第九章机械波

第九章机械波教学基本要求一掌握描述简谐波的各物理量及各量间的关系；二理解机械波产生的条件.掌握由已知质点的简谐运动方程得出平面简谐波的波函数的方法.理解波函数的物理意义.了解波的能量传播特征及能流、能流密度概念.教学基本要求三了解惠更斯原理和波的叠加原理.理解波的相干条件，能应用相位差和波程差分析、确定相干波叠加后振幅加强和减弱的条件；

四理解驻波及其形成，了解驻波和行波的区别；五了解机械波的多普勒效应及其产生的原因.在波源或观察者沿二者连线运动的情况下，能计算多普勒频移.波动是振动的传播过程.振动是激发波动的波源.机械波电磁波波动机械振动在弹性介质中的传播.交变电磁场在空间的传播.两类波的不同之处机械波的传播需有传播振动的介质;电磁波的传播可不需介质.能量传播反射折射干涉衍射两类波的共同特征波源介质+弹性作用机械波一机械波的形成产生条件：1）波源；2）弹性介质.波是运动状态的传播，介质的质点并不随波传播.注意机械波：机械振动在弹性介质中的传播.横波：质点振动方向与波的传播方向相垂直的波.（仅在固体中传播）二横波与纵波

特征：具有交替出现的波峰和波谷.纵波：质点振动方向与波的传播方向互相平行的波.（可在固体、液体和气体中传播）特征：具有交替出现的密部和疏部.三波长波的周期和频率波速

波长：沿波的传播方向，两个相邻的、相位差为的振动质点之间的距离，即一个完整波形的长度.OyAA-

周期：波前进一个波长的距离所需要的时间.

频率：周期的倒数，即单位时间内波动所传播的完整波的数目.

波速：波动过程中，某一振动状态（即振动相位）单位时间内所传播的距离（相速）.注意周期或频率只决定于波源的振动!波速只决定于媒质的性质！波速与介质的性质有关，

为介质的密度.如声音的传播速度空气，常温左右，混凝土横波固体纵波液、气体切变模量弹性模量体积模量四波线波面波前波前：在任何时刻，波面有无数多个，最前方的波面即是波前。波前只有一个。波线：沿波的传播方向作的一些带箭头的线。波线的指向表示波的传播方向。波阵面：在波动过程中，把振动相位相同的点连成的面(简称波面)。平面波：波面为平面球面波：波面为球面柱面波：波面为柱面波源波前波线波面波面波线波前波面波面*球面波平面波波前波面波线例1在室温下，已知空气中的声速为340m/s，水中的声速为1450m/s，求频率为200Hz和2000Hz的声波在空气中和水中的波长各为多少？在水中的波长解由，频率为200Hz和2000Hz的声波在空气中的波长各质点相对平衡位置的位移波线上各质点平衡位置简谐波：在均匀的、无吸收的介质中，波源作简谐运动时，在介质中所形成的波.一平面简谐波的波函数平面简谐波：波面为平面的简谐波.介质中任一质点（坐标为x）相对其平衡位置的位移（坐标为y）随时间的变化关系，即称为波函数.点O

的振动状态点Pt时刻点P的运动t-x/u时刻点O的运动以速度u沿x轴正向传播的平面简谐波.令原点O的初相为零，其振动方程点P

振动方程时间推迟方法点

P

比点O落后的相位点P振动方程点O振动方程波函数P*O相位落后法沿轴负向

点O

振动方程

波函数沿轴正向

O如果原点的初相位不为零波动方程的其它形式质点的振动速度，加速度二波函数的物理意义1当x

固定时，波函数表示该点的简谐运动方程，并给出该点与点O振动的相位差.（波具有时间的周期性）波线上各点的简谐运动图（波具有空间的周期性）2当一定时，波函数表示该时刻波线上各点相对其平衡位置的位移，即此刻的波形.波程差OO3若均变化，波函数表示波形沿传播方向的运动情况（行波）.

时刻时刻

例1已知波函数如下，求波长、周期和波速.解：方法一（比较系数法）.把题中波动方程改写成比较得

例1已知波函数如下，求波长、周期和波速.解：方法二（由各物理量的定义解之）.周期为相位传播一个波长所需的时间波长是指同一时刻，波线上相位差为的两点间的距离.

1）波函数

例2一平面简谐波沿Ox轴正方向传播，已知振幅，，.在时坐标原点处的质点位于平衡位置沿Oy轴正方向运动.求解写出波函数的标准式O2）求波形图.波形方程o2.01.0-1.0

时刻波形图3）处质点的振动规律并做图.处质点的振动方程01.0-1.02.0O1234******1234处质点的振动曲线1.0

例3一平面简谐波以速度沿直线传播,波线上点A的简谐运动方程.1）以A为坐标原点，写出波函数ABCD5m9m8m2）以B为坐标原点，写出波函数ABCD5m9m8m3）写出传播方向上点C、点D的简谐运动方程ABCD5m9m8m点C的相位比点A超前点D的相位落后于点A4）分别求出BC，CD两点间的相位差ABCD5m9m8m1）给出下列波函数所表示的波的传播方向和点的初相位.

2）平面简谐波的波函数为式中为正常数，求波长、波速、波传播方向上相距为的两点间的相位差.讨论向x轴正向传播向x轴负向传播

3

）

如图简谐波以余弦函数表示，求

O、a、b、c

各点振动初相位.Oabct=T/4t=0OOOO一波动能量的传播当机械波在媒质中传播时，媒质中各质点均在其平衡位置附近振动，因而具有振动动能.同时，介质发生弹性形变，因而具有弹性势能.振动动能杨氏模量弹性势能体积元的总机械能讨论体积元在平衡位置时，动能、势能和总机械能均最大.体积元的位移最大时，三者均为零.

1）在波动传播的媒质中，任一体积元的动能、势能、总机械能均随作周期性变化，且变化是同相位的.

2）任一体积元都在不断地接收和放出能量，即不断地传播能量.任一体积元的机械能不守恒.波动是能量传递的一种方式.

能量密度：单位体积介质中的波动能量.平均能量密度：能量密度在一个周期内的平均值.二波的能流和能流密度能流：单位时间内垂直通过某一面积的能量.平均能流：

能流密度

(波的强度):通过垂直于波传播方向的单位面积的平均能流.udtS例证明球面波的振幅与离开其波源的距离成反比，并求球面简谐波的波函数.证介质无吸收，通过两个球面的平均能流相等.即式中为离开波源的距离，为处的振幅.球面波平面波

波动传播到的各点都可以看作是发射子波的新的波源，其后的任意时刻，这些子波的包络就是新的波前，过子波中心向子波和包络面切点所引起的射线即为新的波线.一惠更斯原理O

波的衍射

水波通过狭缝后的衍射

波在传播过程中遇到障碍物时，能绕过障碍物的边缘，在障碍物的阴影区内继续传播.

二波的衍射N界面三波的反射和折射RN界面IL用惠更斯原理证明.2）

1）反射线、入射线和界面的法线在同一平面内；反射定律i

i

i

A1A2A3B2B3B1NNAId时刻tB2B3B1NNAIBL时刻t+△t波的折射用惠更斯原理证明.时刻ti

i

i

A1A2A3B2B3B1NNAIdⅠⅡ1）折射线、入射线和界面的法线在同一平面内；2）

N界面RN界面IL时刻t+△tⅠⅡB2B3B1NNAIBRi

i

i

A1A2A3B2B3B1NNAIdⅠⅡⅠⅡ时刻t时刻t+△tB2B3B1NNAIBR所以一波的叠加原理几列波相遇之后，仍然保持它们各自原有的特征（频率、波长、振幅、振动方向等）不变，并按照原来的方向继续前进，好象没有遇到过其他波一样.在相遇区域内任一点的振动，为各列波单独存在时在该点所引起的振动位移的矢量和.

频率相同、振动方向平行、相位相同或相位差恒定的两列波相遇时，使某些地方振动始终加强，而使另一些地方振动始终减弱的现象，称为波的干涉现象.二波的干涉*波源振动点P的两个分振动1）频率相同；2）振动方向平行；3）相位相同或相位差恒定.波的相干条件*点P的两个分振动常量讨论1)合振动的振幅（波的强度）在空间各点的分布随位置而变，但是稳定的.其他振动始终加强振动始终减弱2)波程差若则振动始终减弱振动始终加强其他3)讨论例如图所示，A、B两点为同一介质中两相干波源.其振幅皆为5cm，频率皆为100Hz，但当点A为波峰时，点B适为波谷.设波速为10m/s，试写出由A、B发出的两列波传到点P时干涉的结果.解15m20mABP设A的相位较B超前，则.点P合振幅一驻波的产生

振幅、频率、传播速度都相同的两列相干波，在同一直线上沿相反方向传播时叠加而形成的一种特殊的干涉现象.驻波的形成驻波的振幅与位置有关二驻波方程正向负向各质点都在作同频率的简谐运动驻波方程讨论10相邻波腹（节）间距

相邻波腹和波节间距

1）振幅

随x

而异，与时间无关.波腹波节2）相邻两波节之间质点振动同相位，任一波节两侧振动相