第五章-机械波(北邮版)大学物理学

第五章波动学

前言§5-1机械波的形成和传播§5-2平面简谐波的波动方程§5-3波的能量§5-4惠更斯原理、波的叠加和干涉§5-5驻波§5-6多普勒效应11、什么是波动波动有机械波，电磁波，物质波波动也是一种运动形式，波动是振动的传播过程。2、波动和其他运动形式相比具时间和空间上的某种重复性3、各类波在传播途中具有共性：类似的波动方程：反射、折射现象：在两种介质的界面上的反射，折射干涉现象：同一介质中，几列波的叠加衍射现象：在介质中绕过障碍物前言2物体弹性形变中的几个基本概念１、形变的分类２、形变的度量、胁变(应变)长胁变：容胁变：切胁变：

长变：容变：切变：3３、胁强（应力），虎克定律：协变与胁强成正比（应力与应变的关系）４、弹性模量：虎克定律中的比例系数Y──杨氏模量B──体变模量G──切变模量５、形变能量密度：42、机械波产生的条件：1、什么是机械波一个振动以有限的速度在连续介质中的传播。波源（振源）弹性介质一、机械波的产生二、机械波的传播特点：1、横波传播的特点：简谐振动在理想介质中的传播，叫简谐波。－－在此只讨论作简谐振动的波源－－只讨论各向同性均匀无限大无吸收的 理想情况。（前提条件：波源相对于介质是静止的）以绳子上所形成横波为例。§5-1机械波的形成和传播51112131516

t=0141234567891011121315161412345678910

t=T/26111213151614123478910

t=T511121315161412345678910

t=T/4111213151614123456789101112131516141234567891011121315161412345678910

t=3T/4611121315161412345678910

t=5T/4①当点波源完成自己一个周期的运动，就有一个完整的波形发送出去。②沿着波的传播方向向前看去，前面的各质元都要重复波源（已知点振动即可）的振动状态（即位相），因此，沿着波的传播方向向前看去，前面质元的振动位相落后于波源的位相。③所谓波形：是指介质中各质元在某确定时刻，各自偏离自己平衡位置位移的矢端曲线──简谐横波可用余弦函数描述。④横波使介质产生切变，——只有能承受切变的物体（固体）才能传递横波。73、表面波因液面有表面张力，在液面是纵波，横波均可传递。2、纵波的特点前三点基本上与横波相同。简谐纵波必须经过数学处理后才能用余弦函数处理。有液面波传播时，液面的流体微元会在平衡位置附近作椭圆振动。液面波不是简谐波。纵波在介质中引起长变或体变──所有物质都能承受长变，体变（固、液、气体）。在固体中纵波、横波均可传递，但两种波速各不相同。8三、波场波线波面2、波的传播方向称波线。1、波所传播到的空间叫波场(a)点波源波前波线波面(b)球面波波前波面波线(c)平面波3、振动传播时相位相同的点所组成的面称波面，在各向同性的介质中，波线恒与波面垂直。最前面的一个波面称波阵面（或波前）。9波动周期T：一个完整波形通过波线上某固定点所需的时间。或者说，波传播一个波长所需的时间波动频率：单位时间内通过介质中某一点完整波的个数1、波长四、描述波动的三个重要参量2、波动周期、频率λλ在波源相对于介质为静止时，波动周期等于波源振动周期。同一波线上振动位相差为2π的相邻的两质点间的距离。或某个振动状态在一个周期内传播的距离为波长。103、波速u某个振动状态（即位相）在介质中传播的速度，波速又叫相速，用u表示，波速决定于介质的力学性质：弹性和惯性（介质的弹性模量和密度）。固体中的波速液体和气体中的波速它表示单位时间内一定振动状态或位相沿波线传播的距离波长、波速、周期三者间关系。11注意波速与振速的区别：波速决定于介质的力学性质12一、平面简谐波的波动表达式如前所述,在同一时刻，沿着波的传播方向，各质点的振动状态或位相依次落后；波动是介质中大量质点参与的集体运动（振动）如何用数学式来描述大量质点以一定位相关系进行集体振动呢？§5-2平面简谐波的波动方程131、思路介质中所有质点的振动方程任一波面上任一质点振动方程通式任一波线上任一质点振动方程式的通式2、过程条件：B、波是沿着X轴正向传播，传播速度为uC、波源的振动方程y=Acos

ωt

D、波源相对于介质静止A、波源在坐标原点，X轴与某一波线重合14设P为波线（即x轴）上的一点，其坐标为x，那么0点的振动传到P点需时间为：Dt=x/u15在P点的观察者，认为P点在t时刻（Ｐ点的钟）所重复的振动状态是0点在[t-(x/u)]时刻的振动状态。由于P为任选的，所以上式所表示的是任一波线上任一点振动方程的通式，此即所求的平面简谐波的的波动表达式。P点在t时刻的振动状态＝0点在[t-(x/u)]时刻的振动状态∴P点在t时刻的振动方程为16二、波动表达式的多种形式：17三、波动方程的物理意义振动y=f(t)

一个质点的位移随时间变化的规律波动y=f(x,t)波线上所有质点的位移随时间变化的规律1、假定x=x0常数只考察波线上某固定点y=f（x，t）蜕变成

y=f（t）18（1）波动方程蜕变成x处质元的振动方程（2）x处质元的振动位相“－”表示位相的落后于原点0（3）同一时刻，同一波线上两点的振动位相差xOx2x1192、假定t=常数（1）波动方程蜕变成t时刻的波线方程

y=Acos［ω(t0-x／u)+φ／］可见，波长反映了波动在空间上的周期性。y=f（x，t）

蜕变成

y=f（x）λλ/2λ/2相当于对某波动过程照相后的相片，这时

──故波形图有鲜明的时间特征；20（3）同一质元在不同的两个时刻的振动位相差（2）时间延续△t，整个波形向前推进△x=u·△t据此，可由已知时刻的波形图画出下一时刻的波形图；21所以波动周期T反映了波动在时间上的周期性则22例5－1已知某t时刻的波形图，求解：uOx=0Y因为此图滞后前图，x>023波形不断向前推进就是波动传播的过程，波动方程描述一个波形的传播。3、x，t都变y=f（x，t）描述波线上各个不同质点在不同时刻的位移t时刻的波形方程为y(x)=Acosω(t－x／u)OYX(t)＋(t)(t)＋2(t)(t)t+Δt时刻的波形方程为y(x)=Acosω(t+Δt－(x+x)／u)24A、波源不在坐标原点，B、波是沿着X轴负向传播，传播速度为uC、波源的振动方y=Acos(ωt+φ0)D、波源相对于介质不静止。怎么办？四、几点补充说明1、计入波源初相的情况：

波源的初相对波的传播过程的贡献是固定的，与波传播的方向、时间、距离无关，故有25３、波源不在坐标原点：应按照前面推求波动方程的思路，写出原点的振动方程，而后再按上面的原则写出波动方程。２、沿x轴负向传播的波：这时是P点的振动超前于0点的振动，超前的时间为：故有沿负方向传播的波26解：*由图可看出O点的振动超前于B点 ∴O点的振动方程为而这列波沿x轴正向传播例5－2:设有一平面简谐波频率为，振幅为A以波速u沿x轴正向传播，已知波线上距原点为d的B点的振动方程为试写出其波动方程。27∴波动方程为∴O点的振动方程为

**若B点在原点左边，即如下图，此时O点的振动落后于B点28***若这列波沿x轴负向传播，且B点在原点的右方，****若这列波沿x轴负向传播B点在原点的左方29例5－3一列平面简谐波以波速u沿x轴正方向传播，波长为。已知在x0＝处的质元振动表达式为试写出波动方程，将代入，有解：或者由原点的位相超前为所以向正方向的波动方程为30例5－4图示为一平面简谐波在t＝0时的波形图，求（1）该波的波动方程；（2）P处质点的振动方程解：（1）由图知：A＝0.04m，＝0.40m，且O处质点，t=0时，

又

故波动方程为：取P31（2）P点质点的振动方程为：32一、介质中dV体元内的波动能量1、dV内的波动动能设：在介质内任取一体元dv§5-3波的能量332、dv内的波动势能体积元因形变而具有弹性势能在横波中，产生切变34①在同一体元dV内，dEk、dEp是同步的。３、dV内的总波动能量以上讨论说明：以横波为例，当体积元的位移最大时（即波峰、波谷处），它附近的介质也沿同一方向产生了几乎相等的位移，使该体积元发生的相对形变为零，即此时有y/x=0，所以此时体积元的弹性势能为零，而此时体积元的振速也为零，所以动能也为零；35相反地，当体积元处在位移为零处(即平衡位置)时，振速、相对形变均最大，所以弹性势能和动能都同时达到最大值。对任一介质体积元来说，不断从波源方向的介质中吸收能量，又不断地向后面的介质传递能量。这说明波动是传递能量的一种方式，且能量传播的速度就是波速。②体元dV内的机械能不守恒，且作周期性变化。孤立的谐振子系统能量守恒。这与孤立的谐振子系统不相同，孤立的谐振子系统振动过程中系统的动能和势能相互转换,且总能保持不变。36二、能量密度2、一个周期内的平均能量密度1、能量密度单位体积内的能量这说明：37三、波的能流和能流密度如右图所示1、能流单位时间内沿波传播的方向通过介质中某一截面积的能量称为该面积的能流。uudtS2、平均能流383、平均能流密度（又叫波强）I可见波强（瓦/米2）39四、波的吸收设介质中某处振幅为A，经厚为dx的介质，振幅的衰减量为dA，则－dA=αAdx设x=0时，A=A0波动中一部分机械能因克服内摩擦做功转换成介质内能40五、声波、超声波、次声波1、声波：

波动频率在20Hz─20000Hz之间，能引起人的听觉的机械波次声波：

频率低20Hz的机械波（如地震、火山爆发、陨石落地、雷暴等发出…）即声波的波强，即声波的平均能流密度

(2)声强级：(1)声强：以人耳刚能听到的声强 为标准，则声强级41(3)声功率:单位时间里通过某一面积的声波的能量,亦即声波的能流.(4)响度:人耳对声音强弱的主观感觉.其既与声强有关也与频率有关.正常的呼吸、草木的窸窣（xishu)声，约为10分贝；高声谈话为60－70分贝；摇滚乐可达90－120分贝；街道上从身边驶过的车辆给人的是80－100分贝；喷汽机起飞时达140分贝；宇宙火箭发射时达175分贝。人类感到舒适的音量在15－35分贝之间；达到130分贝时即会引起病态的感觉；如果达到150分贝，人就难以忍受；达到180分贝时，金属也会遭到破坏。(5)声压:在声波传播的空间里，某一点在某一瞬时的压强P与没有声波时的静压强P0之差dP=P-P0，叫做该点该瞬时的声压。42因空气波为疏密波，故声压可正、可负，其单位为“帕斯卡”。可以证明：声压的振幅 称为波阻）Pm正比于波动频率2、超声波对物质的作用1）机械作用；2）空化作用；3）热作用。*声纳，B超，理疗。波动频率超过20000Hz的机械波，谓之超声波43例5－5一平面简谐波在弹性媒质中传播，在媒质质元从平衡位置运动到最大位移处的过程中：（Ａ）它的动能转换成势能．（Ｂ）它的势能转换成动能．（Ｃ）它从相邻的一段质元获得能量其能量逐渐增大．（Ｄ）它把自己的能量传给相邻的一段质元，其能量逐渐减小（Ｄ）44例5－6一平面简谐波，频率为300Ｈｚ，波速为340ｍ／ｓ，在截面面积为3.00×10－2ｍ2的管内空气中传播，若在10ｓ内通过截面的能量为2.70×106Ｊ，求（1）通过截面的平均能流；（2）波的平均能流密度；（3）波的平均能量密度．解：（１）Ｐ＝Ｗ／ｔ＝2.70×105Ｊ·ｓ－1（２）Ｉ＝Ｐ／Ｓ＝9.00×107Ｊ·ｓ－1·ｍ－2

（３）因为Ｉ＝w·ｕw＝Ｉ／ｕ＝2.65×105Ｊ·ｍ-2

45一、惠更斯原理：入射波根据惠更斯原理，用作图的方法，能解释波的反射、折射等波的传播现象波动传播到的各点都可以看做是发射子波的新的波源；其后任一时刻，这些子波的包迹就是新的波阵面。§5-4惠更斯原理、波的叠加和干涉tS1t+△tS246二、波的叠加原理1、几列波在传播中相遇时，可以保持各自的特性(频率、波长、振幅、振动方向等)同时通过同一媒质，好象没有遇到其它波一样2、在相遇的区域内，任一点的振动，为各列波单独存在时在该点产生的振动的合成振动。上述规律称为波的叠加原理，又称波的独立传播原理47三、波的干涉1、干涉现象（3）振动方向相同；（1）频率相同；（2）相位差恒定；相干条件相干现象:若两列波在空间相遇，空间各点的振动是完全确定的，得到波的一种稳定的叠加图样，这种现象称波的干涉现象。一般情况下，几列波在介质中相遇时，相遇区域内各处质点的合振动是很复杂的，是不稳定的。相干波满足相干条件的波源称为相干波源，能叠加产生干涉现象的波称为相干波。482、干涉加强减弱条件

出发点：

y1=A1cos(t+10)y2=A2cos(t+20)两波传至P点，引起两个振动设s1、s2为两相干波源，其振动方程分别为s2s1r1r2P＊相干波在叠加区域内各质点的振动是合成振动。＊由相干条件知：相干波在叠加区域内各质点的振动是：同频率、同振动方向谐振动的合成振动。49说明合振幅仅由波程差（r2-r1

）决定，位相仅由位置决定，故这是一个稳定的叠加图样。则由同方向、同频率谐振动合成公式，有50若1=2,上式简化为波程差k=0,1,2,…干涉相长与干涉相消的条件：k=0,1,2,…A=A1+A2干涉相长A=A1－A2干涉相消51解：（1）

1=2，在BC间取一P点(如图)BP=r1=xCP=r2=30

x

例5－7B、C为处在同一媒质中相距30m的两个相干波源，它们产生的相干波波长都为4m，且振幅相同。求下列两种情况下，BC连线上因干涉而静止的各点的位置：（1）B、C两波源的初相位角1=2；（2）B点为波峰时，C点恰为波谷。xCBPx30x由题意，应有代入数值52x=2k+16k=0,1,2,

x=0,2,4,…,30m为静止点（2）B点为波峰时，C点恰为波谷，说明12=

x=1,3,5,…,29m为静止点。53例5-８s1、s2是两相干波源，相距，s１比s２的周相超前，设两波源在s１、s２的连线上的强度相同且不随距离变化，问s1s2的连线上，s1外侧各点处的合成强度如何？s2外侧各点的强度又如何？解：1、设p为 外侧的一点，且有（干涉相消）54所以P点的合振幅为零，2、设Q为 外侧的一点，55例5－9如图所示，两列平面简谐相干横波，在两种不同的媒质中传播，在分界面上的Ｐ点相遇．频率v＝100Ｈｚ，振幅ＡA＝ＡB＝1.00×10－2ｍ，ＳА的位相比ＳB的位相超前π／2．在媒质１中波速ｕА＝400ｍ/ｓ在媒质２中的波速ｕБ＝500ｍ/ｓ，ＳАＰ＝ｒА＝4.00ｍ，ＳBＰ＝ｒB＝3.75ｍ，求Ｐ点的合振幅．rArBPSASB解：56Ａ＝ＡА＋ＡB＝2.00×10－2ｍ57一、驻波现象波腹：振幅始终为极大值的点在同一介质中，两列振幅相同的相干平面简谐波，在同一直线上沿相反方向传播时叠加形成的波，称为驻波相邻两个波节点或波腹点之间的距离为半个波长。波节：介质中始终不振动的点；B绳上的驻波mPA§5-5驻波58二、驻波方程和驻波特征1、驻波方程

两波相遇，其合成波为变量分离为简单计，设两列相向传播的波在原点周相相同（例如为零）592、驻波特征波线上各点都在自己平衡位置附近作周期为T的谐振动，各点的振幅随位置的不同作周期性变化。①振幅分布的特点考察某一点，令x=常数，则x处的质元振幅为振动频率为2π60

波节和波腹位置当振幅为极大时，为波腹的坐标位置介质中各点的振幅是随x按余弦规律变化，而余弦函数的绝对值的周期为π，故说明两相邻波腹间距为当振幅为0时，为波节的坐标位置说明两相邻波节间距为，两相邻波节和波腹之间距为。61注意结论的适用范围：上述波腹、波节的坐标位置公式是特殊情况下的结论（即在两相干波初相为零时所得），不具普遍性而关于两相邻波腹，两相邻波节间距为的结论具有普遍性，求波节、波腹的方法，思路具有普遍性。6263相邻两个波节之间的所有各点振动位相相同，同步振动.任一波节两侧的点，振动位相正好相反，相差π，／43／45／4(x)<0(x)＞0──即驻波干涉中，介质各点的振动位相分段相同，相邻两段位相相反。64当所有质点的位移到达最大时，各质点动能为零，全部能量为势能，且势能集中在波节附近；•当所有质点的到达平衡位置时，各质点势能为零，全部能量为动能，且动能集中在波腹附近；•在驻波振动的其它时刻，动能、势能并存，且在一个波段内动能、势能在不断地进行转换，并不断地分别集中在波腹和波节附近而不向外传播。③、驻波能量分布特点：驻波的波形并不向前传播，也没有振动状态(位相)和能量的传播，与前面讨论过的行波本质不同，所以称为驻波。因此驻波干涉实际上是一种特殊振动，是在一段有限长介质中入射波与反射波叠加后引起的特殊振动。所有乐器都是不同介质的不同形式的驻波振动。65三、反射波在界面处的位相变化──半波损失的问题1、波阻：·u──即介质的密度与波速之乘积两种介质中，相对波阻大的介质为波密介质相对波阻小的介质为波疏介质如＞n1>n2

波由波疏介质入射，在波密界面上反射──界面形成波节。2、实验表明：波由波密介质入射，在波疏界面上反射──界面形成波腹。66反射波在界面处的位相，与入射波在界面处的位相，当满足一定条件时，始终存在着π的位相差的现象。②产生半波损失的条件3、半波损失①什么是半波损失波由波疏介质入射到波密介质面上反射；波动在反射时发生π位相突变的现象称为半波损失。正入射（对光波还可以是掠入射）当界面处为波节时，即有半波损失。有半波损失无半波损失6768在物理学中，我们将各种允许频率对应的驻波振动（简谐振动模式）称为简正模式，或直接简称为“模”。由以上讨论可知，对两端固定的弦这一驻波振动系统，有许多个“模”式，即有许多个振动自由度。上述讨论方法，也适用于两端开放，或一端固定、一端开放之管或弦驻，乃至于膜（即二维驻波振动）。69解：反射波的传播方向与入射波方向相反，反射点为波节，说明有半波损失。故应选(D)例11-9设入射波的波动方程为，在x＝0处发生反射，反射点为一节点，则反射波的波动方程为70例１1－１０某时刻驻波波形图曲线如图所示，则a,b两点位相差是（Ａ）

（B）

（C）

（D）解：由驻波位相分布特点知，同一波节两侧各点的位相相反。所以选（Ａ）71驻波的表达式为波腹所在处的坐标为在波腹处应有成立例11-11设入射波的表达式为波在x＝0处反射,反射点为一固定端，则反射波的表达式为———————驻波的表达式为—————————入射波和反射波合成的驻波的波腹所在处的坐标为———————反射波的表达式为解：72例11－12在弹性介质中有一沿x轴传播的平面波，其方程为y=0.01cos[4t-x-()](SI)若在x=5.00m处有一介质分界面，且在分界面处位相突变，设反射后波的强度不变，试写出反射波的波动方程。·x05解：取波动方程的标准式为界面处的位相比原点落后可知，波长为2m.同理，反射波传到原点时，其比界面处的位相又落后5再考虑到界面处的位相突变于是，反射波在原点处的位相为73于是，向右传播的波动方程为74解：（１）与标准波动方程ｙ＝Ａｃｏｓ2π（νｔ－ｘ／λ）对比可得：ν＝4Ｈｚ，λ＝1.50ｍ波速ｕ＝νλ＝6.00ｍ／ｓ例11-13两波在一很长的弦线上传播，其波动方程式分别为:ｙ1＝4.00×10-2cos(π/3)(4ｘ－24ｔ）（ＳＩ）ｙ2＝4.00×10-2cos(π/3)(4ｘ＋24ｔ）（ＳＩ）求（１）两波的频率、波长、波速；（２）两波叠加后的节点位置；（３）叠加后振幅最大的那些点的位置．75（３）波腹位置（２）节点位置4πｘ／3＝±（ｎπ＋π/2）ｘ＝±3（ｎ＋1/2）／4（ｍ）ｎ＝０，１，２，３驻波方程为根据节点位置満足4πｘ／3＝±ｎπｘ＝±3ｎ／4（ｍ）ｎ＝０，１，２，３761、波在介质中的传播速度只由介质决定多普勒于1842年发现，当波源或观察者、或者两者同时相对于介质有相对运动时，观察者接收到的波的频率与波源的振动频率不同，这类现象称为多普勒效应或者多普勒频移。※几个概念与波源和观察者相对于介质的运动无关。2、三种频率的定义：波源的振动频率s：波源在单位时间内所完成的完全振动的次数§11-6多普勒效应77观察者的接收频率B：

接收器在单位时间内收到的完整波的数目介质的波动频率：单位时间内通过波线上某点完整波的数目介质的波动频率=u

:以接受者为参照系：u／是观察者测得的波的传播速度，l／

是观察者测得的波长。接收频率B=

u／／l／

以介质为参照系：u是波在介质中的速度，仅由介质决定3、只讨论波源，观察者的运动方向在二者连线上的情况约定u──表示波速Vs──表波源相对于介质的速度VB──表观察者相对于介质的速度三种速度均以介质为参照系78一、波源、观察者均相对于介质为静止

Vs=0,VB=0 ──此时无多普勒效应波源相对于介质为静止（即Vs=0），波动频率等于波源的振动频率观察者的接收频率B由于观察者相对于介质为静止（即VB=0），∴u＇=u，λ=λ＇观察者测得波的传播速度由u′=u+VB,可知79二、波源不动，观察者以VB运动

(Vs=0,VB≠0)以波源及观察者连线为x轴，并规定波动向着观察者传播方向为正方向，VBVs=0在不考虑相对论效应时，当观察者向着波源运动时，那么这时观察者测得的波速 u＇=u+VBSVS=0观察者测得的波长λ/=λ因为Vs=0，

即，当观察者向着波源运动时，接收频率提高。80显然，当VB=u时，u＇=0，n2/=0当观察者远离波源时,VB取负值,接收频率降低。即，当观察者相对于某一波面为静止时，观察者的接收频率为零。81此时波在介质中的传播速度仍为u，观察者测得的波速u′=u+VB=u三、观察者不动，波源以VS运动

(Vs≠0，VB=0)vSTsuTsSvSS1、波源向着观察者运动如果波源S不运动，则波头、波尾长为uT，但当波源运动时,波头发出后，即以u速在介质中传播，当其到达P点时，波源（波尾）在这段时间内（一个振动周期T内）运动到S/点，波形（面）被压缩，但由于波源的运动，波在介质中的波长发生发变化。82即波源向着观察者运动时，观察者的接收频率会提高，介质连续性的定义:λ＞＞d（d为分子间距）.显然，当Vs→u时，B→

∞这是没有意义的。但波源运动速度Vs>u则经常出现的，例如超音速飞机等。美国宇航局2004年3月27日宣布，一架X—43A试验飞机当天在在加州爱德华兹空军基地试进行的试飞中时速达到了7700公里（约7倍音速），从而打破了喷气式飞机的飞行速度纪录。832、若波源背离观察者运动接收频率会降低同理，则波形被拉长84四、观察者、波源同时相对于介质运动(Vs≠0，VB≠0)VBVs相互靠近观察者测得的波速

u′=u+VB接收频率波形被拉长相互远离观察者测得的波速u′=u-VB接收频率波形被压缩即85若观察者和波源相对于介质的运动速度不在二者的连线上，则只须考虑Vs,VB在二者连线上的分量，即机械波只有纵向多普勒效应，而无横向多普勒效应。86纵向多普勒效应横向多普勒效应五、光波的多普勒效应根据相对论的有关知识可导出：87六、击波、马赫锥（击波又叫艏波）