第二节点的坐标与向量的坐标

第二节点的坐标与向量的坐标一、空间直角坐标系二、向量的坐标及向量线性运算的坐标的表示三、向量的模、方向角和投影一、空间直角坐标系

1、空间直角坐标系的基本概念ⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系.

坐标原点

O

.

坐标轴x轴(横轴)y轴(纵轴)z

轴(竖轴)过空间一定点

O,

坐标面

卦限(八个)zox面Ⅰ向径坐标轴上的点

P,Q,R;坐标面上的点

A,B,C.点M特殊点的坐标:有序数组(称为点

M

的坐标)原点

O(0,0,0);在直角坐标系下坐标面:坐标轴:

八个卦限上点M(x,y,z)的特点:第I卦限上：第II卦限上：第III卦限上：第IV卦限上：

第V、VI、VII、VIII卦限上的点依次把第I、II、III、IV卦限中z改为：2、空间两点间的距离设M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2)为空间上的两点,

空间两点间距离公式解到y轴；到z轴；到原点；例1

求点M(2,3,2)到x轴的距离.例求点M(x,y,z)到各坐标轴、各坐标面的距离.思考

求点M(x,y,z)关于坐标原点、各坐标轴、各坐标面的对称点.例求点M(x,y,z)到各坐标轴、各坐标面的距离.到x

轴的距离：到y

轴的距离：到z

轴的距离：到xoy

平面的距离：到yoz

平面的距离：到zox

平面的距离：思考

求点M(x,y,z)关于坐标原点、各坐标轴、各坐标面的对称点.x0zyM点的对称点关于xoy面:(x,y,z)(x,y,-z)关于x轴:(x,y,z)(x,-y,-z)Q0关于原点:(x,y,z)(-x,-y,-z)M(x,y,z)xRP(x,y,-z)(x,-y,-z)(-x,-y,-z)解设所求点为M(0,y,0),故所求点为M解得例2

在y轴上求与点A(1,2,3)和点B(2,3,2)等距离的点坐标.∵|MA|=|MB|,

(1)在

xoy

面上求与点A(1,2,3)和点B(2,3,2)等距离的点的轨迹方程?(2)在空间中求与点A(1,2,3)和点B(2,3,2)等距离的点的轨迹方程

?思考题:(1)

设动点为M(x,y,0),利用|MA|=|MB|,得提示:(2)

设动点为M(x,y,z),利用|MA|=|MB|,得证明原结论成立.例3

求证以A(2,1,9)、B(8,1,6)、C(0,4,3)三点为顶点的三角形是一个等腰直角三角形.二、向量的坐标及向量线性运算的坐标的表示在空间直角坐标系下,则设点

M的坐标为

M(ax,ay,az),任意向量

可用向径

OM

表示.此式称为向量

的标准分解式,称为向量沿三个坐标轴方向的分向量.1.向量的坐标表示坐标.(coordinates)坐标表示式.若点M的坐标为(x,y,z),则向径：

向量的分解表达式说明：任何向量可以表示为的线性组合，组合系数就是该向量的坐标.2.向量线性运算的坐标的表示平行向量对应坐标成比例:解例1

设M1

(1,3,4),

M2(2,1,3),求

例例2

已知两点A(x1,y1,z1),

B(x2,y2,z2)及实数1,在直线AB上求一点M,使解

设

M

的坐标为(x,y,z),

如图所示得即说明

由得定比分点公式:点

M为AB

的中点,于是得中点公式:三、向量的模、方向角和投影

1.向量的模向量模长的坐标表示式例1设求以向量的平行四边形的对角线的长度.

为边故对角线的长度分别为

对角线的长为解2.方向角与方向余弦与三坐标轴正向所成的夹角

,,称为的方向角.方向角的余弦称为其方向余弦.

方向余弦的坐标表达式方向余弦通常用来表示向量的方向.方向余弦的性质特殊地：与同向的单位向量

当已知的模与方向角时,由可求出其坐标.非零向量的方向角

,,和的模、方向余弦和方向角.计算向量例1

已知两点解解注意：与已知向量平行的单位向量有两个,一个与同向,一个反向．或解设点P2的坐标为(x,y,z),故点P2的坐标为

例4依次为求点A

的坐标.设点A

位于第一卦限,向径OA

与x

、y轴的夹角解因点A

在第一卦限,故点A

的坐标为3.向量的投影1)空间一点在轴上的投影

过点

A

作轴

u

的垂直平面,交点

A

即为点

A

在轴

u

上的投影.

2)空间一向量在轴上的投影关于向量投影的定理定理1定理1的说明：投影为正；投影为负；投影为零；(4)相等向量在同一轴上投影相等；，3)向量在向量上的投影在三个坐标轴上的分