第三章测试系统的基本特性

一般说来，测试系统由被测对象、传感器、中间变换装置和显示记录装置四部分组成。

传感器将被测物理量(如噪声,温度)检出并转换为电量，中间变换装置对接收到的电信号用硬件电路进行分析处理或经A/D变换后用软件进行信号分析，显示记录装置则是将测量结果显示出来，提供给观察者或其它自动控制装置。

第2章测试系统的基本特性2.1测试系统及其主要性质系统能否实现准确测量，这就取决于测量系统的基本特性，而研究系统的基本特性可简化为研究输入量x(t)和输出y(t)之间的关系。h(t)H(s)系统输入输出x(t)X(s)Y(s)y(t)1、静态特性：静态测量（不随时间变化的物理量的测量）时输入和输出之间的关系。2、动态特性：动态测量（随时间变化的物理量的测量）时输入和输出之间的关系。注意：一般在工程中使用的测试装置都是线性定常系统

线性定常系统及其主要性质线性时不变（定常）系统

其中，ai(i=0,1,…,n)、bj(j=0,1,…,m)为常数且nm。系统输入x(t)和输出y(t)间的关系可以用常系数线性微分方程来描述：

线性系统的主要性质

叠加性：若x1(t)y1(t)，x2(t)y2(t)，则：

[x1(t)x2(t)][y1(t)y2(t)]

齐次性：若x(t)y(t)，为常数，则：

x(t)

y(t)

微分特性：若x(t)y(t)，则：

dx(t)/dtdy(t)/dt

即：系统对各输入之和的输出等于各单个输入的输出之和即：常数倍输入所得的输出等于原输入所得输出的常数倍即：系统对原输入信号的微分所对应的输出等于原输出信号的微分

积分特性：

频率保持特性：若系统的输入为某一频率的谐波信号，则系统的稳态输出必是，而且只能是同一频率的谐波信号，即：

若，则设

为已知频率，则根据线性系统的比例特性和微分特性，有当初始条件为零时，系统对原输入信号积分的响应等于原输出信号的积分,即：由线性系统的叠加原理

设输入信号

为单一频率

的谐波信号，即则有

相应的输出也应为

举例：如果系统输入是简谐信号，而输出却包含其它频率成分，根据频率保持特性，则可以断定这些成分是由外界干扰、系统内部噪声等其他因素所引起。因此采用相应的滤波技术就可以把有用信息提取出来。于是输出y(t)的唯一的可能解只能是线性系统的这些主要特性，特别是符合叠加原理和频率保持性，在测量工作中具有重要作用。

测试装置的若干术语

静态测量：测量期间，被测量可认为恒定不变的测量，也即测量期间被测量不随时间变化的测量。动态测量：测量期间被测量随时间变化，主要是确定被测量瞬时值及其随时间变化的过程。

量程和测量范围量程：测量装置示值范围的上下限之差。测量范围：测量装置的误差处于允许极限之内所能测量的被测量的范围。动态测量时，通常标明在允许误差极限内所能测量的频率范围。

测量误差(测量结果-真值)约定真值：一般被测量真值未知。只有按规定在特定条件下保存在国际计量局的基准，可认为是某量的真值。在实际测量中，通常利用被测量的实际值、已修正过的算术平均值、计量标准器所测得的量值作为约定真值。实际值：指满足规定准确度的可用来代替真值使用的量值，如在计量检测中，通常把高一等级计量标准器所测得的量值称为实际值。绝对误差：测量某量所得值与其真值（约定真值）之差。相对误差：绝对误差与约定真值之比。用百分数表示。相对误差越小，测量精度越高。示值误差：测试装置的示值和被测量的真值之间的误差。若不引起混淆，可简称为测试装置的误差。引用误差：装置示值绝对误差与装置量程之比。

例如，测量上限为100克的电子秤，秤重

60克的标准重量时，其示值为60.2克，

则该测量点的引用误差为：（60.2-60）÷100=0.2%

误差的分类系统误差：服从某一确定规律（定值、线性、多项式、周期性等函数规律）的误差。包括原理误差、设备误差、环境误差等。

随机误差：由大量偶然因素引起的测量误差。可以通过在相同条件下，对同一被测量在同一行程方向上连续进行多次测量所得值的分散性来表述。通常也称为重复性误差。多次测量取平均值的随机误差比单个测量值的随机误差小，这种性质通常称为抵偿性。抵偿性只发生在本次实验过程中产生的许多随机误差中。

测量的精密度、准确度及精确度

精度：测得值与真值的接近程度。通常

用误差值来表征。这里的误差是系统误

差与随机误差综合后的总误差。

精度又可进一步划分成精密度、准确度

和精确度。

精密度：表示在多次重复测量中所测数

据的重复性或分散程度，即表示测量结

果中随机误差大小的程度。随机误差小、

重复测量的结果就密集，重复性好，即

精密度高或重复精度高。

准确度：表示测量结果与被测量真值之

间的偏离程度，或表示测量结果中的系

统误差大小的程度。系统误差小，准确

度高。

精确度：测量结果的精密度与准确度的

综合反映。或者说，测量结果中系统误

差与随机误差的综合，表示测量结果与

真值的一致程度。

精密度高，准确度不一定高，反之，准确

度高，精密度也不一定高。如果精密度和

准确度都高，则测量的精确度一定高。通常所说的精度，实际上是精确度的概念，

而常用的“重复精度”是精密度的概念

a）精密度

b）准确度

c）精确度

........................................精度等级：是用来表达该装置在符合一定的计量要求情况下，其误差允许的极限范围。

工程上常采用引用误差作为判断精度等级的尺度。以允许引用误差值作为精度级别的代号。例如，0.2级电压表表示该电压表允许的示值误差不超过电压表量程的0.2%。

注意：精度等级标志代表允许误差的大小，并不是实际测量中出现的误差。

信噪比

信号功率与干扰（噪声）功率之比。记为

SNR，单位为分贝(dB)，即：或其中，Ns：信号功率

Nn：噪声功率

Vs：信号电压

Vn：噪声电压

动态范围

装置不受噪声影响所能获得的不失真输出的测

量上限值ymax与下限值ymin之比。用DR表示。

测试装置的特性

静态特性：静态测量时输入和输出的关系。

动态特性：动态测量时输入和输出的关系。

如响应速度等。动态测量必须同时考虑静、动态特性。静态测量可以不考虑动态特性。2.2测试装置的静态特性

静态方程与标定曲线

静态方程测试装置处于静态测量时，输入量x和输出量

y不随时间而变化，它们的各阶微分等于0。对线性定常系统其微分方程变为：该方程便称为装置的静态（传递）特性方程，简称静态方程。实际测量装置并非理想的线性定常系统，在静态测量中，上式实际变为：

标定曲线表示静态（或动态）方程的图形称为测试装置的定度曲线（特性曲线、校准曲线、标定曲线）。习惯上，标定曲线是以输入x作为自变量，对应输出y作为因变量，在直角坐标系中绘出的图形。

静态特性就是在静态测量情况下描述实际测试装置与理想定常线性系统的接近程度。y=sxxyy=s1x+s2x2+s4x4+

xyy=s1x+s3x3+s5x5+

y=s1x+s2x2+s3x3+s4x4+

xyxy

测试装置的主要静特性参数

线性度：通常标定曲线并非直线。工程上，

用一条能反映标定数据的一般趋势而误差绝对

值为最小的拟合直线作为参考理想直线。线

性度即是标定曲线接近拟合直线的程度，用

线性误差表示，即用装置标称输出范围（全

量程）A内，标定曲线与拟合直线的最大偏

差

B表示。或表示成相对误差形式：拟合直线的确定方法：

端基直线：通过测量范围上下限点的直线

独立直线：拟合直线与标定曲线间偏差Bi

的平方和最小。0BAx测量范围端基直线标定曲线0BAx测量范围独立直线标定曲线

灵敏度、鉴别力阈、分辨力用来描述测量装置对被测量变化的反应能力。灵敏度：输出量的变化y与引起该变化的输入量的变化x之比。即：实际总是用标定曲线的拟合直线的斜率作为该装置的灵敏度。理想情况下：灵敏度的量纲取决于输入、输出的量纲，当输入输出量纲相同时，灵敏度就是该测量系统的放大倍数。

鉴别力阈：引起测量装置输出值产生一个可

察觉变化的最小被测量变化值，也称为灵敏

阈或灵敏限。用来描述装置对输入微小变化

的响应能力。分辨力：测试装置有效地辨别紧密相邻量值的能力。

回程误差（滞后、迟滞、滞差、变差）输入量由小到大与由大到小变化时，测试装置对同一输入量所得输出量不一致的程度。回程误差用全量程范围内，同一输入量下所得输出的最大差值hmax与量程A之比的百分数表示。0Axyy20y0y10漂移：测量装置的测量特性随时间的缓慢变化。在规定条件下，对一恒定输入在规定时间内的输出变化，称为点漂。标称范围最低值处的点漂，称为零点漂移，简称零漂。稳定度和漂移通常表示为在相应条件下的示值变化。如=1.3mV/8h表示每8小时电压波动1.3mV。

稳定度和漂移

稳定度：是指测量装置在规定条件下保持其测量特性恒定不变的能力。稳定度通常指时间稳定度。信噪比

信号功率与干扰（噪声）功率之比。记为

SNR，单位为分贝(dB)，即：或重复性

在测试条件不变的情况下，测试系统按同一方向作全量程多次（3次以上）测量时，对同一个输入量，其测量结果的不一致程度。记为：第三节测试装置的动态特性1.动态特性的时域描述——微分方程线性时不变系统的常系数线性微分方程如下：两个重要特性：叠加性和频率保持性当系统初始条件全为零时，对（3-1）进行拉氏变换可得系统传递函数为：2.动态特性的复频域描述——传递函数

传递函数的定义

零初始条件下，定常线性系统输出量的拉氏

变换与引起该输出的输入量的拉氏变换之比。

考虑定常线性系统（nm）传递函数的特点

H(s)与输入x(t)及系统的初始状态无关，它表征了系统内在的固有动态特性。如果x(t)给定，则系统输出的特性完全由H(s)决定。

H(s)只反映系统传输特性，而和系统具体物理结构无关。即同一形式的传递函数可表征具有相同传输特性的不同物理系统。

传递函数的量纲取决于系统的输入与输出。

H(s)的分母取决于系统的结构，分子则反应了系统与外界之间的关系，如输入（激励）点的位置、输入方式、被测量及测点布置。传递函数分母中s的阶数n一定大于或等于分子中s的阶数m，即n>=m，这是因为实际系统总具有惯性。3.动态特性的频率特性——频率响应函数

频率特性的定义

频率特性：线性定常系统在简谐信号激励下，其稳态输出对输入的幅值比及相位差随激励频率

变化的特性，记为。（1）幅频特性：稳态输出信号与输入信号的幅值比随激励频率

变化的特性，记为A()。（2）相频特性：稳态输出信号与输入信号的相位差随激励频率

变化的特性，记为()。为复数，可以表示为：其中，相应地，将H()的实部P()称为系统的实频特性，虚部称为系统的虚频特性。思考：已知H(ω)，如何求系统在x(t)=A1sinω1t+A2sinω2t激励下的稳态响应？

频率响应函数的求法

实验确定频率响应函数

（系统初始条件全为0）

依次用不同频率i的正弦信号激励被测系

统，同时测量激励和系统稳态输出的幅值

Xi、Yi和相位差i。则：

A(i)=Yi/Xi,(i)=

i。

用一个具有多个频率成分的信号激励被测系统，同时测量激励和系统稳态输出，计算激励与稳态输出的傅氏变换，获得不同频率（i）分量通过系统后的幅值比A(i)及相位差(i)。

注意：系统频率特性也适用于一些复杂的输入信号。这时，幅频、相频特性分别表征系统对输入信号中各个频率分量幅值的缩放能力和相位角前后移动的能力。

幅、相频率特性的图象描述

幅频特性及相频特性曲线

幅频特性曲线：A()—相频特性曲线：()—

Bode图（对数频率特性图）

对数幅频特性曲线：20logA()(dB)—log

对数相频特性曲线：()—

log实频特性及虚频特性曲线

实频特性曲线：P()—虚频特性曲线：Q()—

Nyquist图（奈奎斯特图、极坐标图）

Q()

—P()h(t)H(s)H()傅氏变换拉氏变换s=j时域复数域频域

第四节典型测试系统的动态特性分析一.一阶系统传递函数：

频率特性：实频特性：虚频特性：幅频特性：相频特性：()=arctg

对数幅频特性：对数相频特性：()=arctg

脉冲响应函数：一阶系统的奈氏图0ReIm=0=45=1/1/21-40-20020L()(dB)1/()()一阶系统的Bode图-20dB/dec-90º-450.111010.11/110100.2121一阶系统的特点

当激励频率远小于1/时（约<），

A()1（误差不超过2%），输出、输入幅值几乎相等；当>>1时，H()

，即：一阶系统适用于测量缓变或低频被测量。

此时，系统相当于一个积分器。其中A()几乎与激励频率成反比，相位滞后近90。通常定义系统的幅值误差为：时间常数决定了一阶系统适用的频率范

围，在

=1/处，A()=0.707(-3dB)，相

角滞后45。此时的常称为系统的截止

（转折）频率。一阶系统Bode图可用渐近折线近似描述：

在

<1/段，为L()=0的水平线；

在

>1/段，为-20dB/dec斜率的直线。

近似折线与实际曲线的最大误差在转折

频率1/处，为-3dB。例：用一个一阶系统测量100HZ的正弦信号。（1）如果要求限制振幅误差在5%以内，则时间常数T应取多少？（2）若用具有该时间常数的同一系统测试50HZ的正弦信号，此时的振幅误差和相角差各是多少？二.二阶系统

传递函数：

频率特性：其中，n为系统固有频率，为系统阻尼比。

幅频特性：

相频特性：

脉冲响应函数：二阶系统的波德图0.1110-40-30-20-1001020=0.05=0.1=0.2=0.3=0.5渐近线L()(dB)/n-18000.1110-90()()/n=0.7=1.0=0.05=0.1=0.2=0.3=0.5=0.7=1.00.520.52二阶系统（0<<1）的奈氏图ReIm==01=0.8=0.6=0.4=n012

二阶系统的特点

<<n时，H()1，

>>n时，H()0。

n和的大小影响二阶系统的动态特性，

且在通常使用的频率范围中，n的影响

最为重要。

=n时，A()=，()

=-90，且

在

=n附近，系统发生共振。可利用

此特性测量系统本身的参数。

<0.5n时，二阶系统Bode图可用0dB线

近似；>2n时，可用斜率为-40dB/dec

的直线近似；

而

=(0.5~2)n时，因共振，近似线误

差较大，在

n处误差最大（误差大小

与有关）。

<<n时，

()很小，且和频率近似成

正比增加；

>>n时，

()-180。

靠近n时，

()变化剧烈，且

越小，

变化越剧烈。

二阶系统是振荡环节，对测试系统而言，

为了减少频率特性不理想所引起的误差，

一般取

(0.6~0.8)n，

=0.65~0.7。

此时，()与

/n近似成线性关系，系

统响应速度较快且误差较小。

环节的串联与并联

串联

H(s)=H1(s)H2(s)···Hn(s)X(s)Y(s)H1(s)H2(s)Hn(s)X(s)X1(s)X2(s)Xn-1(s)Y(s)...H(s)频率响应函数：

幅频特性：

相频特性：

当串联联接的环节间无能量交换时，串联后系统的传递函数：

并联

X(s)Y(s)H(s)=H1(s)+H2(s)+

+Hn(s)Y(s)H1(s)+X(s)H2(s)++Hn(s)...H(s)频率响应函数为：n个环节并联后系统的传递函数为：任何一个高阶系统都可以看做是若干个一阶环节和二阶环节的并联或串联。第五节典型激励的瞬态响应

系统对任意输入的响应

任何输入信号x(t)都可用众多相邻接的、持续时间为的矩形波信号来逼近。若足够小（比测量系统任意时间常数，任意振荡周期都小），则该矩形波信号又可以视为强度为x()的脉冲信号，所有脉冲的和记为：系统的响应y(t)即为这些脉冲依次作用的结果。

若系统脉冲响应函数h(t)已知，则在上述一系列脉冲作用下，系统在

t时刻的响应可表示为：

式中:t<k时，h(t-k)=0。则当0时，又因为：t<0时，x(t)=0，所以：

上式表明，从时域看，系统的输出为输入与系统脉冲响应函数之卷积。

但实际计算系统输出时，由于卷积计算量巨大，通常利用拉氏变换或傅氏变换将其转变到复数域或频域进行运算。即：

Y(s)=H(s)X(s)Y()=H()X()

系统对单位阶跃输入的响应

单位阶跃信号一阶系统的单位阶跃响应

，t0

一阶系统单位阶跃响应的特点

y(t)呈指数增大，且无振荡；

y()=1，无稳态误差。

y()=0.632，即经过时间常数，系统响应达到其稳态输出的63.2%

10.6321A0B斜率=1/2345xo(t)t63.2%86.5%95%98.2%99.3%99.8%6一阶系统单位阶跃响应曲线结论：

1一阶系统总是稳定的；

2可用实验方法测

；

3经过3~4

，响应已达稳态值的95%~98%4

时间常数

反映系统响应的快慢。工程中，

当响应曲线达到并保持在稳态值的95%~98%时，认为系统响应过程基本结束，从

而一阶系统的响应时间为3

~4。

显然，对于测试系统而言，越小越好。

二阶系统的单位阶跃响应其中：和二阶系统阶跃响应特性曲线如下图所示：5101500.20.40.60.811.21.41.61.82tpxo(t)欠阻尼二阶系统单位阶跃响应曲线=0.2=0.4=0.6=0.8t二阶系统（0<<1）瞬态输出分量为振幅等

于的阻尼正弦振荡，阻尼振

荡频率。振幅衰减的快慢由

和n决定，振荡幅值随减小而加大，

=

0

时，系统振幅超调量为

100%

，且持续不断

作等幅振荡，达不到稳态。

二阶系统单位阶跃响应的特点

y()=1，无稳态误差。

>1时，系统退化到等同两个一阶系统的串联，此时输出无振荡，但需较长时间才能到达稳态。

一定时，固有频率n越高，系统响应越快。

=0.6~0.8时，系统可以以较短时间（大约(5~7)/n）进入偏离稳态不到2%~5%的范围内，且系统超调量小于10%。因此，二阶测试系统的阻尼比通常选择为：=0.6~0.8。第六节实现不失真测试的条件

不失真测试的条件

信号不失真测试指系统的响应y(t)的波形和输入x(t)的波形完全相似，从而保留原信号的特征和全部信息。即：

y(t)=A0x(t-t0)

其中，A0、t0为常数。上式表明，若输入与输出间仅存在幅值不同和时间滞后，则表明系统实现了不失真测试。0tx(t)y(t)t0x(t)y(t)=A0x(t)y(t)=A0x(t-t0)波形不失真复现系统初态为0时，对上式进行傅氏变换，可得不失真测试装置的频率响应函数为：即：A()=A0

()=t0因此系统不失真测试应具备以下两个条件：

幅频特性A()在x(t)的频谱范围内为常数；

相频特性()与成线性关系，为一经过原点的直线。A(),

()A0A()=A0

()=-t0-

c

c0不失真测试系统的频率特性图

（||>c时，X()=0）

注意：

上述不失真测试条件只适用于一般的测试目

的。对于用于反馈控制系统中的测试装置，

时间滞后可能造成系统不稳定，因根据具体

要求，尽量减少时间滞后。

实际测量中，绝对的不失真测试是不可能实

现的，只能把失真的程度控制在允许范围内。

幅值失真：A()不等于常数时引起的失真。

相位失真：()与间的非线性引起的失真。

一般对于单频率成分的信号，只要其幅值处于系统的线性区，输出信号无所谓失真问题；对于含有多种频率成分的信号，既存在幅值失真，也存在相位失真。信号中不同频率成分通过测试装置后的输出

减少失真的措施

根据测试信号的频带选择合适的测试装置；

信号预处理，如消除处于测试系统共振区的

噪声；分析一阶系统和二阶系统实现不失真测试的条件

一阶系统：时间常数

越小，响应越快，近

于满足不失真测试条件的通频带越宽。

二阶系统

<0.3n段，()较小，且与近似线性；

A()变化不超过10%，用于测试时，波形失

真很小；

>(2.5~3)n段，()接近-180，且随变化

很小，若在实际测试电路或在数据处理中减

去固定的相位差；或对测试信号反相，则相

位失真很小，但此时A()过小，输出幅值衰

减太大，即幅值失真大；

=(0.3~2.5)n段，装置频率特性受影响很

大。分析表明：

当

=0.6~0.8时，可以获得较为合适的综合

特性。当

=0.7时，在=(0~0.58)n的频段

内，A()变化小于5%，而()也接近直线，

产生的相位失真也很小。注意：

幅值失真与相位失真的影响应权衡考虑，

如在振动测试中，有时仅关心振动的频率

成分及其强度，则可以允许有相位失真。

而如若需要测量特定波形的延迟时间，则

需要满足相位不失真条件。甚至，在某些

测试情形下，可能并不关心幅值失真问题，

如测两个输入信号间相位差的测量。原则上构成一个测试系统的每个环节都应当基本满足不失真测试条件。

第七节测试装置的静态特性和动态特性的标定

一测试系统静态特性标定

静态标定是一种特殊的测试，它的输入是经过校准的标准静态量，而且标准输入量的误差应当是所要求测试结果误差的1/3～1/5或更小，求出其输入、输出特性曲线，再确定其静态特性指标。

作输入-输出特性曲线

将标准输入量在满量程范围内均匀地等分成n个输入点,按正反行程进行相同的

m次测量（一次测量包括一个正行程和一个反行程），得到2m条输入、输出特性曲线