第五章平面图形的几何性质

第五章平面图形的几何性质§5-1形心和静矩§5-2惯性矩和惯性积§5-3惯性矩和惯性积的平行移轴公式§5-4惯性矩和惯性积的转轴公式主惯性轴§5-5回转半径内容提要形心：图形几何形状的中心

常用C表示5-1形心和静矩 ——平面图形对z轴和y轴的静矩，也称为面积矩或一次矩一、定义5-1形心和静矩 （1）同一平面图形对不同的坐标轴可能有不同的静矩，其值可为正，可为负，也可为零。静矩的量纲为[长度]3。（2）平面图形对形心轴的静矩为零；反之，若平面图形对某轴的静矩为零，则该轴必为形心轴。（3）若平面图形有对称轴，则形心必在对称轴上。二、形心和静矩的关系Sy>0Sz>0yzyzb/2b/2h/2h/2yzSy>0Sz<0Sy=0Sz=05-1形心和静矩 对称图形形心的位置有一个对称轴：形心C位于该轴上yCz5-1形心和静矩

有两个对称轴：两个对称轴的交点就是形心C的位置zyC5-1形心和静矩 Czy对某点对称（中心对称）：形心C位于对称中心5-1形心和静矩 三、组合图形的形心和静矩

由若干个简单图形（如矩形、圆形、三角形等）所组成的复杂图形称为组合图形Ai

——第i个简单图形的面积。zCi、yCi——第i个简单图形的形心坐标。5-1形心和静矩 三、组合图形的形心和静矩Ai

——第i个简单图形的面积。zCi、yCi——第i个简单图形的形心坐标。5-1形心和静矩 例5.1试计算图5.2所示三角形对坐标轴y和z的静矩，并确定形心的位置。例5.1试计算图5.2所示三角形对坐标轴y和z的静矩，并确定形心的位置。例5.2试确定图5.4所示T形截面的形心位置。注1：由两块组成组合图形，其复合图形形心一定位于两个子图的形心连线上注2：组合图形形心计算公式也适用于负面积情况，但要记住面积为负号“负面积”zyC1C2C5-1形心和静矩 5-2惯性矩和惯性积——分别为图形对z轴和y轴的惯性矩一、定义——图形对于一对正交坐标轴z、y的惯性积——图形对坐标原点O的极惯性矩5-2惯性矩和惯性积——分别为图形对z轴和y轴的惯性矩一、定义——图形对坐标原点O的极惯性矩平面图形对任意一对正交坐标轴的惯性矩之和，等于图形对两轴交点的极惯性矩——分别为图形对z轴和y轴的惯性矩二、性质——图形对坐标原点O的极惯性矩Iy、Iz、Iyz是对轴而言，IP

是对点而言；惯性矩、极惯性矩的数值恒为正，惯性积则可能为正值、负值、也可能为零。若y、z两坐标轴中有一个为截面的对称轴，则截面对y、z轴的惯性积一定等于零。——图形对于一对正交坐标轴z、y的惯性积例5.3试求图5.6所示矩形截面对其对称轴z、y的惯性矩Iz、Iy和惯性积Iyz，以及对z1轴的惯性矩Iz1。由对称性可判定例5.3试求图5.6所示矩形截面对其对称轴z、y的惯性矩Iz、Iy和惯性积Iyz，以及对z1轴的惯性矩Iz1。例5.4试求图5.7所示圆形截面对形心轴的惯性矩Iy

、Iz。

Izi,Iyi,

——

第i个简单图形对z、y轴的惯性矩、

惯性积。组合图形的惯性矩、惯性积三、组合图形的惯性矩、惯性积5-2惯性矩和惯性积例5.5试求图5.8（a）所示箱形截面和图5.8（b）所示圆环形截面对形心轴的惯性矩Iy和Iz。（a,b)_____

形心

C

在

zoy

坐标系下的坐标。y、z——任意一对坐标轴C——图形形心已知图形对形心轴

zC

、yC

的惯性矩和惯性积求图形对与形心轴平行的

z，y

轴惯性矩和惯性积5-3惯性矩和惯性积的平行移轴公式yc、zc

——与y、z轴平行的形心轴A——图形面积（a,b)_____

形心

C

在

zoy

坐标系下的坐标。5-3惯性矩和惯性积的平行移轴公式已知IzC、IyC和IyCzC，求Iz、Iy和Iyz（a,b)_____

形心

C

在

zoy

坐标系下的坐标。5-3惯性矩和惯性积的平行移轴公式已知IzC、IyC和IyCzC，求Iz、Iy和Iyz惯性矩和惯性积的平行移轴公式注意：1、图形对形心轴的惯性矩是对所有平行轴的惯性矩中最小的；2、a、b是图形的形心C在zOy坐标系中的坐标；3、yC轴和zC轴一定是形心轴。例5.6试计算图5.10所示T形截面（与例5.2中的截面相同）对形心轴y、z的惯性矩Iy和Iz。解：例5.6试计算图5.10所示T形截面（与例5.2中的截面相同）对形心轴y、z的惯性矩Iy和Iz。解：一、惯性矩和惯性积的转轴公式yoz

为图形平面内任取的正交坐标系，且已知Iz、Iy和Iyzz1oy1

为

yoz

坐标绕原点O旋转角（规定：

角以逆时针旋转时为正）形成的坐标系，求Iz1、Iy1和Iy1z15-4惯性矩和惯性积的转轴公式主惯性轴5-4惯性矩和惯性积的转轴公式主惯性轴一、惯性矩和惯性积的转轴公式一、惯性矩和惯性积的转轴公式5-4惯性矩和惯性积的转轴公式主惯性轴——惯性矩和惯性积的转轴公式同一平面图形，对于通过图形平面内同一点的任意一对正交坐标轴的两惯性矩之和为常数。——当坐标轴绕原点O旋转到y0、z0时，平面图形对这一对正交坐标轴的惯性积

Iy0z0等于零，这一对正交坐标轴称为图形通过O点的主惯性轴，或简称为主轴。——平面图形对主惯性轴的惯性矩Iy0、Iz0称为主惯性矩对称轴必为形心主惯性轴。5-4惯性矩和惯性积的转轴公式主惯性轴二、主惯性轴——惯性积的转轴公式——通过平面图形形心的主惯性轴称为形心主惯性轴，简称为形心主轴——平面图形对形心主轴的惯性矩称为形心主惯性矩——当坐标轴绕原点O旋转到y0、z0时，平面图形对这一对正交坐标轴的惯性积

Iy0z0等于零，这一对正交坐标轴称为图形通过O点的主惯性轴，或简称为主轴。5-4惯性矩和惯性积的转轴公式主惯性轴三、主惯性轴的确定及主惯性矩的计算——惯性积的转轴公式确定过O点的主惯性轴y0、z0

5-4惯性矩和惯性积的转轴公式主惯性轴三、主惯性轴的确定及主惯性矩的计算0y05-4惯性矩和惯性积的转轴公式主惯性轴四、过同一点所有轴的惯性矩的极值计算设时Iy1取得极值——即原点O确定时，主惯性矩也是图形对通过该点所有轴的惯性矩的极值。由上式确定的主惯性矩Iy0为过O点所有轴的惯性矩的极大值Imax，而主惯性矩Iz0为过O点所有轴的惯性矩的极小值Imin。例5.9试求图5.14所示平面图形的形心主惯性轴的位置，并计算形心主惯性矩。解：（1）计算形心位置。取两底边为参考坐标轴，则形心的位置坐标yC、zC为例5.9试求图5.14所示平面图形的形心主惯性轴的位置，并计算形心主惯性矩。（2）计算惯性矩和惯性积。取形心坐标系zCy如图所示（3）确定形心主惯性轴的位置。例5.9试求图5.14所示平面图形的形心主惯性轴的位置，并计算形心主惯性矩。（3）确定形心主惯性轴的位置。例5.9试求图5.14所示平面图形的形心主惯性轴的位置，并计算形心主惯性矩。（4）计算形心主惯性矩。1、对于具有对称轴的平面图形，如矩形、工字形、T形等，则对称轴、以及通过形心并与对称轴正交的轴即是形心主惯性轴；2、如果平面图形有两根以上的对称轴，如圆形和正多边形，则通过形心的任意坐标轴都是形心主惯性轴。——将杆件横截面的形心主轴和杆件轴线所确定的平面，称为形心主惯性平面。5-4惯性矩和惯性积的转轴公式主惯性轴说明：5-5回转半径——为平面图形对正交坐标轴z轴和y轴的回转半