第七章分子动理论

第三篇热物理学

研究对象：热现象及其规律。1、宏观理论：以热力学实验定律为基础的热力学理论。2、微观理论：用统计方法，从微观量入手，研究系统热运动规律的理论。微观量和宏观量描写微观粒子特征的量。如分子质量，速度，能量等。描写宏观物质整体特征的量。如温度，体积，内能等。研究方法:导言热力学统计物理学第八章气体动理论气体动理论研究对象为气体，属于统计物理学范畴。主要内容：气体的微观图象、气体的宏观描述、理想气体模型、热运动统计规律。重点：建立宏观量T、P与微观量之间的关系。§8-1气体动理论的基本概念一、统计规律的基本概念：2、研究方法：用统计平均的方法从微观量求宏观量。1、统计规律性：大量偶然事件的总体所具有的规律性。例：考试成绩：90分，5人；80分，10人；70分，20人；

60分，10人；50分，5人。求平均分。§8-1气体动理论的基本概念-13、涨落：宏观量的实际测量值与统计平均值的偏差称涨落现象。涨落现象是统计规律的一种基本特征。——

归一化条件系统处于一切可能状态的概率总和等于1。§8-1气体动理论的基本概念-2二、物质的微观结构模型：1、分子、原子观点:§8-1气体动理论的基本概念-3宏观物体由大量粒子（分子、原子)组成。2、分子运动的观点：组成物质的分子在永不停息地作无规则的热运动。3、分子力观点：分子间有相互作用力。此力为短程力,引力、斥力视距离而定。平衡位置三、理想气体的微观结构模型与统计假设1)分子可视为质点，运动遵循牛顿运动定律。

2)分子间、分子与器壁间的碰撞是完全弹性的。

3)除碰撞瞬间，分子间无相互作用。1)平衡状态下分子均匀分布(分子数密度均匀)。2)分子沿各方向运动的概率相同。四、状态参量、平衡态与非平衡态1、状态参量：表示系统有关特性的物理量（宏观量）（P,T,V,E

等)。§8-1气体动理论的基本概念-41、理想气体的微观结构模型2、统计假设））和立方米（），开（的单位分别为帕（，，中：3mkPVTPSIa2、平衡态：孤立系统中状态参量处处相等且不随时间变化的状态。1）是理想的。2）是热动平衡。3）平衡态可用一组状态参量表示，在P-V图上用一点表示。3、平衡过程：若从一个平衡态到另一个平衡态的过程中所有状态都无限接近平衡态，则此过程为平衡过程或称准静态过程。可以用P—V图上的一条线来表示一个准静态过程。过程进行的方向应标明。§8-1气体动理论的基本概念-5§8-2理想气体的压强公式和温度公式一、理想气体的压强公式:1、微观实质：大量分子不断对器壁碰撞，单位器壁面积上所受到的平均冲力。2、公式推导：1)考虑第i个分子碰撞Ai

面一次给器壁的冲量为2mvix2)该分子单位时间内碰撞次数：3)该分子施予A1

的作用力:§8-2理想气体的压强公式和温度公式-1若考虑分子间有碰撞，仍为此结果。(i、j交换，分子全同，不可分辨)。4)N个分子给A1

的作用力：5)压强：又因为：§8-2理想气体的压强公式和温度公式-2在平衡态下，有：故：—

气体分子的平均平动动能讨论：2)P是大量分子碰撞器壁的结果，对单个分子或少数分子，无压强可言。

揭示了压强的微观本质。§8-2理想气体的压强公式和温度公式-33）推导过程中1）—4）利用了气体的微观模型；

5）利用了统计假设（平衡态下）。二、理想气体的状态方程：1mol,

NA=6.023×1023/mol

─阿佛加德罗常数描述理想气体在任一平衡态下各宏观状态量之间的关系。§8-2理想气体的压强公式和温度公式-4玻尔兹曼常量三、理想气体的温度公式：知则§8-2理想气体的压强公式和温度公式-51）把宏观量T和微观量的统计平均值联系起来。2）温度的微观本质是分子平均平动动能的量度；是表示气体内分子无规则热运动激烈程度的物理量。3）温度是大量分子热运动的集体表现，因而温度对个别分子毫无意义。讨论：由状态方程和压强公式：四、理想气体分子的方均根速率：故有§8-2理想气体的压强公式和温度公式-6是大量分子的速率平方平均值的平方根，称为方均根速率。解：§8-2理想气体的压强公式和温度公式-7[例1]一容器内有氢分子，问在标准状况下单位体积内的分子数是多少？分子方均根速率多大？若为氧气，方均根速率多大？由P=nkT

得：n=p/kT=2.69×1025/m3[例2]试求氮气分子的平均平动动能和方均根速率?

设:1)在温度t=1000℃时;2)在温度t=0℃时;2)同理在温度t=0

℃时解:1)在温度t=1000℃时§8-2理想气体的压强公式和温度公式-8§8-3能量按自由度均分原理理想气体的内能一、自由度：(degreeoffreedom)1、定义：确定一物体空间的位置所需要的独立坐标的数目。用i表示.自由运动刚体的自由度：质心：3（x,y,z)t=3绕轴转动：1（θ）r

=3§8-3能量按自由度均分原理-1质点的自由度：空间：3个独立坐标平面：2直线：1pzxy转轴：2(α,β,γ)二、能量按自由度均分原理:2.气体分子运动自由度：单原子分子：多原子分子：刚性:i=6双原子分子：3个平动自由度,2个转动自由度,1个振动自由度,i=t+r+s=6

刚性双原子分子,i=t+r=5§8-3能量按自由度均分原理-23个平动自由度,i=31)对i个自由度的分子每个分子的平均总动能应为：(2)分子可看成谐振子，平均振动的动能和势能相等平均总能量：转平振在温度为T的平衡态下,物质分子的任何一个能量自由度上均分配有kT/2的平均动能。§8-3能量按自由度均分原理-3推广：能量按自由度均分原理：平动:分子在每个平动自由度上的平均动能相等,都等于kT/2讨论：说明：1)室温下只有平动和转动，高温下才有振动。

一般不说明，都按刚性分子处理，即无振动。2)能量按自由度均分原理是统计规律，对单个分子无意义。3)该原理也适用于液体和固体。三、理想气体内能E

：1、一般热力学系统的内能：系统内部各种能量总和。§8-3能量按自由度均分原理-42、理想气体内能：若无化学反应、无核反应，系统内能指所有分子动能和分子间势能与分子内原子间势能的总和；理想气体(刚性分子)的内能,是系统内全部分子的平动动能和转动动能之和。每个分子的平均动能：§8-3能量按自由度均分原理-51mol理想气体的内能：νmol理想气体的内能：1mol理想气体的内能i=6i=5i=3自由度刚性多原子刚性双原子单原子当温度发生微小变化时，内能的变化为：当温度由T变到T+△T，则2)T是状态量，与过程无关，因而内能也是状态量与过程无关。一个过程中理想气体内能的变化仅与初末态温度变化有关，与过程无关。说明：§8-3能量按自由度均分原理-61)一定量的理想气体，内能只是温度的单值函数,

E∝T.3）公式变化：[例1]1mol氦气与2mol氧气在室温下混合，试求当温度由27℃升为30℃时，该系统的内能增量。解：由对氦气i=3,对氧气i=5

则内能为：内能的增量为：§8-3能量按自由度均分原理-7[例2]储有1mol氧气、体积为1m3

的容器以10m/s

的速度运动，该容器突然停止运动，80%

的定向运动动能转化为气体的内能，问气体温度及压强的增量是多少？解：§8-3能量按自由度均分原理-8作业：8-38-58-8复习2、理想气体的温度和平均平动动能的关系：3、能量均分原理：每一个自由度的平均动能为：一个分子的总平均动能为：mol理想气体的内能：1、理想气体的压强：§8-3能量按自由度均分原理-9§8-4麦克斯韦分布律一、麦克斯韦速率分布律:单个分子速率取值是任意偶然的。温度T一定时,大量分子的方均根速率是确定的。说明：平衡态时，虽然单个分子的速率偶然，但大量分子的速率满足一定的统计规律。§8-4麦克斯韦分布律-11、速率分布的概念：

分子可能的速率值:

速率区间:使:Ni/N表示第i个速率间隔中的分子数占总分子数的百分比或表示单个分子速率值落在区间内的概率。两种说法是等价的。0vf(v)2、速率分布函数：§8-4麦克斯韦分布律-3由实验知:Ni/N与速率区间有关。

当v0时,Ni/(Nv)与v无关,仅是v

的连续函数,即速率分布函数物理意义：

速率在v附近单位速率间隔内的分子数占总分子数的百分比,或某分子速率出现在v附近的单位速率间隔内的概率。3、麦克斯韦速率分布函数速率分布函数定义式

在平衡态下，当气体分子间的相互作用可以忽略时，分布在任一速率区间v~v+dv

的分子数占总分子数的比率为：速率分布函数定义式讨论：为速率分布曲线，为曲线上任一点的值。§8-4

麦克斯韦分布律-5

表示速率在v附近，单位速率区间的分子数占总分子数的比率。1)面积=2）表示在速率间隔v-v+dv

内分子数占总分子数的百分比；或对任一分子，速率处在v-v+dv

速率间隔的几率。速率分布曲线下窄条面积。表示在v1

—v2

速率间隔内的分子数占总分子数的百分比。v1—v2

内曲线下面积。§8-4

麦克斯韦分布律-6vv+dv0vf(v)3）总面积：§8-4

麦克斯韦分布律-7归一化条件：4）三种速率：①最概然速率(最可几速率)vp：②平均速率：与分子速率分布曲线的极大值对应的速率大量气体分子的速率的平均值。（与前面一致）§8-4

麦克斯韦分布律-8③方均根速率三种速率的比较：f(v)0v

当T升高时,速率分布曲线的峰值点向右下移,分布变平坦.5）f(v)与T，m

的关系f(v)f(vp3)vvp3f(vp1)f(vp2)T1T3T2温度越高,速率大的分子数越多vp2vp1AT1<T2<T3§8-4

麦克斯韦分布律-10§8-4

麦克斯韦分布律-11f(v)f(vp3)vvp3f(vp1)f(vp2)m1m3m2粒子质量越大,速率大的分子数越少。vp2vp1Am1>m2>m3

当m增大时,速率分布曲线的峰值点向左上移,分布变陡峭.§8-5玻尔兹曼分布律麦氏速度分布律为相应于分子不受外力场的影响，只考虑分子在速度空间体积元dvxdvydvz

中的分布情况。对于更一般的情形，如在外力场中的气体分子的分布将如何呢？其指数仅包含分子运动动能：一、玻尔兹曼分布律：§8-5玻尔兹曼分布律-1玻尔兹曼的推广：

在外力场作用下，分子按速度的分布受力场的影响，按空间位置的分布是不均匀的，依赖于分子所在力场的性质。用代替。用x、y、z、vx、vy、vz

为轴构成的六维空间中的体积元dxdydzdvxdvydvz

代替速度空间的体积元dvxdvydvz

。§8-5玻尔兹曼分布律-2玻尔兹曼分布律（玻尔兹曼分子按能量分布定律）：

当系统在力场中处于稳定态时，其中坐标介于区间x~x+dx、y~y+dy、z~z+dz内，同时速度介于vx~vx+dvx，vy~vy+dvy，vz~vz+dvz内的分子数为：讨论：3、如不限制速度，则：1、dN为理想气体在外场作用下,体元dV内速度介于内的分子数。§8-5玻尔兹曼分布律-3为在处，单位体积内具有各种速度的分子总数。由归一化条件积分等于1二、重力场中大气密度与压强按高度的分布Z=0

处，Ep=0,分子势能为Ep=mgz

；则§8-5玻尔兹曼分布律-4它表示保守力场中势能为EP的空间位置附近单位体积内的分子数。3）等温高度公式：（高度计原理）§8-5玻尔兹曼分布律-52）等温气压公式：等温气压公式（近似成立）表明:气压随高度的增加按指数衰减.

n—单位体积内的分子数（大气分子数密度）。讨论：1）分子数密度n随高度的增加按指数衰减.§8-6分子的平均碰撞频率与平均自由程分子的碰撞实质二、分子的平均碰撞频率：一个分子单位时间内与其它分子碰撞的平均次数。一、分子的碰撞：§8-6分子的平均碰撞频率与平均自由程-1平均碰撞频率：采用理想模型:假定每个分子都是直径为d的弹性球，特定分子A以平均相对速率运动；其它分子不动，分子A与其它分子发生完全弹性碰撞，其球心的轨迹是一条折线。分子的有效直径d(10-10m量级)§8-6分子的平均碰撞频率与平均自由程-2圆柱体的横截面面积

就叫碰撞截面：=d2

单位时间内分子A

走的距离,相应的圆柱体体积为。则体积内的分子数，即一秒内分子发生碰撞的次数应为：麦克斯韦考虑到其它分子在运动,且速率不同，上式需要修正.sduddA二、分子的平均自由程：平均自由程：分子连续两次碰撞之间自由运动路程的平均值。将代入得：故：§8-6分子的平均碰撞频率与平均自由程-3[例1]求在标准状况下，氢分子的平均碰撞频率与平均自由程，氢分子的有效直径为2×10-10m。解：分子的平均速率为：§8-6分子的平均碰撞频率与平均自由程-3作业：8-128-138-148-198-21

用总分子数N、气体分子速率v和速率分布