零（或者A点为两条流线相交的前驻点）；该处动能全部转化成势能，而水银比压计另一端B点在管壁，该处的流速是管中均流每一点的速度，也可看成A点前方某一点的速度。应用理想流体伯努利方程：工程流体力学式中是管中流体的重度。（2）若水流改为油

工程流体力学一、实际流体总流的伯努利方程式二、实际流体总流的伯努利方程的适用条件

（1）不可压缩流体（=constant）；（2）恒定流动（）；（3）只在重力作用之下（质量力只有重力）；（4）沿流程流量保持不变(qv1=qv2=qv3)；（5）所选用的过流断面必须是缓变过流断面。5.3实际流体总流的伯努利方程式4.2.3粘性流体的伯努利方程粘性流体在流动中，单位重量流体的能量不再守恒，总水头线不再是水平线，而是沿程下降线。

设为粘性流体单位重量流体从1点到2点的机械能损失，称为沿流线的水头损失。根据能量守恒原理，则粘性流体的伯努利方程为

水头损失也是具有长度的量纲。

工程流体力学【例4.2】水由喷嘴出流，如图4.5，设d1=125mm，d2=100mm，d3=75mm，水银测压计读数＝175mm，不计损失。求（1）H值；（2）压力表读数值。（该处管径同d2）工程流体力学图4.5喷嘴出流【解】

（1）根据静压强分布规律，过流断面1-1和2-2处压强分布为和

列出由1—1到2—2断面的总流伯努利方程（取动能修正因数）：

工程流体力学将（a）式代入上式，得

或连续性方程

或

工程流体力学（c）、（b）联立，得

由连续性方程

得

列出由0—0到3—3断面的伯努利方程

工程流体力学（2）压力表处管径同，其处

列出由0—0至压力表断面处得伯努利方程

压力表读数为

工程流体力学5.4伯努利方程的应用一、比托管测速如图所示，中心为全压测管，静压测管包围在其周围。在驻点之后适当距离的外壁上沿圆周垂直于流向开几个小孔，作为静压管口。将两管的通道分别接在差压计的两端，差压计给出全压和静压的差，若差压计为U形差压计，则：式中为被测液体密度，1为U形差压计内液体的密度，h为U形管中液面的高度差。测速管的构造两根同心套管前端管口敞开两管环隙前端封闭壁面四周开若干个小孔内管与环隙分别与压差计的两端相连压差计流速流体的动能全部转变为静压能驻点内管传递出的压力:速度仍为套管环隙间的压力是管道内流体压力R为内管传递出的压力和管道内流体的压力之差压差计中液体的密度测速管的测量准确度与制造精度有关通常，C＝0.98~1.00。为了提高测量的准确度，C值应在仪表标定时确定。用测速管测出的流速是管道截面上某一点的速度使用测速管应注意几个问题：

（1）被测流体不应含有杂质，因为测速管的管径较小；（2）使测速管的管口正对着管道中流体的流动方向；（3）测速管应放置于流体均匀流段，测量点的上下游最好均有50倍直径长的直管段，至少应有8～12倍直径长的直管；（4）测速管的外径应不大于管道直径的1/50。渐缩渐扩管接压差计避免出现边界层分离及旋涡，从而大大降低机械能损失收缩段锥角通常取15°～25°扩大段锥角5°～7°流量系数0.98～0.99构造二、文丘里流量计

三、孔板流量计为了测量管道中的流量，在管道中装置了叫做孔板流量计的仪器，这种测量流量的仪器包括一块有孔的薄板，安装在管道的法兰中，如图5-12所示。中央开圆孔的板孔板流量计以通过孔板时产生的压力差作为测量依据流道缩小使流体的速度增大，压力降低。由于惯性的作用，流体通过孔口后实际流道将继续缩小，直至截面2-2。“缩脉”，流速最大孔板前后动能的变化必然引起流体压力的变化。压差计构造流量系数，由实验确定，与流体的Re数、测压口的位置及有关。对于给定的值，当Re数超过某个值后，为定值，多在0.6～0.7之间

阻力损失大Re不考虑流体通过孔板的局部阻力损失，列出截面1-1和2-2之间伯努利方程，有根据不可压缩流体的连续性方程可知A2通常难以确定，用孔口截面积A0代替，同时考虑流体在1-1、2-2截面间的机械能损失，得四、小孔定常出流取等于1称为托里斥利(E．Tomcelli,1644)公式转子可由金属或其他材料制成，密度大于所测流体的密度微锥形的玻璃管转子五、转子流量计转子流量计的构造各种型号的转子流量计五、转子流量计环隙处的流体速度较大，静压力减小在转子的上下截面形成一个压差，使转子上浮转子两端的压差造成的升力等于转子所受的重力和浮力之差时，转子将稳定在这个高度上当流体的流量改变时，平衡被打破，转子到达新的位置，建立新的平衡转子所处的平衡位置与流体流量的大小有直接的关系

——转子流量计的工作原理五、转子流量计转子的受力平衡转子体积转子最大截面积转子密度流体密度流量系数玻璃管与转子之间的环隙面积流量系数与Re及转子的形状有关五、转子流量计转子流量计的校核

转子流量计在出厂时根据20℃的水或20℃、0.1MPa下的空气进行实际标定，并将流量值刻在玻璃管上。如果被测流体的条件与标定的条件不符，转子流量计的刻度应进行校正。安装转子流量计时应注意：

①转子流量计必须垂直安装,若倾斜度1°将造成0.8％的误差。

②转子流量计必须安装在垂直管路上，且流体流动的方向必须由下往上。下标“0”表示标定流体。五、转子流量计六、射流泵装置射流泵又称引射器，它是由一个收缩的喷管和另一个具有细径的收缩扩散管及真空室所组成，如图5-13所示。自喷管射出的液流经收缩扩散管的细径处，流速急剧增大，结果使该处的压强小于大气压强而造成真空，如果在该处连一管道通至有液体的容器，则液体就能被吸入泵内，与射流液体一起流出。5-5叶轮机械内相对运动的伯努利方程在水泵、风机、水轮机等叶轮机械中，常常利用流体作为工作介质，实现能量的转换。流体在叶轮机械中，一方面沿叶片间的通道作相对运动，另一方面，流体又随叶轮一起以等角速度旋转。如果采用与叶轮一起转动的动坐标，则在此坐标上观察到的流体运动是定常的。不考虑重力（定常流动）u为沿流线的相对速度，流体不可压缩对流线上的两点１和２将点选在内外轮，用H表示总水头H2>H1

总水头增加，表示叶轮对流体作功5-6动量方程和动量矩方程及其应用在工程实际中，常常需要求物体所受的流体作用力或者力矩。解决这类问题的方法有两种：一种是利用流体运动的微分方程式，再根据边界条件求出速度和压强的分布。用这种方法的困难很大。另一种办法则是利用动量方程和动量矩方程求解，这种方法往往不需要知道流动的细节，只要根据一些边界上的流动状况就可以解决问题。

下面我们详细介绍定常流动的动量方程和动量矩方程。::是单位时间内通过截面A的流体所携带的动量::称为动量修正系数，在大多数工程问题中，β≈1一般地说，在截面上，点速度的分布是不均匀的。我们用u表示速度，V表示平均速度，令称为总流的动量方程它的物理意义是：在定常流动中，单位时间内，从控制面流出的动量减去流入的动量，等于作用在控制体上的外力和。称为总流的动量矩方程它的物理意义是：在定常流动中，单位时间内，从控制面流出的动量矩减去流入的动量矩，等于作用在控制体上所有的外力矩之和。对某点取矩有多个出口和入口情况非惯性坐标系中的动量矩方程为应用动量方程和动量短方程时，要注意以下几点：择一个适宜的坐标系，求出各项的投影值。选择一个合适的控制体。方程的未知数较多，要联立连续性方程和伯努利方程才能得以求解。下面举例说明方程的应用。动量和动量矩方程的应用1、水流对弯管的作用力上图是一段弯管，截面1—1和2—2的过流面积分别为A1、A2，弯管的转角为θ。设水流量为Q，求固定此段弯管所需的力F。水流对弯管的作用力先分析弯管管壁的受力。设弯管在水平面上，取如图示的水平面坐标xy。弯管内壁受水流压强p的作用，外壁受大气压pa作用。设表面积为A0，外法线n0。在水流和大气压的作用下，管壁受到的合力F´为:水流对弯管的作用力控制体受到的外力(大气压pa在任意封闭面的积分为零)：分析控制体所受的外力。由于弯管在水平面上，不必考虑重力影响。选取控制体如右图取动量修正系数β＝1，投影到x，y方向，为：上式最后一项就表示水流对物体的合力为了固定弯管，必需施加的外力为F＝－F´。由上面的分析可以看到，在应用总流的动量方程时，控制面上的压强一律采用表压强，如果用绝对压强，势必引起错误，因为这样就得不出合力F´。2、水流对喷嘴的作用力下图是消防水龙头的喷嘴。高速水流从管道经过一个喷嘴射入大气。管嘴截面从A1收缩至A2，如果截面A1处中心的表压强为p1—pa，求水流给喷嘴的合力F。分析截面l—l和2—2之间的控制体受力。在截面1上，表压强为p1—pa，截面2的表压强为零。水流给喷嘴壁面的合力F向右，喷嘴壁面给水流控制体的合力向左。由连续性方程由伯努利方程p2=pa由动量方程由连续性方程由伯努利方程由动量方程3、水流对水坝的作用力溢流坝是水电工程的水工建筑物。坝面上的动水压强分布很复杂。我们用动量方程求水流对坝体的合力。动量方程由连续性方程由伯努利方程得由上面4、射流对平板的作用力如图所示，平面射流射向一平板(单位宽度)，射流的流量为Q，速度为V，求射流对于平板的作用力，不计重力影响。由连续性方程x方向动量方程y方向动量方程得取如图控制体。进口截面和两出口截面上的压强近似地都等于大气压，如果射流处在水平面上，高程都相同，根据伯努利方程，得V1＝V2＝V。水压强对板面的合力为F´，与板面垂直。板给控制体的合力F，方向如图示。射流与平板的夹角为θ。yV0FxFyxA0V05、射流对固定叶片的作用力列y方向动量方程列x方向动量方程已知:V0A0

，叶片对流体的作用力为FxFy

yFxFyxA0V0V0-uuV0-u