第八章材料力学组合变形

FF轴向拉压MM扭转平面弯曲FAB第八章组合变形及连接件的计算§8.1概述材料力学1中南大学土木建筑学院当几种变形的影响相近时再用简单模型计算，将会引起较大的误差。事实上，简单变形不过是简化模型，只有在一种变形特别突出，其余变形可以忽略不计的情况下才有可能发生。材料力学2中南大学土木建筑学院ABPFAxFAyFFyFx压+弯一、组合变形同时发生两种或两种以上的简单变形。材料力学3中南大学土木建筑学院弯曲+扭转材料力学4中南大学土木建筑学院拉+弯立柱内力轴力，弯矩材料力学5中南大学土木建筑学院偏心压缩材料力学6中南大学土木建筑学院拉伸+扭转材料力学7中南大学土木建筑学院弯+弯+扭

计算简图材料力学8中南大学土木建筑学院拉+弯+弯+扭材料力学9中南大学土木建筑学院组合变形的形式有无穷多种，本章学习四种典型形式。1、斜弯曲；2、弯扭组合；3、拉（压）弯组合；4、偏心拉压。应注意通过这四种典型组合变形的学习，学会计算一般组合变形强度的原理和方法。材料力学10中南大学土木建筑学院二、组合变形强度计算方法方法：叠加法前提条件：1、材料服从虎克定律；2、小变形。基本步骤：1、分解:目标——几种简单变形；2、分别计算:内力计算（画内力图——确定危险截面）应力计算——确定危险点3、叠加：危险点应力叠加；（注意应力作用面）4、强度计算：选择适当的强度理论。材料力学11中南大学土木建筑学院三、连接件铆钉、键、螺栓、销钉等起到连接作用的构件。

FFFFFFmmFFFF材料力学12中南大学土木建筑学院材料力学13中南大学土木建筑学院M键连接材料力学14中南大学土木建筑学院FFlammnnl材料力学15中南大学土木建筑学院榫齿连接材料力学16中南大学土木建筑学院一、概念外力：作用线不与形心主惯性轴重合；内力:弯矩矢不与形心主惯性轴重合（可分解成两个形心主惯性轴方向的分量）；变形：挠曲线不与载荷共面。§8.2相互垂直平面内的弯曲－斜弯曲F1F2F4F3F5材料力学17中南大学土木建筑学院平面弯曲qF1F斜弯曲材料力学18中南大学土木建筑学院二、斜弯曲的正应力强度条件例：分析图示斜弯曲的应力计算方法xyzF1F2F3F41、外力分解将梁上所有外力向梁的形心主惯性平面分解。材料力学19中南大学土木建筑学院xyz分解后得计算简图2、内力计算形心主惯性平面内的y向外力计算Mz，z向外力计算My，两向弯矩均按绝对值计算。xyzMzMy弯矩用矢量表示如图M为合成弯矩yzMzMyMjC且材料力学20中南大学土木建筑学院3、应力计算其中Mz横截面上的正应力由两部分叠加正应力是坐标的线性函数。叠加得yzMzMyMjCMy注意：式中的弯矩均取正值，y、z是代数值。若y、z为正时引起的应力为压应力，则式子前面加负号。材料力学21中南大学土木建筑学院yzMzMyMjC4、中性轴的位置正应力等于零的点的连线为中性轴。设中性轴上一点的坐标为（y0、z0）中性轴方程由以上方程可知y0、z0正负相反或为零。即中性轴过形心，且位于2、4象限内。M作用面中性轴a中性轴与y轴的夹角材料力学22中南大学土木建筑学院5、截面上的最大正应力离中性轴最远的点正应力最大。作与中性轴平行并与截面边界相切的两条直线，切点分别为最大拉应力点和最大压应力点。①矩形及矩形组合截面（有棱角）最大正应力在离形心最远的棱角上。yzMC常见截面形式yzMzMyMjCM作用面中性轴a材料力学23中南大学土木建筑学院D1D2危险点处于单向应力状态，因此

材料力学24中南大学土木建筑学院材料力学25中南大学土木建筑学院中性轴与弯矩作用面垂直，且弯矩作用面与截面的两个交点即为最大正应力点。最大拉应力作用点坐标：yz②圆形截面jMCM作用面j圆截面Iy=Iz=I且Mz=Msinj,

My=McosjMzMy中性轴与y轴的夹角中性轴材料力学26中南大学土木建筑学院圆截面梁矩形截面梁矩形截面梁如图。已知b=50mm,h=75mm，求梁内的最大正应力。如改为d=65mm的圆截面，最大正应力为多少？1.5kN1kN1m1mxyzbh材料力学27中南大学土木建筑学院解：作计算简图,将自由端截面B上的集中力沿两主轴分解为

在xoz主轴平面内的弯矩图(y轴为中性轴)

在xoy主轴平面内的弯矩图

(z轴为中性轴)20a号工字钢悬臂梁承受均布荷载q和集中力F=qa/2

作用。已知钢的许用弯曲正应力[s]=160MPa,a=1m。试求梁的许可荷载集度[q]。

yqzaa40°FOCBA0.642qa0.444qa0.321qa222ADCByM图(Nm)0.617aADCBMz图0.456qa0.383qa0.266qa222(Nm)FyzqaaABCDFzyxO材料力学28中南大学土木建筑学院危险截面：由弯矩图，可确定A、D两截面为危险截面

按叠加法，在xoz主轴平面内、xoy主轴平面内的弯曲正应力，在x方向叠加A、D截面在xoz、xoy平面的弯曲截面系数，可查表得截面A截面D材料力学29中南大学土木建筑学院

可见，梁的危险点在截面A的棱角处。危险点处是单轴应力状态，强度条件为

即解得

材料力学30中南大学土木建筑学院图所示简支梁由22a工字钢构成，许用应力[s

]=140MPa。求该梁的许用载荷[F]，图中长度l=1000mm。材料力学31中南大学土木建筑学院解：查附录可得

Wz=309cm3，Wy=40.9cm3对A截面，由强度条件有B截面，由强度条件有取梁的许用载荷[F]=6KN材料力学32中南大学土木建筑学院图所示由工字钢制造的檩条倾斜地安装在屋架上，檩条受有从屋面传来的铅直载荷作用。已知j=300，檩条跨度l=5m，均布载荷q=4KN/m，檩条的许用应力[s

]=160MPa。试选择工字钢的型号。解：图中所有外载荷虽在同一平面但并不位于梁的形心主惯性平面内，所以是斜弯曲。将均布载荷q向形心主惯性轴分解为qy=qcosj，qz=qsinj

在檩条跨中处弯矩最大，其值为材料力学33中南大学土木建筑学院檩条的强度条件为

由于工字钢的型号未知，所以Wz和Wy均是未知的，但对于工字钢，Wz∕Wy

之值通常在8～10之间。故解此题时，可暂设Wz∕Wy

=8。所以，将强度条件改写为由于所有外载荷在同一平面内，各截面的合成弯矩矢量M均与外载荷垂直，且与z轴的夹角亦为j，于是Mz=Mcosj

，My=Msinj

。其中M为合成弯矩，Mmax=ql2/8。材料力学34中南大学土木建筑学院由型钢表试选25a工字钢，查得25a工字钢的Wz=401.88cm3，Wy=48.283cm3，自重q1=0.37KN/m。考虑原载荷和自重共同引起的最大弯矩为，于是，强度条件为可见选25a工字钢不能满足强度条件，于是，再改选大一号的25b工字钢。由附录查得查得25b工字钢的Wz=422.72cm3，Wy=52.423cm3，自重q1=0.41KN/m。所以，强度条件为檩条可以选用型号为25b的工字钢。材料力学35中南大学土木建筑学院F§8.3弯曲与扭转－弯扭组合材料力学36中南大学土木建筑学院80ºF2zyxF1150200100ABCD150200100ABCDF1MxzxyF2zF2yMx一、外力向形心简化并分解材料力学37中南大学土木建筑学院二、内力计算每种外力分量对应的内力图T、

My、

Mz由My

、Mz

作合成弯矩M图T图My图Mz图合成弯矩M材料力学38中南大学土木建筑学院三、危险点应力分析x四、强度条件图示二向应力状态材料力学39中南大学土木建筑学院圆截面WP=2W

圆截面杆强度条件的简化st同理材料力学40中南大学土木建筑学院解得空心圆轴，内径d=24mm，外径D=30mm，B轮直径D1=400mm，D轮直径D2=600mm，F1=600N，[s]=100MPa，用第三强度理论校核此轴的强度。80ºF2zyxF1150200100ABCD解：①外力分析150200100ABCDF1MxzxyF2zF2yMx材料力学41中南大学土木建筑学院T(Nm)My(Nm)12068.6403.17.1ABCDMz(Nm)②内力计算合成弯矩M(Nm)68.740.6③应力分析安全材料力学42中南大学土木建筑学院直径d=78mm的传动轴AB由功率为45KW，转速n=710rpm的电机通过皮带轮C传动。C处皮带轮作用着水平方向的力，直径D1=400mm，自重W1=0.4KN。D处皮带轮作用着铅垂方向的力，直径D2=600mm，自重W2=0.9KN，用第四强度理论校核轴的强度。轴的许用应力[s]=80MPa。解：外力的分析和简化电机通过带轮C传给轴的扭矩为将作用在皮带轮上的外力向传动轴简化，得到作用于轴上的一对外力偶和水平与铅垂方向的力，见图所示。外力偶矩和力的大小分别为同样，对带轮D有材料力学43中南大学土木建筑学院FCz

=－3F1=－9.09kNFCy=W1=0.4kN，FDy=W2+3F2=6.96kN（2）作内力图（3）强度校核计算相当应力该轴满足强度条件。材料力学44中南大学土木建筑学院解：拉扭组合,危险点应力状态如图A直径d=0.1m的圆杆受力如图，Me=7kNm，F=50kN，[s]=100MPa,试按第三强度理论校核此杆的强度。FAFMeMe材料力学45中南大学土木建筑学院薄壁截面的切应力流与弯曲中心一、切应力流h弯曲切应力流C1、薄壁截面上的切应力平行于截面周边切线，形成切应力流。2、切应力沿壁厚方向视为均匀分布。材料力学46中南大学土木建筑学院非对称截面弯曲特点尽管外力作用在形心上，截面弯曲同时产生扭转二、弯曲中心材料力学47中南大学土木建筑学院弯曲中心：薄壁截面梁弯曲时，位于截面内的分布力系的合力作用点。xyzCFe材料力学48中南大学土木建筑学院向C点化简主矢FS主矩T=Fh+FSe′CFFFS主矢FS主矩T弯曲切应力流hCbd向A点化简主矢就是合力FS主矩T=Fh-FSe=0CFFFS合力FS弯曲中心：梁横截面上弯曲切应力合力作用点。弯曲中心作用：外力作用在弯曲中心上，杆件只弯不扭。非对称截面梁发生平面弯曲的条件：外力作用在与形心主惯性平面平行的平面内，且必须过弯曲中心。eA材料力学49中南大学土木建筑学院如何确定弯曲中心的位置腹板上的切应力翼缘上的切应力材料力学50中南大学土木建筑学院由积分可求得作用在翼缘上的合力F为CFFFS弯曲中心处，主矩T=Fh－FSe＝0设弯曲中心到腹板中线的距离为e，则弯曲中心位置与外力大小和材料的性质无关，是截面图形的几何性质之一合力FSeA材料力学51中南大学土木建筑学院根据切应力流确定弯曲中心位置图示截面梁有无弯曲中心？若有，在何处？AAA材料力学52中南大学土木建筑学院§8.4拉伸(压缩)与弯曲－拉弯组合一、概念外力：轴向与横向外力内力：轴力，弯矩，剪力（忽略）当构件承受轴向力作用的同时，还作用着位于形心主惯性平面内的横向力;这时便产生拉伸或压缩与平面弯曲的组合变形。Fjl材料力学53中南大学土木建筑学院FFeFeFe=+FF材料力学54中南大学土木建筑学院1、分解FNFcosj危险截面：A:FN=Fcosj，M=Flsinj危险点：A截面上缘，单向应力状态2、分别计算：作内力图;3、强度条件：MFlsinj二、强度计算FljABFcosjlAB＋=FsinjlAB材料力学55中南大学土木建筑学院

120kN

30kN

200

150

h图示立柱，欲使截面上的最大拉应力为零，求截面尺寸h及此时的最大压应力。解：（1）内力分析

（2）最大拉应力为零的条件

解得

h=240mm

材料力学56中南大学土木建筑学院解：两柱均为压应力MFNFdF300200200①F200200②图示力F=350kN，求出两柱内绝对值最大的正应力。材料力学57中南大学土木建筑学院解：由于截面m－n处有缺口，因而外力F对该截面形成偏心拉伸作用，如图b。设偏心距为e，其值为：由平衡方程可求得截面m-n的轴力FN和弯矩M分别为：FN=F=120kN，M=Fe=720N·m带有缺口的钢板如图所示，已知拉力F=120KN，板宽b=80mm，板厚d

=15mm，缺口深t=12mm，许用应力[s]=150MPa。不考虑应力集中的影响，试校核钢板的强度。材料力学58中南大学土木建筑学院m－n截面的上边缘将产生最大拉应力为：由此可见，钢板强度不足。

若在钢板上与再切一缺口并使两缺口对称，如图c所示。这时对截面m－n而言，只有轴向拉伸没有偏心载荷作用，于是最大拉应力为：避免偏心载荷是提高构件承载能力的一项有效措施。材料力学59中南大学土木建筑学院AxFFAy

作折杆的受力图,折杆及受力对称，只需分析一半即杆AC，将FA分解,得杆的轴力FN、弯矩M(x)ABCmmfgFBx10kN解：由平衡条件BFFA一折杆由两根无缝钢管焊接而成，已知两钢管的外径均为140mm，壁厚均为10mm。试求折杆危险截面上的最大拉应力和最大压应力。

ABCa1.6m1.6m1.2m10kN最大弯矩在C处的m-m横截面，m-m截面为危险截面材料力学60中南大学土木建筑学院

按叠加原理，最大拉应力st和最大压应力sc分别在杆下边缘的f点和上边缘的g点处，其值分别为根据已知的截面尺寸

ABCmmfgFBx10kNAxFFAy代入应力表达式得材料力学61中南大学土木建筑学院解：横梁处于压缩和平面弯曲的组合变形，梁跨中截面为危险截面，其轴力和弯矩值分别为FN=－Fcos300=－26kN对工字钢，在梁中间截面的上边缘的绝对值最大，并且为单向应力状态。所以强度条件为悬臂式吊车架由工字型横梁BC和拉杆DC组成，最大起重量F=30kN，跨度l=3.6m。已知工字钢的许用应力[s]=100MPa，试从强度方面选择横梁工字钢的型号。材料力学62中南大学土木建筑学院

由于梁是主要承受弯曲的构件，所以先不考虑轴力FN的影响，只根据弯曲强度初选工字钢型号，然后再按拉压与弯曲组合的强度条件进行强度校核。由弯曲正应力强度条件得查附录型钢表，选取22a工字钢，W=309cm3，A=42cm2。将以上数据代入拉压与弯曲组合的强度条件得所以，选取22a工字钢满足强度条件。材料力学63中南大学土木建筑学院一般情况荷载F——设为正；作用点：（yF,zF）设为正荷载平行于轴线但不位于形心主惯性平面内。1、应力计算三偏心压缩xyzFC（yF,zF）xyzFCMyMzFN

=F,My

=FzF,Mz=FyF①截面内力内力正负号：FN、

My、Mz

均设为正，引起某点的应力为压应力时前面加负号。材料力学64中南大学土木建筑学院A点应力②分别计算xyzFCMyMzA(x,y)yzFCA(x,y)+xyzCMzA(x,y)+xyzCMyA(x,y)材料力学65中南大学土木建筑学院A作变换得③叠加单向应力状态材料力学66中南大学土木建筑学院中性轴方程④中性轴（1）不过形心直线；中性轴的特性：偏心点（yF,zF）yzC中性轴ayaz截距（2）中性轴与偏心荷载作用点位于形心两侧；（3）中性轴位置与荷载大小无关；（4）荷载靠近形心时，中性轴远离形心。材料力学67中南大学土木建筑学院（yF,zF）yzC中性轴ayazD1(y1

,z1)：最大压应力D2(y2

,z2)：最大拉应力危险点scmaxstmaxD1(y1,z1)D2(y2,z2)

⑤强度材料力学68中南大学土木建筑学院截面形心附近的一个区域，荷载作用在此区域内时，中性轴移出截面之外，截面内正应力同号，这个区域称为截面核心。2、截面核心z（yF,zF）y中性轴ayazCzz·（yF,zF）（yF,zF）y中性轴C材料力学69中南大学土木建筑学院当压力F作用在截面核心内时，整个截面上只产生压应力。研究意义①工程中的混凝土柱或砖柱，其抗拉性很差，要求构件横截面上不出现拉应力；②地基受偏心压缩，不允许其上建筑物某处脱离地基。

zz·（yF,zF）（yF,zF）y中性轴C材料力学70中南大学土木建筑学院确定截面核心步骤①作截面的形心主惯性轴；②作截面外凸点的直线代替内凹轮廓线；③确定边界上切线的截距ay、az；④由公式确定偏心压力作用点的位置；⑤连接偏心压力作用点得到的封闭曲线就是截面核心。材料力学71中南大学土木建筑学院切线①作为中性轴，其对应的偏心压力作用点为1点（yF1，zF1

）。切线③作为中性轴，其对应的偏心压力作用点为3点（yF3，zF3

）。中性轴①从绕B点转到③的过程中的任一位置②，其对应的偏心压力作用点（yF2，zF2）的位置必在1与3点的直线上。材料力学72中南大学土木建筑学院矩形截面的截面核心bhyz材料力学73中南大学土木建筑学院圆形截面的截面核心ryzAa材料力学74中南大学土木建筑学院一、连接件的失效形式1、剪断剪切面螺栓在两侧与钢板接触面的压力F作用下，将沿剪切面被剪断。§8.5连接件的实用计算材料力学75中南大学土木建筑学院材料力学76中南大学土木建筑学院FFFF2、挤压3、拉断螺栓与钢板在相互接触面上因挤压而使连接松动；钢板在受螺栓孔削弱的截面处被拉断。材料力学77中南大学土木建筑学院1、假定破坏面上应力均匀分布;2、模拟实验结果按假定的应力分布确定许用应力。假定计算二、实用强度计算原理FF压溃(塑性变形)FF挤压面剪切面挤压面材料力学78中南大学土木建筑学院3、内力剪力FS

（可用平衡条件求出）2、变形特点

剪切面两侧相对错动。上刀刃下刀刃nnFFFFS剪切面三、剪切强度实用计算1、受力特点外力等值、反向、作用线相距很近；材料力学79中南大学土木建筑学院4、强度条件一个剪切面FS材料力学80中南大学土木建筑学院双剪二个剪切面QQFSFS材料力学81中南大学土木建筑学院两个剪切面FFFF一个剪切面一个剪切面材料力学82中南大学土木建筑学院材料力学83中南大学土木建筑学院强度条件FSFSFS材料力学84中南大学土木建筑学院名义切应力式中

FS

——剪力;

t——切应力，方向同FS;

A——剪切面面积;[t

]=

tb——剪断时剪切面上平均切应力;

nb——安全因数;材料力学85中南大学土木建筑学院解：取构件B和安全销为研究对象，其受力为

由平衡条件

剪力为剪切面积为图示的销钉连接中，构件A通过安全销C将力偶矩传递到构件B。已知荷载F=2kN，加力臂长l=1.2m，构件B的直径D=65mm，销钉的极限切应力u=200MPa。试求安全销所需的直径d。FFdDACBlODOFSSFeM材料力学86中南大学土木建筑学院

当安全销横截面上的切应力达到其极限值时，销钉被剪断，即剪断条件为解得可取d=15mm材料力学87中南大学土木建筑学院

在螺栓连接中，在螺栓与钢板相互接触的侧面上，将发生彼此间的局部承压现象，称为挤压。在接触面上的压力，称为挤压力Fbs挤压力过大，可能引起螺栓压扁或钢板在孔缘压皱，从而导致连接松动而失效

实际接触面直径投影面

分析受力、确定挤压面:实际的挤压面是半个圆柱面，而在实用计算中用其直径平面Abs来代替。bs四、挤压的实用计算bs—bearingstressFF材料力学88中南大学土木建筑学院1、计算挤压面计算挤压面为实际挤压面在垂直于挤压力平面上的投影。Abs=dd实际挤压面计算材料力学89中南大学土木建筑学院2、挤压强度条件材料力学90中南大学土木建筑学院在连接件中通常同时出现挤压应力和切应力但二者有明显区别AB剪力FS挤压力FbsA向剪力作用面积B向挤压力计算面积Abs挤压应力计算面积——实际挤压面在垂直挤压力

方向上的投影。

材料力学91中南大学土木建筑学院A向剪力作用面积AB剪力FS挤压力FbsB向挤压力计算面积Abs注意：实际挤压面是半圆柱切应力—

①计算面积是剪力的真实作用区。

②名义切应力是真实的平均切应力。挤压应力—

①计算面积不一定是挤压力真实作用区。

②名义挤压应力不一定是平均挤压应力。

材料力学92中南大学土木建筑学院试件冲头FSFFddt冲床Fmax=400kN，冲头[s]=400MPa，钢板的tb=360MPa。求：冲头最小直径d和钢板最大厚度t。解:1、按冲头压缩强度2、按钢板剪切强度材料力学93中南大学土木建筑学院外载集度p=2MPa,角钢厚t=12mm,长L=150mm,宽b=60mm，螺栓直径d=15mm。求螺栓切应力和螺栓与角钢间的挤压应力。（忽略角钢与工字钢之间的摩擦力）解：(1)角钢承受的总载荷F=pbL（2）每个螺栓的剪力（3）螺栓所受的切应力（4）单个螺栓与角钢间的挤压力（5）螺栓与角钢间的挤压应力材料力学94中南大学土木建筑学院解：键的受力分析如图齿轮与轴由平键(b=16mm，h=10mm)连接，它传递的扭矩M=1600Nm，键的许用切应力为[]=80MPa，许用挤压应力为[bs]=240MPa，轴的直径d=50mm。试设计键的长度。MMdFbhL对于圆头平键，其圆头部分略去不计。材料力学95中南大学土木建筑学院综上切应力和挤压应力的强度条件MdFbhL材料力学96中南大学土木建筑学院如图螺钉，已知：[t]=0.6[s]，求其d:h的合理比值。解hFd

当s，t