第二章、模糊控制理论基础

第一节：引言第二节模糊集合论基础第三节模糊逻辑、模糊逻辑推理和合成第二章、模糊控制理论基础第一节：引言模糊概念当逛进大商场或者家用电器商店时，你会无意中发现已有不少家用电器上，比如洗衣机、电饭锅、照相机、摄象机，打上了“FUZZYCONTROL”的标签，并且这类产品的品种还在增多。报纸和杂志上也会不时地出现这些字样或者模糊控制这个术语。人们在不知不觉中已开始接受这个新事物。向一般人普及FUZZY的课堂不是在学校，而是在商场由模糊控制的家用电器在向大家讲解。“FUZZY”这个词在英语里的解释是“毛绒绒的，似绒毛的，失真的，模糊的”。在这里通常把它翻译成“模糊”。天气冷热雨的大小风的强弱人的胖瘦年龄大小个子高低2、模糊逻辑控制的发展模糊逻辑控制(FuzzyLogicControl)简称模糊控制(FuzzyControl)，是以模糊集合论、模糊语言变量和模糊逻辑推理为基础的一种计算机数字控制技术。1965年，美国的L.A.Zadeh创立了模糊集合论；1973年他给出了模糊逻辑控制的定义和相关的定理。1974年，英国的E.H.Mamdani首先用模糊控制语句组成模糊控制器，并把它应用于锅炉和蒸汽机的控制，在实验室获得成功。这一开拓性的工作标志着模糊控制论的诞生1984年年底，“国际模糊系统学会（IFSA---InternationalFuzzySystems）”正式成立。1993年国际著名学术刊物《IEEETrans.OnFuzzySystems》正式出版发行。在过去20年中，模糊控制也是智能控制的一个十分活跃的研究与应用领域。模糊控制的价值可从两个方面来考虑。一方面，模糊控制提出一种新的机制用于实现基于知识（规则）甚至语义描述的控制规律。另一方面，模糊控制为非线性控制器提出一个比较容易的设计方法，尤其是当受控装置（对象或过程）含有不确定性而且很难用常规非线性控制理论处理时，更是有效。3、模糊控制现状我国研究模糊理论的科技工作者在世界上最多，并在理论上取得了令世人瞩目的成就，但绝大多数是数学工作者，这与美、日是以工程技术人员为主有显著不同。尽管我国每年在这方面发表的论文数是最多的，但工程应用和技术水平却与此不相称。希望能有更多的工程技术人员加入到模糊逻辑控制的研究中来，推动国内这方面的工程应用。4、研究内容自适应、自学习模糊控制理论的研究；模糊推理策略的研究；模糊辨识模型的研究；模糊控制系统稳定性研究；模糊控制器的硬件实现；模糊控制器的构造;模糊信息与精确信息转换的物理结构和方法;模糊控制器对外界环境的适应性及适应技术;实现模糊控制系统的软技术;模糊控制器和被控对象匹配技术.5、模糊控制技术需要解决的具体问题有：6、模糊控制理论还存在需要解决的系统方法有：1）

人的知识和经验的表达；2）

知识推理的法则；3）

人的知识的获取和总结；4）

模糊控制系统稳定性判据；5）

模糊控制系统的学习；6）

模糊控制系统的分析；7）

模糊控制系统的设计方法。第二节模糊集合论基础一、模糊集的概念模糊控制以模糊集合论为它的数学基础。那么，什么是模糊集合，它是怎样描述和定义的，又有哪些运算，这些问题是学习与掌握模糊控制技术的基础。在讨论模糊集合论以前先来简单看一下经典集合论。所谓集合是指具有某种特定属性的对象的全体。集合中的个体通常用小写英文字母如u表示，集合的全体又称为论域通常用大写英文字母如U表示，表示元素（个体）u在集合论域（全体）U内。一个集合U如果是由有限个元素组成，则称为有限集合。有限集合U所含的不同元素的数目称为该集合U的基数，记为|U|或#U。不同有限集合的集合称为无限集合。集合既可以是连续的也可以是离散的。

集合至少有5种以上表示方法（1）列举法将集合的元素全部列出的方法。。例如计系04级应用专业硕士生、计系04级软件专业硕士生、计系04级体系结构专业硕士就生就构成了计系04级硕士生这样一个集合，可以表示为：计系04级硕士生＝｛计系04级应用专业硕士生、计系04级软件专业硕士生、计系04级体系结构专业硕士生｝。（2）定义法适用于有很多元素而不能一一列举的集合，这是用集合中的共性来描述集合的方法。例如U={u∣u为自然数且u＜5｝表示小于5的自然数集合。（3）归纳法：通过一个递推公式来描述一个集合。给出集合中的一个元素和一个规则，集合中的其它元素可以借助这个规则来找到。如:U={u(k+1)=u(k)+1,k=1,2,u(1)=9}。（4）特征函数表示法它是利用经典集合论非此即彼的明晰性来表示集合的，因为某一集合中的元素要么属于这个集合，要么就不属于这个集合。如小于10的数构成的偶数集合可表示成：若小于10的数u属于偶数的集合U，集合U就可以通过特征函数Tu(u)来表示，即：（5）通过某些集合的运算来表示的集合如两个集合的交运算形成一个新的集合。从上分析可知，经典集合论中任意一个元素与任意一个集合之间的关系，只是“属于”或“不属于”两种，两者必居其一而且只居其一。它描述的是明确分界线的元素的组合。然而，对于诸如“速度的快慢”、“年龄的大小”、“温度的高低”等模糊概念没有明确的界限。因此，模糊概念无法用经典集合论来描述。那么，怎样描述一个模糊概念呢？模糊集就是提供一种处理此类现象的一个框架。模糊集合则把它扩展成可用称作“隶属度（DegreeofMembership）”的从0到1之间连续的变化值来描述元素的属于程度，这就是说，有些东西可以同时是部分真和部分假。

以人对室温（0℃～40℃）的感觉为例，来看看如何用模糊集合表示人对各种事物和现象形成的概念。在一般情况下，大部分人把从15℃～25℃的室温称作“舒适”的温度，而把15℃以下的温度称为“冷”，25℃以上称为“热”。如用经典集合论来定义，则把小于15℃的温度哪怕是14.9℃也只能属于“冷”（见图2-2a），显然这与人的感觉是不一致的。因此需寻求另外一种数学的表示方式，这就是模糊集合论所要解决的问题。舒适温度1.0图2-2a若用模糊集合论来定义如上这种情况，就是用具有0～1之间变化的隶属度的特征函数来描述某一模糊元素，模糊集合中的特征函数就称作隶属函数（见图2-2b）。在模糊逻辑中，小的温度变化只能会引起系统性能的逐渐变化。这样14.9℃和15℃属于同一集合的程度是很接近的。那么模糊集合是如何定义的呢？模糊集合的定义实际上是将经典集合论中的特征函数表示扩展到用隶属函数来表示。1.0图2-2b模糊集合的定义实际上就是将经典集合的特征函数表示扩展到利用隶属度函数来表示。

设U为一可能是离散或连续的集合，用{u}表示，U被称为论域（UniverseofDiscourse）,u表示论域U的元素，模糊集合是用隶属函数来表示的。所谓论域U指的是我们所讨论问题的任意一个子集、任意一个元素都隶属于这一集合U，又称为全集。定义2-1模糊集合：论域U中的模糊集F用一个在区间[0，1]上的取值的隶属函数来表示。即：u完全属于F；

u完全不属于F；u部分属于F；用来说明u隶属于U的程度，模糊集看成了普通集的推广。

模糊集F可以用元素u和隶属度函数表示，

若U为连续域，则可写成：

例2-2：设F表示远远大于0的实数集合，隶属度函数：

可以算出：x=5,隶属度为0.2;

x=10,隶属度为0.5;

x=20,隶属度为0.8;若U为离散域，即论域U是有限集合时，模糊集合可以有以下三种表示法。（1）查德表示法（2）序偶表示法（3）向量表示法（1）查德表示法例2-3考虑论域U={0，1，2,…,10}和模糊集F“接近于0的整数”，隶属度函数表示为：F=1.0/0+0.9/1+0.75/2+0.5/3+0.2/4+0.1/5（2）序偶表示法F={（u1,u(u1)）,（u2,u(u2)）,…,（un,u(un)）}对于上例可以写成：F={(0,1),(1,0.9),(2,0.75),(3,0.5),(4,0.2),(5,0.1)}（3）向量表示法F={u(u1),u(u2),…,u(un)}对于上例可以写成：F={1,0.9,0.75,0.5,0.2,0.1}。二、模糊集合的运算对于模糊集合，元素与集合之间不存在属于或不属于的明确关系，但是集合与集合之间还是存在相等、包含以及经典集合论一样的一些集合运算如并、交、补等。下面分别引入这些定义。定义2－2论域U中模糊子集的全体，称为U中的模糊幂集，记作F（U），即对于任一,若，则称为空集；若则A＝U称为全集。

定义2－3设A、B是论域U的模糊集，即A、BF（U）若对任一都有B(u)A(u),则称B包含于A，或称B是A的一个子集记作。若对任一都有B(u)=A(u),则称B等于A，记做B=A。

模糊集合的运算与经典集合的运算相类似，只是利用集合中的特征函数或隶属度函数来定义类似的操作。设A、B为U中两个模糊子集，隶属函数分别为和，则模糊集合中的并、交、补等运算可以这样定义。

定义2－4并：并（）隶属函数分别为对所有被逐点定义为取大运算，即

式中，符号为取极大值运算。

定义2－5交：交的隶属函数对所有被逐点定义为小运算，即

式中，符号为取极小值运算。

定义2－6补：模糊集合A的补隶属函数对所有

被逐点定义为

例题请看P16。定理2－1模糊集运算的基本定律：设U为论域，A，B，C为U中的任意模糊子集,则下列等式成立：

（1）幂等律

（2）结合律

（3）交换律

（4）分配律

（5）同一律

（6）零一律

（7）吸收律

（8）德•摩根律

（9）双重否认律模糊集与经典集的集合运算的基本性质完全相同，只是模糊集运算不满足互补律，即

上面定义的模糊集合运算是采用Zadeh算子来进行的。

Zadeh算子的优点是计算简单，除不满足互补律外与经典集合的运算性质十分相似。人们根据具体情况又定义多种不同的算子，并以这些算子定义模糊集合的运算。下面引入两个新的算子－－概率算子和有界算子。

定义2－7称为概率算子，对有

由定义可知，如

定义2－8设，则

（1）A与B的代数积记作A•B，运算规则由下式确定

（2）A与B的代数和记作A+B,运算规则由下式确定

模糊集的代数运算仍然满足结合律、交换律、德•摩根律、同一律和零一律。但不满足幂等律、分配律和吸收律。当然也不满足互补律。

定义2－9称为有界算子，对，有

容易证明，定义2－10设，则

（1）A与B的有界积记作，运算规则由下式确定

(2)A与B的有界和记作，运算规则由下式确定

（2－25）

模糊集的有界运算也满足结合律、交换律、德摩•根律、同一律和零一律，而且满足互补律，但不满足幂等律、分配律和吸收律。三、隶属度函数的建立

模糊集合是用隶属函数描述的。隶属度函数在模糊集合论中占有极其重要的地位。模糊集合中特征函数也就是隶属度函数的取值范围在[0,1]区间。

如果确定隶属度函为一个关键问题。鉴于模糊集理论研究对象的特殊性，没有一个统一的隶属度计算方法。但隶属度函数实质上反映的是事物的渐变性，因此，它仍然应遵守一些基本原则。1、表示隶属度函数的模糊集合必须是凸模糊集合。

一般说来，隶属度函数的确定首先从最大隶属度函数的点开始，然后单调递减向两边延伸。

例如：

“温度适中”=0/30+0.5/40+1/50+0.5/60+0/702、变量所取隶属度函数通常是对称和平衡的。

一般情况下，描述变量的标称值安排的越多，即隶属度函数的密度越大，则模糊控制系统的分辨率越高，系统响应会越平滑，但是带来的不足之处是模糊规则会增加、计算时间会大大增加，设计困难程度加重。

3、隶属度函数要符合人们的语义顺序避免不恰当的重叠。

“速度低”、“速度适中”、“速度高”就是按照一定次序排列的语义顺序。一般由专家经验得到，但是也应符合常识和经验。

相间隔的两个模糊集合的隶书度函数尽量不要交叉。

图2－4交叉越界的隶属度函数示意图

除了以上三条以外，模糊控制系统隶属度函数的选择通常遵循：

1）论域中的每个点应该至少属于一个隶属度函数的区域，同时它一般应属于至多不超过两个隶属度函数的区域。

2）对同一输入没有两个隶属度函数会同时有最大隶属度。

3）当两个隶属度函数重叠时，重叠部分对两个隶属度函数的最大隶属度不应该有交叉。

重叠指数也是衡量隶属度函数与模糊控制器性能关系的一个重要指标。隶属度函数是模糊控制的应用基础，正确构造隶属度函数是能否用好模糊控制的关键之一。目前还很不成熟,多数是经验和实验的结果，所以一般先通过粗略的确定再进一步修正和完善.

1）模糊统计法

对于年轻人的概念，第一次认为“17-30”，即集合A1；第二次认为“20-35”，即集合A2；依次类推。

每次统计中，v是固定的（例如某一年龄），A1、A2等可变，N次实验可得下面的算式：2）例证法:从有限个隶属度值，来估计U上的模糊集A的隶属度函数。例如:“高个子”的隶属度，先确定一个高度，然后它的语言真值可以为“真的”、“大致真的”、“似真似假”、“大致假的”、“假的”，并用数字1，0.75，0.5，0.25，0表示其语言真值。对不同的高度赋予一个语言真值。3）专家经验法，有专家给出隶属度函数值。根据专家经验给出的模糊信息处理算式或相应的权系数。例如：故障的原因可能是：温度过高、震荡、负载过大等。4）二元对比排序法实用的方法，它通过对多个事物之间的两两对比来确定某种某种特征下的顺序，由此来确定这些事物对该特征的隶属度函数。此方法中有相对比较法、对比平均法、优先关系定序法和相似优先法。主要介绍介绍相对比较法：设论域U中一对元素其具有某特征的等级分别为即在和的二元对比中，如果具有某特征的程度用来表示，则具有某特征的程度用来表示，并且该二元对比级的数对必须满足：令这里若以为元素，且定时，则可构造出矩阵G，并称G为相及矩阵。容易推广到n元的情况，对于n个元素同理得相及矩阵G

若对矩阵G的每一行取最小值，即对第i行取

，并按

其值的大小排序，即可得到元素对某特征的隶属函数。例2－4设论域其中表示长子，表示次子，表示三子，表示父亲。如果考虑长子和次子与父亲的相似问题，则可这样来描述长子相似于父亲的程度为0.8，次子相似于父亲的程度为0.5。如果仅考虑次子和三子，则次子相似于父亲的程度为0.4，三子相似于父亲的程度为0.7。如果仅考虑长子和三子，则长子相似于父亲的程度为0.5，三子相似于父亲的程度为0.3，则可建立如下关系按照“谁像父亲”这一原则排序，可得

计算相及矩阵G。因为

所以相及矩阵为

在相及矩阵中取每一行有最小值，即：1、4/7、3/5。按所得值的大小排列得1>3/5>4/7。结论是长子最像父亲（1），三子次之（0.6），次子最不像父亲（0.57）。由此，可以确定出隶属度函数的大致形状。四、模糊关系1.模糊关系的定义定义2－11所谓A，B两集合的直积中的一个模糊关系R，是指以为论域的一个模糊子集，序偶的隶属度为一般地，若论域为n个集合的直积，则它所对应的是n元模糊关系R，其隶属度函数为n个变量的函数。显然当隶属度函数值只取“0”或“1”时，模糊关系就退化为普通关系。例2－6设有七种物品：苹果、乒乓球、书、篮球、花、桃、菱形组成的一个论域U，并设分别为这些物品的代号，则。现在就物品两两之间的相似程度来确定它们的模糊关系。

假设物品之间完全相似者为“1”、完全不相似者为“0”，

假设物品之间完全相似者为“1”、完全不相似者为“0”，其余按具体相似程度给出一个0~1之间的数，就可确定出一个U上的模糊关系R，列表如下

R苹果x1乒乓球x2书x3篮球x4花x5桃x6菱形x7苹果x11.00.700.70.50.60乒乓球x20.71.000.90.40.50书x3001.00000.1篮球x40.70.901.00.40.50花x50.50.400.41.00.40桃x60.60.500.50.41.00菱形x7000.10001.0下面我们来看一下模糊关系与模糊控制的主要环节模糊推理之间的关系。对于确定的控制系统而言，系统的输入输出存在一种确定的关系也称普通关系。同样，对于模糊的控制系统，系统的输入输出也存在某种关系通常称为模糊关系，而这种模糊关系是通过定义在不同论域上的模糊变量之间的模糊条件语句来表示的。假设有如下一条模糊规则

其中，条件部模糊集A定义为，结论部模糊集B定义为。为了建模糊关系，先来考虑一下A和B的直积，记为

。

其中，是有序对的集合，即

例设

；则由式（2－29）可知

对于以上这种模糊集合的表示形式也可以很方便地用模糊

关系矩阵R来表示

123410.80.60.40.220.70.60.40.230.20.20.20.2

为了进一步深入地分析模糊关系矩阵的内在含义和计算方法，引入笛卡尔积算子。定义2-12笛卡尔积（算子）若分别是论域中的模糊集，则的笛卡尔积是在积空间中的一个模糊集，其隶属度函数为直积（极小算子）：或代数积：

对于连续情况，关系矩阵可以定义为为了便于区分起见，我们引入两个记号分别表示笛卡尔积（算子）两种运算规则，即直积（极小算子）用表示，代数积用表示。

例2－7考虑如下模糊条件语句

如果C是慢的，则A是快的。

其中，C，A分别属于两个不同的论域U，V。

其隶属度函数分别为

那么它们的直积为

从这个简单的例子可以看出，代数积运算子比取小算子产生更平滑的模糊关系表面。从中我们也可以体会到，模糊关系实际上反映的是模糊系统的输入输出关系。因此，它也是模糊系统模型的重要表示法之一。

由于模糊关系R实际上是一个模糊子集。因此它的运算完全服从于模糊子集的法则（如交、并、补等）特别是当论域

为有限集时，模糊关系R也可以用矩阵来表示，并称

之为模糊矩阵。定义2－13设A={u1,u2,…,un},B={v1,v2,…,vn}

以及，将序偶的隶属度

称矩阵R=(rij)nxm为模糊矩阵。

模糊矩阵是模糊数学的主要运算工具。一个模糊关系虽然可以用模糊集合表达式来表示，但比不上用模糊矩阵表示更为简单明了，特别是在模糊关系的合成运算中。当论域是离散的有限域时，模糊矩阵的元素rij是用模糊关系的隶属度

表示的。关系与矩阵是一一对应的，因此，关系的

运算与矩阵的运算也有一一对应的性质和规律，具体的交、并等运算同模糊集合的运算相类似。这里不再重复。2、模糊关系的合成

对于有些系统，只依赖单一的条件、结合推理是不够的。因此存在多重推理现象，如IFATHENB,IFBTHENC这样一类控制规则，其控制输出变量是C，那么，人们不禁要问，A和C之间是否存在某种定量的关系呢？答案是肯定的。寻求这种关系的方法就是模糊关系的合成。对于普通关系也存在关系合成计算。如A和B是父子关系，B和C是夫妻关系，则A和C就会形成一种新的关系，即公媳＝父子夫妻。推广到模糊概念域，模糊关系也存在关系的合成，其合成的方法是通过模糊关系矩阵来进行的。先来看一个简单的例子:

例2－8某家中子女与父母的长像相似关系R为模糊关系，可表示为

也可以用模糊矩阵R来表示

该家中父母与祖父母的相似关系也是模糊关系，可表示为

用模糊矩阵S可表示为

R父母子0.20.8女0.60.1S祖父祖母父0.50.7母0.10那么，在该家中孙子、孙女与祖父、祖母的相似程度应该如何呢？模糊关系的合成运算就是为了解决诸如此类问题而提出来的。现在先给出问题的结果再来明确其定义。针对此例，一个简单的模糊关系合成运算为

这一计算结果表明孙子与祖父、祖母的相似程度为0.2、0.2；而孙女与祖父、祖母的相似程度为0.5、0.6。

定义2－14模糊关系合成：如果R和S分别为笛卡尔空间上的模糊关系，并记为。其隶属度函数的计算方法。

上确界（Sup)算子

与模糊集合的运算定律相似，模糊关系合成算子sup-min存在如下特征

分配律

结合律：包含率:逆运算:注意，模糊关系合成运算不满足交换率，即。

第三节模糊逻辑、模糊逻辑推理和合成

模糊控制的核心是模糊控制规则库，而这些规则库实质上是一些不确定性推理规则的集合。要实现模糊控制的目的，必须研究不确定性推理的规律----模糊逻辑推理就是不确定性推理的主要方法之一。

17世纪，出现了逻辑学和数学相互渗透的学科----数理逻辑。由于用一套符号表示，也称为符号逻辑。在取值上只取真假二值，即非此即彼的“二值逻辑”。

一些事物（如：他很年轻）很难用真假来描述他们的状态和关系，因此发展了模糊逻辑----研究含有模糊概念或带有模糊陈述句的逻辑。

模糊逻辑是扎得以其在1972年到1974年的研究成果为基础建立起来的。他首先提出模糊限定词、语言变量、语言真值和近似推理等关键概念，制定了模糊推理的规则，为模糊逻辑奠定了基础。

由于人的思维除了一些单纯、易断的事情能迅速作出确定性判断和决策以外，多数情况下是及其错略的综合，与之相应的语句表达也是模糊的，他的逻辑判断也往往是定性的，因此模糊概念更适合人的观察、思维、理解、决策。现代控制系统的高度复杂化使得被控对象的精确数学模型往往难以确定或者从被控对象获得的信息极其模糊，导致传统控制方式无法满足系统动、静特性的要求，模糊逻辑就成了研究复杂大系统的有力工具。一、二值逻辑

在研究模糊逻辑之前，先对二值逻辑作一简要的回顾。

例如“天津工业大学位于天津市”

是一个句子，它的含义能够判断真假，就称为一个命题。命题分为简单命题和复杂命题（简单命题的联结）。

常用的命题联结词有：析取∨、合取∧、否认、蕴涵→、等价。它们的含义分别为：

析取∨是“或”的意思，如果用P、Q分别表示两个命题，则由析取联结词构成的复合命题表示为P∨Q。复合命题P∨Q的真值是由两个简单命题的真值来决定的，仅当P和Q都是假时，P∨Q才是假。

例P：他喜欢打篮球；Q：他喜欢跳舞。

则P∨Q：他喜欢打篮球或喜欢跳舞。

合取∧是“与”的意思，如果用P、Q分别表示两个命题，则由合取联结词构成的复合命题表示为P∧Q。复合命题P∧Q的真值是由两个简单命题的真值来决定的，仅当P和Q都是真时，P∧Q才是真。

例P：他喜欢打篮球；Q：他喜欢跳舞。

则P∧Q：他喜欢打篮球并且喜欢跳舞。

否定一是对原命题的否定。如果用P是真的，则是假的。

例P：他喜欢打篮球：则：他不喜欢打篮球。

④蕴涵→表示“如果…那么…”。由于命题P的成立，即可推出Q也成立，以P→Q来表示。

例P：甲是乙的父亲；

Q：乙是甲的儿女。

则P→Q：若甲是乙的父亲；那么乙必定是甲的儿女。

⑤等价表示两个命题的真假相同。是“当且仅当”的意思。

例P：A是等边三角形；

Q：A是等角三角形。

则PQ：A是等边三角形当且仅当A是等角三角形。二、模糊逻辑及其基本运算

模糊命题是普通命题的推广。概括起来，模糊逻辑是研究模糊命题的逻辑，而模糊命题是指含有模糊概念或者是带有模糊性的陈述句。模糊命题有真值不是绝对的“真”或“假”，而是反映其以多大程度隶属于“真”。因此，它不只是一个值，而是有多个值，甚至是连续量。普通命题的真值相当于普通集合中元素的特征函数，而模糊命题的真值就是隶属度函数，所以真值的运算也就是隶属度函数的运算。

记P、Q、R为三个模糊单命题，那么

1）模糊逻辑补：用来表示对某个命题的不定，＝1－

2）模糊逻辑合取：

3）模糊逻辑析取：

4）模糊逻辑蕴含：如这P是真的，则Q也是真的，

5）模糊逻辑等价：

6）模糊逻辑限界积：各元素分别相加，大于1的部分作为限界积。

7）模糊逻辑限界和：各元素分别相加，比1小的部分作为限界和。

8）模糊逻辑限界差：各元素分别相减部分作为限界差。

例2－9设有模糊命题

P：他是个和善的人，它的真值P＝0.7;

Q:他是个热情的人，它的真值Q＝0.8

则

：他既是和善的人又是热情的人的真值

：他是个和善的人或是个热情的人的真值

：如果他是个和善的人，则他是个热情的人的真值

。根据以上模糊逻辑的基本运算定义，可以得出以下模糊逻辑运算的基本定律

（1）幂等律：（2）交换率：

（3）结合律

（4）吸收律：

（5）分配分律：

（6）双否律：

（7）德•摩根律：

（8）常数运算法则：

注意，与二值逻辑不同之处是二值逻辑中的互补律：

。在模糊逻辑中互补律是不成立，模糊逻辑的互补运算满足

利用这些基本公式就可化简模糊逻辑函数，以便根据化简得到的结果来组成最简单的模糊逻辑控制电

三、模糊语言逻辑

人工语言：格式紧密，概念十分清晰，程序设计语言属人工语言。广义角度讲：一切具有模糊性的语言都称为模糊语言。模糊语言可以对自然语言的模糊性进行分析和处理。我们知道，人们在日常生活中交流信息用的大多是自然语言，而这种语言用充满了不确定性的描述来表达具有模糊性的现象和事物。模糊语言又具有灵活性，在不同的场合，某一模糊概念可以代表不同的含义。如”个子高“在中国指大约在1.75～1.85m之间的人归结于“高个子”模糊概念里，在欧洲，

可能把大约1.80～1.90m之间的人归结于“高个子”模糊概念里。模糊语言逻辑是由模糊语言构成的一种模拟人思维的逻辑。现引入几个重要概念。定义2－15模糊数：连续论域U中的一模糊数F是一个U上的正规凸模糊集。

以实数集合为全集合，一个具有连续隶属函数的正规的有界凸模糊集合就称为模糊数。它实质上是一个模糊子集。这里，所谓的正规集合的含义就是隶属度函数的最大值为1，用数学表达式表示就是：

正规集含：

凸集含：在隶属度函数曲线上任意两点之间曲线上的任一点所表示的隶属度值都大于或者等于两点隶属度值中较小的一个。用数学语言说，就是在实数集合的任意区间上，对于所有的都存在

，就称F是凸模糊集合。

通俗地讲，模糊数就是那些诸如“大约5”、“10左右”等具有模糊概念的数值。

定义2－16语言值：在语言系统中,那些与数值有直接联系的词，如长、短、多、少、高、低、重、轻、大、小等或者由它们再加上语言算子（如很、非常、较、偏等）而派生出来的词组，如不太大、非常高、偏重等都被称为语言值。语言值一般是模糊的，可以用模糊数来表示。如，成年男子身高的论域

E＝｛130，140，150，160，170，180，190，200，210｝＝

在论域E上定义语言值：因此，语言真值就是由〔0，1〕区间有模糊子集对所表现的命题真假程度的描述。

定义2-17语言变量：语言变量是用一个五元素的集合(X，T(X)，U，G，M)来表征的。其中X是语言变量名，如速度、年龄、颜色等；

T(X)为语言变量X的项集合，即语言变量名的集合，且每个值都是在U上定义的模糊数为语言变量x的论域；G为产生x数值名的语言值规则，用于产生语言变量值，即隶属度函数的建立规则；M为与每个语言变量含义相联系的算法规则，如合成规则。

语言变量的概念容易用图2-10来表示。“速度”为一语言变量，可以赋予很慢、慢、较慢、中等、较快、快、很快等语言值。这里用不同的语立言值表示模糊变量速度快慢程度的差别，但无法对它们的量作出精确的定义，因为语言值是模糊的，所以可以用模糊数来表示。

引入语言变量以后，可以对一些十分复杂或定义很不完善而又无法用精确术语进行描述的现象实现表征。

速度语言变量

语言值规则G

语言值集合

算法规则M

图2－10语言变量元素之间的关系示意图

为了对模糊的自然语言形式化和定量化，进一步区分和刻划模糊值的程度，常常还借用自然语言中的修饰词，诸如“较”、“很”、“非常”、“稍微”、“大约”、“有点”等来描述模糊值。为此引入语言算子的概念。语言算子通常又分为三类：语气算子、模糊化算子和判定化算子。

1.语气算子

语气算子用来表达语言中对某一个单词或词组的确定性程度。有两种相反的情况，一种是有强化作用的语气算子，如“很”、“非常”等。这种算子使得模糊值的隶属度函数的分布向中央集中，常称为集中化算子或强化算子，如图2－11所示

图2－11强化算子的作用示意图

图2－12淡化算子的作用示意图强化算子在图形上有使模糊值尖锐化的倾向。另一种是有淡化作用的语气算子，如“较”、“稍微”等。这种算子可以使得模糊值的隶属度函数的分布由中央向两边弥散，常称为松散化算子或淡化算子，如图2－12所示。淡化算子在图形上有使模糊值平坦化的倾向。

记为语气算子运算符，则它的集合可以定义为：

对于原语言值A经语气算子作用，形成一个新的语言值

。设原语言A的隶属度函数为，新的语言值的隶属度函数为，则

（2-32）

常用的语气算子定义为：“极”、“非常”、“很”

、“相当”、“比较”、“略”、、“稍”。当然，语气的强弱程度会因人而异。对于某一特定的语气词，其的取值并不会完全一样，但的取值的大小与语气的强弱程度应该是一致的。

例2-10我们以“年老”这个词为例，来说明语气算子的作用。

＞50

＞50

＞50现以强化算子“很”和淡化算子“有点”为例，比较“年老”、“很老”、“有点老”几个语言值的隶属度函数，如图2-13所示。

图2-13“有点”和“很”的比较

2、模糊化算子

模糊化算子用来使语言中某些具有清晰概念的单词或词组的词义模糊化，或者是将原来己经是模糊概念的词义更加模糊化。如“大概”、“近似于”、“大约”等。如果对数字进行作用就意味着把精确数转化为模糊数。例如数字“5”是一个精确数，而如果将模糊化算子“F”作用于“5”这个精确数就变成“F(5)”，这一模糊数。若模糊化算子“F”是“大约”、则“F(5)”就是“大约5”这样一个模糊数。以后，我们会发现在模糊控制中，实际系统的输入采样值一般总是精确量，要利用模糊逻辑推理方法，就必须首先把精确量进行模糊化，而模糊化过程实质上是使用模糊化算子来实现的,所以引入模糊化算子是非常重要的。

用数学语言来说，模糊化算子的集合可以表示为：设模糊化之前的集合为A，模糊化算子为F，则模糊化变换可表示为F(A)，并且它们的隶属度函数关系满足

如果A是清晰集，则就是特征函数。是表示模糊程度的一个相似变换函数，通常可取正态分布曲线，即

参数的取值大小取决于模糊化算子的强弱程度。

例2－11设论域X上的清晰集的特征函数为

且取c=5，则“大约是5”这一语言值的隶属度函数可以定义为

如图2－14所示。

图2－14模糊数53、判定化算子

判定化算子与模糊化算子的作用相反。它是将原来具有模糊词义的词进行肯定化处理，例如“倾向于”、“大半是”等。判定化算子的集合表示为：

设判定化之前的集合为A，它的隶属度函数为，判定化算子为P，则判定化变换可表示为这P（A），并且它们的隶属度函数关系满足

当取时，可用来表示“倾向于”。

四、模糊逻辑推理

以往我们接触到的常规的逻辑推理方法如演绎推理，归纳推理都是严格的。

除此这些确定性推理之外尚存在着一些不确定性推理，目前己知的主要不确定性推理方法可归结为四类：MYCIN法、主观悲叶斯方法、证据理论法和模糊逻辑推理法。我们在此只介绍模糊逻辑推理法，模糊逻辑推理是不确定性推理方法的一种，其基础是模糊逻辑，它是在二值逻辑三段论的基础上发展起来的。虽然它的数学基础没有形式逻辑那么严密，但用这种推理方法得到的结论与人类的思维推理结论是一致或相近的。并在实际使用中得到了验证，因此模糊逻辑推理方法己经受到了广泛的重视。模糊逻辑推理是以模糊判断为前提的，运用模糊语言规则，可推出一个新的模糊判断结论的方法，例

大前提：腿长则跑步快

小前提：小王腿很长

结论：小王跑步很快它属于近似于二值逻辑的三段论推理模式。这里“腿长”和“跑步快”都是模糊概念，而且小前提的模糊判断和大前提的前件不是严格相同的。因此这一推理的结论也不是从前提中严格地推出来的而是近似于逻辑地推出的结论。通称为假言推理或是似然推理。判断是否属于模糊逻辑推理的标准是看推理过程是否具有模糊性，具体表现为推理规则是不是模糊的。

从条件变量的多少、模糊规则多少的角度来划分，模糊规则推理方法又可以分为以下四种模糊推理规则。

四种规则都可选用不同的推理方法等。

1、近似推理

在控制系统中经常存在此类现象，“如果温度低，则控制电压就增大”这样一个前提下，要问“如果温度很低，则控制电压将是多少呢？很自然用人们的常识可以推知，“如果温度很低，则控制电压就很大”，这种推理方式就称为模糊近似推理。这种推理方式可以这样来表达。

前提1：如果x是A，则y是B

前提2：如果x是A′

结

论：y是B′

=A′。（A→B）

即结论B′

可用A′与由A到B的推理关系进行合成而得到,由于A到B模糊关系矩阵R为

利用R可以得到近似推理的隶属度函数为

根据不同的推理方法可以得到模糊关系矩阵元素

的不同计算方法，主要有

①扎德（Zadeh)推理法

或

那么其隶属度函数为

②玛达尼（Mamdani)推理法

那么其隶属度函数为

例2-12设论域X＝Y＝｛1,2,3,4,5｝X、Y上的模糊子集“大”、“小”、“较小”分别定义为：

“大”＝0.4/3+0.7/4+1/5

“小”＝1/1+0.7/2+0.3/3

“较小”＝1/1+0.6/2+0.4/3+0.2/4

己知：规则若x小，则y大

问题：当x＝较小时，y＝？

解己知

且

由扎德（Zadeh)推理法

x1=1,x2=2,x3=3,x4=4,x5=5y1=1,y2=2,y3=3,y4=4,y5=5u小(x1)=1;u小(x2)=0.7;u小(x3)=0.3;u小(x4)=0;u小(x5)=0;u大(y1)=0;u大(y2)=0;u大(y3)=0.4;u大(y4)=0.7;u大(y1)=1;r11=[u小(x1)Λu大(y1)]v[1-u小(x1)]=[1Λ0]v[1-1]=0r12=[u小(x1)Λu大(y2)]v[1-u小(x1)]=[1Λ0]v[1-1]=0r13=[u小(x1)Λu大(y3)]v[1-u小(x1)]=[1Λ0.4]v[1-1]=0.4r14=[u小(x1)Λu大(y4)]v[1-u小(x1)]=[1Λ0.7]v[1-1]=0.7r15=[u小(x1)Λu大(y5)]v[1-u小(x1)]=[1Λ1]v[1-1]=1同理:r21=0.3;r22=0.3;r23=0.4;r24=0.7;r25=0.7;r31=0.7;r32=0.7;r33=0.7;r34=0.7;r35=0.7;r41=1;r42=1;r43=1;r44=1;r45=1;r51=1;r52=1;r53=1;r54=1;r55=1;选择扎德推理法，因此，可得x较小时的推理结果从中可以看出，扎德推理的结果与人们的思维是一致的。同样，由玛达尼推理法也可得

从上例可以看出，在近似推理中，扎德推理比玛达尼推理法更符合人们的思维。2.模糊条件推理

语言规则是：如果x是A，则y是B，否则y是C。

其逻辑表达式为：。

要实现模糊推理的关键是找出模糊关系矩阵，根据逻辑表达式，其模糊关系R是X×Y的子集，可以表示为

有了这个模糊关系矩阵，就可根据模糊推理合成规则，将输入与该关系矩阵R进行合成得到模糊推理结论，即

例2-13对于一个系统，当输入A时，输出为B，否则为C，且有

己知当前输入。求输出D。解先求关系矩阵R

因为。

A=[1,0.4,0.1];B=[0.8,0.5,0.2];

1-A=[0,0.6,0.9];C=[0.5,0.6,0.7]

由玛达尼推理法得

输出

即。

3.多输入模糊推理

多输入模糊推理在多输入单输出系统的设计中经常遇到，如在速度设定值控制系统中，“速度误差较大且速度误差的变化量也较大，那么加大输入控制电压”这样一类规则就需要用多输入模糊推理方式来解决。这种规则的一般形式为

前提1：如果A且B，那么C

前提2：现在是且

结论：

因为

如果A且B，那么C的数学表达式是:，其模糊关系矩阵

若用玛达尼推理，则模糊关系矩阵的计算就变成

由此，推理结果为：

其隶属度函数为

是指模糊集合A与交集的高度。玛达尼推理削顶法的几何意义是分别求出对对的隶属度，并且取这两个之中小的一个作为总的模糊推理前件的隶属度，再以此为基准去切割推理后件的隶属度函数，便得到结论。推理过程如图2-15。

图2-15二输入玛达尼推理法过程如果各语言变量的论域是有限集时，即模糊子集的隶属度函数是离散的，则模糊逻辑推理过程可以用模糊关系矩阵的运算来描述。下面以一类模糊控制器为例来说明离