第1章 连续时间信号分析

第1章

连续时间信号分析本章主要内容

连续时间信号的时域分析周期信号的频率分解非周期信号的频谱连续时间信号的复频域分析连续信号的相关分析与本章内容有关的MATLAB函数连续信号的时域描述

连续时间信号的定义

所谓连续时间信号，简称为连续信号，就是指在所讨论的时间内，对于除了若干个不连续点以外的任意时刻值都有定义的信号，一般用数学函数x(t)表示。

x(t)t0连续信号的时域描述

基本的连续信号

正弦信号两个振幅和初相位均不同的同频率正弦信号相加后，其结果仍是原频率的正弦信号若一个正弦信号的频率是另一个正弦信号频率的整数倍时，则它们的合成信号是一个非正弦周期信号，其周期就等于基波的周期正弦信号对时间的微分或积分仍然是同频率的正弦信号

t0Asin(Ωt+)A连续信号的时域描述

抽样信号Sa(t)是关于t的偶函数Sa(t)是一个以2π为周期，且具有1/t的单调衰减幅值的振荡信号除t=0外有确定的值，当t=±π，±2π，±3π，…时，Sa(t)=0，且有

-3π-2π-π3ππ2π1t0Sa(t)连续信号的时域描述

单位阶跃信号在跃变点t=0处，函数值未定义若单位阶跃信号的跃变点在t=t0处，则称其为延时单位阶跃信号，其数学表达式为

0u(t)1t0u(t-t0)1tt0连续信号的时域描述

单位冲激信号抽样特性（筛选特性）加权特性单位冲激信号为偶函数尺度变换特性单位冲激信号的导数t0(1)δ(t)连续信号的时域描述

复指数信号可见，复指数信号的波形随复频率s的不同取值而变化。t0eσt1σ=0σ<0σ>0t0Re[e

jΩt]1t0Re[est]1σ<0tRe[est]01σ>0连续信号的基本运算

信号的相加与相乘

信号的相加（或相乘）是指两个信号在任意时刻函数值之和（或积）。

信号的微分与积分信号x(t)的微分（导数）是指信号x(t)的函数值随时间变化的变化率。当信号x(t)中含有不连续点时，则x(t)在这些不连续点上出现冲激，其强度为原函数在该点处的跳变量。信号x(t)的积分是指在-∞到t区间内的任意时刻处，信号x(t)与时间轴所包围的面积。连续信号的基本运算

信号的时移与翻褶信号x(t)时移±t0（t0>0），就是将x(t)表达式及其定义域中所有自变量t替换为t±t0，从而使x(t)表达式变为x(t±t0)。从信号波形上看，x(t+t0)的波形是将x(t)的波形向左移动t0时间；x(t-t0)的波形是将x(t)的波形向右移动t0时间。信号x(t)的翻褶就是将x(t)表达式以及定义域中的所有自变量t替换为-t，从而使x(t)表达式变为x(-t)。从信号波形上看，x(-t)的波形与x(t)的波形关于纵轴t=0呈镜像对称。翻褶信号x(-t)的时移规律与信号x(t)恰好相反。连续信号的基本运算

信号的尺度变换信号的尺度变换就是将信号x(t)表达式中以及定义域中的所有自变量t替换为at，从而使x(t)表达式变为x(at)。当a>1时，则x(at)是将x(t)的波形沿时间轴压缩至原来的1/a当0<a<1时，则x(at)是将x(t)的波形沿时间轴扩展至原来的1/a当a<0时，则x(at)是将x(t)的波形沿时间轴压缩或扩展至1/|a|t210x(t)1t420x(-t/2)1t-1/2-10x(-2t)1t1/210x(-2t+2)1t420x(t/2)1t1/210x(2t)1连续信号的时域分解x(t)x(0)t0…连续信号的时域分解连续信号的卷积

卷积的定义

卷积的图解10tx1(t)=u(t)(a)单位阶跃信号x2(t)=e-atu(t)t01(b)单边指数信号x2(-τ)τ01(c)翻褶y(t)t01/a(f)卷积值(e)相乘并积分x1(τ)x2(t-τ)01tτ(d)时移x2(t-τ)tτ01连续信号的卷积

卷积的性质交换律结合律分配律微积分性质连续信号的卷积

任意信号与冲激信号的卷积上式表明，x(t)与δ(t-t0)的卷积，相当于将信号x(t)延时t0。

任意信号与阶跃信号的卷积上式表明，单位阶跃信号u(t)相当于积分器。

任意信号与冲激偶信号的卷积上式表明，冲激偶信号δ’(t)相当于微分器。本章内容提要

连续时间信号的时域分析

周期信号的频率分解非周期信号的频谱连续时间信号的复频域分析连续信号的相关分析与本章内容有关的MATLAB函数周期信号的描述(a)锯齿波-T03T02T0x(t)tT00……(b)半波整流-T03T02T0x(t)tT00……若连续时间信号x(t)在（-∞，∞）区间，以T0为周期，周而复始地重复再现，则称信号x(t)为周期信号，其表达式是周期分别为T1和T2的两个(或多个)周期信号线性叠加后，是否仍是周期信号，这主要取决于在这两个周期T1，T2之间是否有最小公倍数，即存在一个最小数T0能同时被T1和T2所整除。若存在最小公倍数则有傅里叶级数

狄里赫利（Dirichlet）条件

数学已经证明，周期为T0的任一周期信号分解成傅里叶级数形式，就必须在任一区间[t，t+T0]内，满足狄里赫利（Dirichlet）条件：在一个周期内信号是绝对可积的，即在一个周期内只有有限个不连续点，且在这些点处的函数值必须是有限值在一个周期内只有有限个最大值和最小值上述条件中，条件（1）是充分条件但不一定是必要的，且任一有界的周期信号都能满足这一条件；条件（2）、（3）是必要条件但不是充分的。傅里叶级数

傅里叶级数的主要形式

三角型傅里叶级数指数型傅里叶级数举例通过以下变换对可以看出时域的连续函数造成频域是非周期的频谱函数,而频域的离散频谱就与时域的周期时间函数对应.(频域采样，时域周期延拓)周期（时域）离散（频域）连续（时域）非周期（频率）周期信号的频域分析

频域分析的概念由于任意波形的周期信号x(t)都可以用反映信号频率特性的频谱X(nΩ0)来描述，而X(nΩ0)是离散频率nΩ0的复函数，则x(t)与X(nΩ0)之间存在着一一对应的关系，即这种用频率函数来描述或表征任意周期信号的方法就称为周期信号的频域分析。信号的频谱与时域波形的关系频率的高低相当于波形变化的快慢，即时域波形变化越慢，则频谱中高频成分越少；时域波形变化越剧烈，则频谱中高频分量越多谐波幅度的大小反映了时域波形取值的大小相位的变化关系到波形在时域出现的不同时刻周期信号的频域分析

连续周期信号频谱的特点频谱是由频率离散的非周期性谱线组成，每根谱线代表一个谐波分量，即离散性

频谱中的谱线只在基波频率的整数倍处出现，即谐波性

频谱中各谱线的幅度随着谐波次数的增加而逐渐衰减，即收敛性

(b)相频特性…Ω0-Ω00-2Ω0-3Ω0…2Ω03Ω0(nΩ0)nΩ0(a)幅频特性…Ω0-Ω00-2Ω0-3Ω02Ω03Ω0|X(nΩ0)|nΩ0…周期锯齿波信号离散频谱傅里叶级数的性质

线性性质时移性质尺度变换性质傅里叶级数的性质

对称性质信号为实函数实周期信号的幅度频谱关于nΩ0偶对称，相位谱关于nΩ0奇对称，即

信号为实偶函数（偶对称）实偶周期信号的傅里叶级数展开式只含有直流分量和余弦项，但不存在正弦项，即信号为实奇函数（奇对称）

实奇周期信号的傅里叶级数展开式只含有正弦项，而没有直流分量和余弦项，即傅里叶级数的性质

对称性质半周期对称半周期偶对称（半周期重叠）

半周期偶对称信号的傅里叶级数展开式除了直流分量外，只有余弦偶次谐波分量半周期奇对称（半周期镜像）半周期奇对称信号的傅里叶级数展开式只有正弦奇次谐波分量双重对称

若信号除了具有半周期镜像对称外，同时还是时间的偶函数或奇函数，则前者的傅里叶级数展开式只有余弦奇次谐波分量；后者只有正弦奇次谐波分量。傅里叶级数的性质

时域微积分性质本章内容提要

连续时间信号的时域分析

周期信号的频率分解

非周期信号的频谱连续时间信号的复频域分析连续信号的相关分析与本章内容有关的MATLAB函数从傅里叶级数到傅里叶变换t0x(t)At0xT(t)AT周期信号与非周期信号的关系：傅里叶变换对非周期（时域）连续（频域）连续（时域）非周期（频率）例题：例1.3.1傅里叶变换的性质

奇偶性偶信号的频谱为偶函数，奇信号的频谱为奇函数实信号的频谱是共轭对称函数，即其幅度频谱和实部为偶函数，相位频谱和虚部为奇函数线性对偶性（互易性）尺度变换特性傅里叶变换的性质

时移特性频移特性（调制特性）

时域卷积定理

频域卷积定理傅里叶变换的性质

微分特性积分特性本章内容提要

连续时间信号的时域分析周期信号的频率分解非周期信号的频谱

连续时间信号的复频域分析连续信号的相关分析与本章内容有关的MATLAB函数拉普拉斯变换

从傅里叶变换到拉普拉斯变换对于多数实际因果信号，即t<0时x(t)=0，则有单边拉氏变换拉氏变换对拉普拉斯变换已知信号x(t)=u(t)-u(t-2)，试用MATLAB绘制该信号拉普拉斯变换的曲面图和傅里叶变换的频谱。信号x(t)的拉普拉斯变换和傅里叶变换分别为

M文件如下：

%绘制拉普拉斯变换曲面图

clf;a=0.001:0.1:5;b=-20:0.1:20;[a,b]=meshgrid(a,b);s=a+i*b;xs=(1-exp(-2*s))./s;xs=abs(xs);mesh(a,b,xs);surf(a,b,xs);view(-60,20);axis([-0,5,-20,20,0,2]);title('信号的拉普拉斯变换');colormap(hsv);%绘制傅里叶变换频谱图figure(2)w=-20:0.1:20;xw=2*sinc(w/pi).*exp(-i*w);plot(w,abs(xw));title('信号的傅里叶变换');信号拉普拉斯变换的曲面图在截面Re[s]=0上的曲线就是该信号傅里叶变换的频谱拉普拉斯变换

拉普拉斯变换的收敛域收敛域的概念使拉普拉斯变换式积分收敛，即满足绝对可积条件

的σ取值范围，称为拉普拉斯变换的收敛域。收敛域的基本特点因果信号x(t)u(t)以及右边信号x(t)u(t+t0)的收敛域常位于右半s平面Re[s]>σ0

左边信号x(t)u(-t)以及x(t)u(-t+t0)的收敛域常位于左半s平面Re[s]<σ0

双边信号x(t)或e-a|t|的收敛域常位于左半s平面σ1<Re[s]<σ2

对于有些函数，如等，不满足上述绝对可积的条件，其拉氏变换不存在，但这些函数在实际工程中很少遇到，因此，并不影响拉氏变换的实际意义。拉普拉斯变换反变换拉普拉斯变换的性质

系统函数的定义

连续信号的系统函数H(s)，又称转移函数或传递函数，可定义为在零状态条件下系统零状态响应的单边拉氏变换Y(s)与系统输入的单边拉氏变换X(s)之比，即

说明系统函数描述了连续系统的复频域特性，它仅取决于系统本身的特性，而与系统的输入无关

系统函数H(s)与单位冲激响应h(t)是一对单边拉氏变换对，即系统函数H(s)与频率特性H(jΩ)的关系系统函数本章内容提要

连续时间信号的时域分析周期信号的频率分解非周期信号的频谱连续时间信号的复频域分析

连续信号的相关分析与本章内容有关的MATLAB函数相关函数

相关函数的概念

定义

上述定义式中，x与y的次序不能颠倒，即，且说明相关函数是两个信号之间时移τ的函数若x(t)和y(t)不是同一信号，则Rxy(τ)和Ryx(τ)为互相关函数若x(t)和y(t)是同一信号，即x(t)=y(t)，则Rxx(τ)为自相关函数，且实信号x(t)的自相关函数是时移τ的偶函数，即相关函数

说明若x(t)和y(t)是实信号，则若x(t)和y(t)是功率有限信号，则

若x(t)和y(t)是实信号，则将上述公式中的共轭符号*去掉相关与卷积的关系

说明卷积需要进行翻褶运算，而相关则不需要若x(t)或y(t)是实偶函数，则相关和卷积完全相同相关定理

证明

说明若y(t)是实偶函数，则相关定理和卷积定理完全相同

相关定理

证明

说明若y(t)是实偶函数，则相关定理和卷积定理完全相同

本章内容提要

连续时间信号的时域分析周期信号的频率分解非周期信号的频谱连续时间信号的复频域分析连续信号的相关分析

与本章内容有关的MATLAB函数连续信号分析中常用MATLAB函数squaresawtooth连续信号分析中常用MATLAB函数sinc

单位冲激信号diric

单位阶跃信号

某些函数在MATLAB函数库中没有定义，如阶跃函数、冲激函数等，需要用户自行创建函数文件来实现。连续信号分析中常用