第18章早期量子论和量子力学基础

第五篇量子物理

第十八章早期量子论和量子力学基础

固体或液体，在任何温度下都在发射各种波长的电磁波，这种由于物体中的分子、原子受到激发而发射电磁波的现象称为热辐射。所辐射电磁波的特征仅与温度有关。§18-1热辐射普朗克的量子假设固体在温度升高时颜色的变化1400K物体辐射总能量及能量按波长分布都决定于温度。800K1000K1200K1.热辐射现象2.基尔霍夫辐射定律单色辐出度与物体的温度和辐射波长有关。单色辐出度：单位时间内，温度为T的物体单位面积上发射的波长在到范围内的辐射能量与波长间隔的比值，用表示。基尔霍夫辐射出射度:单位时间内，从物体单位面积上所发射的各种波长的总辐射能，称为物体的辐射出射度，简称辐出度。辐出度只是物体温度的函数。基尔霍夫辐射定律单色吸收比和单色反射比:被物体吸收的能量与入射能量之比称为吸收比,在波长到范围内的吸收比称为单色吸收比,用表示;反射的能量与入射能量之比称为反射比,波长到范围内的反射比称为单色反射比,用表示。绝对黑体:若物体在任何温度下,对任何波长的辐射能的吸收比都等于1,则称该物体为绝对黑体,简称黑体。基尔霍夫辐射定律基尔霍夫辐射定律:在同样的温度下,各种不同物体对相同波长的单色辐出度与单色吸收比之比值都相等,并等于该温度下黑体对同一波长的单色辐出度。即好的吸收体也是好的辐射体。基尔霍夫辐射定律3.黑体辐射实验规律不透明的材料制成带小孔的的空腔,可近似看作黑体。黑体模型研究黑体辐射的规律是了解一般物体热辐射性质的基础。测定黑体辐出度的实验简图黑体辐射实验规律PL2B2A L1B1CA为黑体B1PB2为分光系统C为热电偶1700K1500K1300K1100K012345绝对黑体的辐出度按波长分布曲线实验曲线黑体辐射实验规律黑体的辐出度与黑体的绝对温度四次方成正比：（1）斯特藩-玻耳兹曼定律根据实验得出黑体辐射的两条定律：热辐射的功率随着温度的升高而迅速增加。斯特藩常数黑体辐射实验规律

对于给定温度T，黑体的单色辐出度有一最大值,其对应波长为。

热辐射的峰值波长随着温度的增加而向着短波方向移动。（2）维恩位移定律黑体辐射实验规律例题18-1实验测得太阳辐射波谱的，若把太阳视为黑体，试计算（1）太阳每单位表面积上所发射的功率，（2）地球表面阳光直射的单位面积上接受到的辐射功率，（3）地球每秒内接受的太阳辐射能。（已知太阳半径RS=6.96×108m,地球半径RE=6。37×106m,地球到太阳的距离d=1.496×1011m.)解根据维恩位移定律根据斯特藩-玻尔滋蔓定律可求出辐出度，即单位表面积上的发射功率黑体辐射实验规律太阳辐射的总功率这功率分布在以太阳为中心、以日地距离为半径的球面上，故地球表面单位面积接受到的辐射功率黑体辐射实验规律由于地球到太阳的距离远大于地球半径，可将地球看成半径为RE的圆盘，故地球接受到太阳的辐射能功率黑体辐射实验规律维恩经验公式问题：如何从理论上找到符合实验曲线的函数式4.普朗克量子假设

这个公式与实验曲线波长短处符合得很好，但在波长很长处与实验曲线相差较大。瑞利--金斯经验公式

这个公式在波长很长处与实验曲线比较相近，但在短波区，按此公式，将随波长趋向于零而趋向无穷大的荒谬结果，即“紫外灾难”。

维恩公式和瑞利-金斯公式都是用经典物理学的方法来研究热辐射所得的结果，都与实验结果不符，明显地暴露了经典物理学的缺陷。黑体辐射实验是物理学晴朗天空中一朵令人不安的乌云。普朗克量子假设

为了解决上述困难，普朗克利用内插法将适用于短波的维恩公式和适用于长波的瑞利-金斯公式衔接起来，提出了一个新的公式：普朗克常数

这一公式称为普朗克公式。它与实验结果符合得很好。普朗克量子假设o实验值/μm维恩线瑞利--金斯线紫外灾难普朗克线12345678普朗克量子假设普朗克公式还可以用频率表示为：

普朗克得到上述公式后意识到，如果仅仅是一个侥幸揣测出来的内插公式，其价值只能是有限的。必须寻找这个公式的理论根据。他经过深入研究后发现：必须使谐振子的能量取分立值，才能得到上述普朗克公式。普朗克量子假设

能量子假说：辐射黑体分子、原子的振动可看作谐振子，这些谐振子可以发射和吸收辐射能。但是这些谐振子只能处于某些分立的状态，在这些状态中，谐振子的能量并不象经典物理学所允许的可具有任意值。相应的能量是某一最小能量ε（称为能量子）的整数倍，即：ε,1ε,2ε,3ε,...nε.n为正整数，称为量子数。

对于频率为ν的谐振子最小能量为能量量子经典普朗克量子假设

振子在辐射或吸收能量时，从一个状态跃迁到另一个状态。在能量子假说基础上，普朗克由玻尔兹曼分布律和经典电动力学理论，得到黑体的单色辐出度，即普朗克公式。

能量子的概念是非常新奇的，它冲破了传统的概念，揭示了微观世界中一个重要规律，开创了物理学的一个全新领域。由于普朗克发现了能量子，对建立量子理论作出了卓越贡献，获1918年诺贝尔物理学奖。普朗克量子假设例18-2试从普朗克公式推导斯特藩-玻尔兹曼定律及维恩位移定律。解：在普朗克公式中，为简便起见，引入则普朗克量子假设黑体的总辐出度：其中：普朗克公式可改写为：普朗克量子假设由分部积分法可计算：所以普朗克量子假设

可见由普朗克公式可以推导出斯特藩-玻尔兹曼定律。

为了求出最大辐射值对应的波长，可以由普朗克公式得到满足：普朗克量子假设经整理得到令有这个方程通过迭代法解得普朗克量子假设即可见由普朗克公式可推导得出维恩位移定律。普朗克量子假设§18-2光电效应爱因斯坦的光子理论光电效应

当波长较短的可见光或紫外光照射到某些金属表面上时,金属中的电子就会从光中吸取能量而从金属表面逸出的现象。1.光电效应的实验规律入射光线OOOOOOVGAKBOO光电效应实验装置金属板释放的电子称为光电子,光电子在电场作用下在回路中形成光电流。结论1：单位时间内,受光照的金属板释放出来的电子数和入射光的强度成正比。(1)饱和电流

实验表明：

在一定强度的单色光照射下,光电流随加速电势差的增加而增大,但当加速电势差增加到一定量值时,光电流达饱和值，如果增加光的强度，相应的也增大。光强较弱光强较强光电效应的伏安特性曲线光电效应（2）遏止电势差

如果使负的电势差足够大，从而使由金属板表面释放出的具有最大速度的电子也不能到达阳极时，光电流便降为零，此外加电势差的绝对值叫遏止电势差。

实验表明：遏止电势差与光强度无关。

结论2：光电子从金属表面逸出时具有一定的动能，最大初动能与入射光的强度无关。光电效应（3）遏止频率（又称红限）实验表明：遏止电势差和入射光的频率之间具有线性关系。遏止电势差与频率的关系光电效应

为不随金属性质不同而改变的普适恒量

即最大初动能随入射光的频率线性地增加，要使光所照射的金属释放电子，入射光的频率必须满足：

称为光电效应的红限（遏止频率）光电效应（4）弛豫时间

实验表明，从入射光开始照射直到金属释放出电子，无论光的强度如何，这段时间很短，不超过。结论3：光电子从金属表面逸出时的最大初动能与入射光的频率成线性关系。当入射光的频率小于时，不管照射光的强度多大，不会产生光电效应。光电效应按照光的波动说,光电子的初动能应决定于入射光的光强，即决定于光的振幅而不决定于光的频率。2.光的波动说的缺陷无法解释红限的存在。无法解释光电效应的产生几乎无须时间的积累。3.爱因斯坦的光子理论

爱因斯坦从普朗克的能量子假设中得到启发,他假定光在空间传播时,也具有粒子性,想象一束光是一束以运动的粒子流,这些粒子称为光量子,现在称为光子,每一光子的能量为,光的能流密度决定于单位时间内通过该单位面积的光子数。

根据光子理论,光电效应可解释如下:当金属中一个自由电子从入射光中吸收一个光子后,就获得能量,如果大于电子从金属表面逸出时所需的逸出功,这个电子就从金属中逸出。爱因斯坦光电效应方程爱因斯坦对光电效应的解释：光强大，光子数多，释放的光电子也多，所以光电流也大。电子只要吸收一个光子就可以从金属表面逸出，所以无须时间的累积。爱因斯坦的光子理论爱因斯坦

由于爱因斯坦提出的光子假说成功地说明了光电效应的实验规律,荣获1921年诺贝尔物理学奖。从光电效应方程中，当初动能为零时，可得到红限频率.从方程可以看出光电子初动能和照射光的频率成线性关系。爱因斯坦的光子理论

分别为光子的质量和动量。4.光的波-粒二象性

光不仅具有波动性，还具有粒子性。这种双重性称为波-粒二象性。波动性和粒子性之间的联系如下：例18-3波长l=4.0×10-7m的单色光照射到金属铯上，求铯所释放的光电子最大初速度。利用关系代入已知数据解：铯原子红限频率=4.8×1014Hz，据爱因斯坦光电效应方程，光电子最大初动能：光电效应光电管5.光电效应的应用光电倍增管解：(1)按照经典电磁理论,照射到离光源d处的圆面积内的功率是例题18-4设有一功率P=1W的点光源,d=3m处有一钾薄片.假定钾薄片中的电子可以在半径r=0.5×10-10m的圆面积范围内收集能量,已知钾的逸出功为a=1.8eV,(1)按照经典电磁理论,计算电子从照射到逸出需要多长时间;(2)如果光源发出波长为的单色光,根据光子理论,求每单位时间打到钾片单位面积上有多少光子.假定这些能量全部被电子所吸收,那么可以计算出光开始照射到电子逸出表面所需的时间为：爱因斯坦的光子理论每单位时间打在距光源3m的钾片单位面积上的能量为(2)按照光子理论,爱因斯坦的光子理论§18-3康普顿效应1.康普顿效应

康普顿研究了X射线经物质散射的实验,进一步证实了爱因斯坦的光子概念。康普顿吴有训X光管光阑散射物质康普顿实验装置示意图X光检测器晶体康普顿效应

康普顿发现,在散射光中除了有与入射光波长λ0相同的射线之外，同时还出现一种波长λ大于λ0的射线。这种改变波长的散射称为康普顿效应。

我国物理学家吴有训在与康普顿共同研究中还发现：(1)波长的偏移随散射角而异;当散射角增大时,波长的偏移也随之增加,而且随着散射角的增大,原波长的谱线强度增大。(2)在同一散射角下，对于所有散射物质,波长的偏移都相同,但原波长的谱线强度随散射物质的原子序数的增大而增加,新波长的谱线强度随之减小。康普顿效应康普顿散射与角度的关系(a)(b)(c)(d)相对强度........................................................................................0.7000.750波长(Å)....康普顿效应2.光子理论的解释

根据经典电磁波理论，当电磁波通过物质时，物质中带电粒子将作受迫振动，其频率等于入射光频率，所以它所发射的散射光频率应等于入射光频率。光的波动理论无法解释康普顿效应。2.1光子理论对康普顿效应的解释

光子理论认为康普顿效应是光子和自由电子作弹性碰撞的结果，具体解释如下：因为碰撞中交换的能量和碰撞的角度有关，所以波长改变和散射角有关。若光子和外层电子相碰撞，光子有一部分能量传给电子,散射光子的能量减少，于是散射光的波长大于入射光的波长。若光子和束缚很紧的内层电子相碰撞，光子将与整个原子交换能量,由于光子质量远小于原子质量，根据碰撞理论，碰撞前后光子能量几乎不变，波长不变。康普顿效应的解释2.2康普顿效应的定量分析由能量守恒:由动量守恒:θXXeφXφθ康普顿效应的解释最后得到：此式说明：波长改变与散射物质无关,仅决定于散射角；波长改变随散射角增大而增加。电子的康普顿波长。计算的理论值与实验值符合得很好。康普顿效应的解释

X射线的散射现象，理论与实验的符合，不仅有力地证实了光子理论，而且也证实了能量守恒和动量守恒两条定律，在微观粒子相互作用的基本过程中，也同样严格地遵守。康普顿效应的解释例题18-5波长为的X射线与静止的自由电子碰撞,现在从和入射方向成角的方向去观察散射辐射.求:(1)散射X射线的波长;(2)反冲电子的能量;(3)反冲电子的动量。xyxyPeh/0h/解(1)散射后X射线波长的改变为康普顿效应所以散射X的波长为(2)根据能量守恒,反冲电子获得的能量就是入射光子与散射光子能量的差值,所以(3)根据动量守恒,有康普顿效应所以康普顿效应§18-4氢原子光谱玻尔的氢原子理论1.氢原子光谱的规律性

原子发光是重要的原子现象之一，光谱学的数据对物质结构的研究具有重要意义。氢原子谱线的波长可以用下列经验公式表示：里德伯常量波数赖曼系，紫外区巴尔末系，可见光区帕邢系，红外区布拉开系，红外区普丰德系，红外区哈弗莱系，红外区其他元素的光谱也有类似的规律性。原子光谱线系的规律性深刻地反映了原子内部的规律性氢原子光谱2.玻尔的氢原子理论（1）定态假设

原子系统只能处在一系列不连续的能量状态，在这些状态中，电子虽然作加速运动，但并不辐射电磁波，这些状态称为原子的稳定状态（简称定态），相应的能量分别为。（2）频率条件

当原子从一个能量为的定态跃迁到另一能量为的定态时，就要发射或吸收一个频率为的光子。玻尔频率公式玻尔（3）量子化条件

在电子绕核作圆周运动中，其稳定状态必须满足电子的角动量等于的整数倍的条件。角动量量子化条件

为量子数3.氢原子轨道半径和能量的计算

根据电子绕核作圆周运动的模型及角动量量子化条件可以计算出氢原子处于各定态时的电子轨道半径。玻尔的氢原子理论玻尔半径

电子处在半径为的轨道上运动时，可以计算出氢原子系统的能量为能量是量子化的。玻尔的氢原子理论基态能级；的各稳定态称为受激态；时能级趋于连续。玻尔的氢原子理论氢原子的能级图赖曼系巴耳末系帕邢系玻尔的氢原子理论根据氢原子的能级及玻尔假设，可以得到氢原子光谱的波数公式与氢原子光谱经验公式是一致的。R理论值与实验值符合得很好。玻尔的创造性工作对量子力学的建立有着深远的影响。玻尔的氢原子理论4.玻尔理论的缺陷玻尔理论仍然以经典理论为基础，定态假设又和经典理论相抵触。●量子化条件的引进没有适当的理论解释。●对谱线的强度、宽度、偏振等无法处理。●所以例题18-6在气体放电管中,用能量为12.5eV的电子通过碰撞使氢原子激发,问受激发的原子向低能级跃迁时,能发射那些波长的光谱线?解：设氢原子全部吸收电子的能量后最高能激发到第n个能级，此能级的能量为,所以把代入上式得因为n只能取整数,所以氢原子最高能激发到n=3的能级,当然也能激发到n=2的能级.于是能产生3条谱线。氢原子光谱氢原子光谱例18-7计算氢原子中的电子从量子数的状态跃迁到量子数的状态时所发谱线的频率。试证明当很大时，这个频率等于电子在量子数的圆轨道上绕转的频率。解按玻尔频率公式有

当很大时

绕转频率为玻尔的氢原子理论

在量子数很大的情况下，量子理论得到与经典理论一致的结果，这是一个普遍原则，称为对应原理。可见的值和很大时的值相同。绕转频率为玻尔的氢原子理论§18-5德布罗意波波-粒二象性1.德布罗意波

光的干涉、衍射等现象证实了光的波动性；热辐射、光电效应和康普顿效应等现象又证实了光的粒子性。光具有波-粒二象性。

德布罗意波在光的二象性的启发下，提出了与光的二象性完全对称的设想，即实物粒子（如电子、质子等）也具有波-粒二象性的假设。德布罗意

质量为的粒子以速度匀速运动时，具有能量和动量；从波动性方面来看，它具有波长和频率，这些量之间的关系遵从下述公式：

具有静止质量的实物粒子以速度运动，则和该粒子相联系的平面单色波的波长为：德布罗意公式德布罗意波如果，那么

德布罗意认为电子的物质波绕圆轨道传播时，只有满足驻波条件时，此轨道才是稳定的。在这一假设下，可以得出玻尔假设中的有关电子轨道角动量量子化条件：德布罗意波2.戴维孙-革末实验实验装置实验结果晶格常数为散射平面间距波程差：加强的条件：波程差计算图实验验证与X射线在晶体上衍射时的布拉格公式相同。电子经加速电势差为U的电场加速后，动量：速度：相应的德布罗意波长：动能：实验验证代入布拉格公式得出：

极大值出现在的方向，与实验符合的很好，这表明电子具有波动性，而且德布罗意波长公式是正确的。

对镍来说，。把和值代入上式得：实验验证电子通过金多晶薄膜的衍射实验。（汤姆逊1927）

电子的单缝、双缝、三缝和四缝衍射实验。（约恩逊1961)自然界中的一切微观粒子，不论它们的静止质量是否为零，都具有波粒二象性。30年代以后，实验发现，中子、质子、中性原子都具有衍射现象。实验验证3.电子显微镜

光学显微镜的分辨本领与光波的波长成反比。

当加速电场很大时,电子的得布罗意波长可以比可见光波长短得多,如U为10万伏时,电子的波长为,比可见光短10万倍.因此利用电子波代替可见光制成的电子显微镜能具有极高的分辨本领。

电子显微镜在现代工农业生产和科学研究中应用广泛。解：由得布罗意公式得：例题18-8一质量m=0.05㎏的子弹,以速率运动着,其得布罗意波长为多少?由此可见，对于一般的宏观物体,其物质波波长是很小的，很难显示波动性。德布罗意波例题18-9试估算热中子的得布罗意波长(中子的质量mn=1.67×10-27㎏)。解:热中子是指在室温下(T=300K)与周围处于热平衡的中子,它的平均动能：它的方均根速率：相应的得布罗意波长：德布罗意波例题18-10电子在铝箔上散射时,第一级最大(k=1)的偏转角为,铝的晶格常数a为4.05×10-10m,求电子速度。解：参看图示,第一级最大的条件是：按得布罗意公式把m按静质量计算，得：d德布罗意波§18-6不确定度关系

1927年海森伯（W.Heisenberg）分析了几个理想实验后提出了不确定度关系。2φΔx电子束x缝屏幕衍射图样pppxyφ

在电子衍射花样中两个一级极小值之间都有电子分布。一级极小值位置和缝宽之间的关系为:所以这就是海森伯坐标和动量的不确定度关系式。考虑到在两个一级极小值之外还有电子出现，所以有：写为：经严格证明此式应改PPPxyφ不确定度关系方向电子的位置不确定量为：方向的分动量的不确定量为：讨论：

a.不确定度关系式说明用经典物理学量—动量、坐标来描写微观粒子行为时将会受到一定的限制,因为微观粒子不可能同时具有确定的动量及位置坐标。

b.不确定度关系式可以用来判别对于实物粒子其行为究竟应该用经典力学来描写还是用量子力学来描写。

c.对于微观粒子的能量E及它在能态上,停留的之间也有下面的测不准关系:平均时间不确定度关系这说明原子光谱有一定宽度，实验已经证实这一点。原子处于激发态的平均寿命一般为于是激发态能级的宽度为：不确定度关系由于根据不确定性关系得解：枪口直径可以当作子弹射出枪口时位置的不确定量。和子弹飞行速度每秒几百米相比,这速度的不确定性是微不足道的,所以子弹的运动速度是确定的。

例题18-11设子弹的质量为0.01㎏,枪口的直径为0.5㎝。试求子弹射出枪口时的横向速度的不确定量。不确定度关系

例题18-12电视显象管中电子的加速度电压为10kV,电子枪的枪口的直径为0.01㎝.试求电子射出电子枪后的横向速度的不确定量。解：电子横向位置的不确定量由于,所以电子运动速度相对来说仍然是相当确定的,波动性不起什么实际影响。不确定度关系例题18-13试求原子中电子速度的不确定量,取原子的线度约为10-10m。由不确定关系式得解原子中电子位置的不确定量由玻尔理论可估算出氢原子中电子的轨道运动速度约为,可见速度的不确定量与速度大小的数量级基本相同.因此原子中电子在任一时刻没有完全确定的位置和速度,也没有确定的轨道,不能看成经典粒子,波动性十分显著。不确定度关系例题18-14实验测定原子核线度的数量级为10-14m，试应用不确定度关系来估算电子如被束缚在原子核中的动能。从而判断原子核是由质子和电子组成是否可能。由于动量的数值不可能小于它不确定量，故电子的动量解取电子在原子核中位置的不确定量由不确定度关系得不确定度关系理论证明，电子具有这样大的动能足以把原子核击碎，所以，把电子禁锢在原子核内是不可能的，这就否定了原子核是由质子和电子组成的假设。电子在原子核中的动能故考虑到电子在此动量下有极高的速度，需要应用相对论的能量动量公式不确定度关系§18-7波函数薛定谔方程1.波函数及其统计意义得到描写自由粒子的平面波波函数：利用关系

用某种函数表达式来表述与微观粒子相联系的物质波，该函数表达式称为物质波的波函数。机械波或物质波的物理意义可以通过与光波的对比来阐明物质波的强度大光强度大光波振幅平方大（波动观点）光子在该处出现的概率大（微粒观点）波函数振幅的平方大单个粒子在该处出现的概率大（波动观点）（微粒观点）波函数

在某一时刻，在空间某处，微观粒子出现的概率正比于该时刻、该地点波函数的平方。在空间一很小区域(以体积元dV=dxdydz表征)出现粒子的概率为：

称为概率密度，表示在某一时刻在某点处单位体积内粒子出现的概率。及单值、连续、有限等标准化条件归一化条件波函数还须满足：波函数试求：（1）常数A；（2）粒子在0到a/2区域出现的概率；（3）粒子在何处出现的概率最大？例18-8：作一微运动的粒子被束缚在0<x<a的范围内。

已知其波函数为

解:（1）由归一化条件得:（2）粒子的概率密度为:波函数在0<x<a/2区域内，粒子出现的概率为：（3）概率最大的位置应满足因0<x<a/2,故得粒子出现的概率最大。波函数2.定态薛定谔方程

薛定谔建立的适用于低速情况的、描述微观粒子在外力场中运动的微分方程,称为薛定谔方程。

质量为m

的粒子在势能为的外力场中运动，含时薛定谔方程为：拉普拉斯算符薛定谔用分离变量法：代入薛定谔方程，采用分离变量，得到:讨论势能函数与时间无关的情形，即，此时粒子的能量是一个与时间无关的常量，这种状态称为定态，对应的波函数称为定态波函数。定态薛定谔方程令等式两端等于同一常数定态薛定谔方程定态薛定谔方程§18-8势阱中的粒子势垒谐振子1.一维无限深势阱

若质量为m的粒子，在保守力场的作用下，被限制在一定的范围内运动，其势函数称为势阱。

为了简化计算，提出理想模型——无限深势阱。

一维无限深势阱：a保守力与势能之间的关系：在势阱边界处，粒子要受到无限大、指向阱内的力，表明粒子不能越出势阱,即粒子在势阱外的概率为0。势阱内的一维定态薛定谔方程为：解为：一维无限深势阱由边界条件得：据归一化条件，得得波函数表达式：一维无限深势阱(1)粒子能量不能取连续值得能量取分立值（能级），能量量子化是粒子处于束缚态的所具有的性质。由讨论：一维无限深势阱（2）粒子的最小能量不等于零最小能量

也称为基态能或零点能。零点能的存在与不确定度关系协调一致。一维无限深势阱(3)粒子在势阱内出现概率密度分布不受外力的粒子在0到a范围内出现概率处处相等。量子论观点：0a=1=2=3=4nnnn0a当很大时，量子概率分布就接近经典分布经典观点：一维无限深势阱（4）有限深势阱，粒子出现的概率分布

如果势阱不是无限深，粒子的能量又低于势璧，粒子在阱外不远处出现的概率不为零。0a

经典理论无法解释，实验得到证实。一维无限深势阱得到两相邻能级的能量差例题18-15设想一电子在无限深势阱，如果势阱宽度分别为1.0×10-2m和10-10m。试讨论这两中情况下相邻能级的能量差。解：根据势阱中的能量公式当a=1cm时可见两相邻能级间的距离随着量子数的增加而增加，而且与粒子的质量m和势阱的宽度a有关。一维无限深势阱在这种情况下，相邻能级间的距离是非常小的，我们可以把电子的能级看作是连续的。当a=10-10m时在这种情况下，相邻能级间的距离是非常大的，这时电子能量的量子化就明显的表现出来。一维无限深势阱可见能级的相对间隔随着n的增加成反比地减小。当时，较之要小的多。这时，能量的量子化效应就不显著了，可认为能量是连续的，经典图样和量子图样趋与一致。所以，经典物理可以看作是量子物理中量子数时的极限情况。当n>>1时,能级的相对间隔近似为一维无限深势阱例题18-16试求在一维无限深势阱中粒子概率密度的最大值的位置。解：一维无限深势阱中粒子的概率密度为将上式对x求导一次，并令它等于零因为在阱内，即只有一维无限深势阱于是由此解得最大值得位置为例如最大值位置最大值位置最大值位置可见，概率密度最大值的数目和量子数n相等。一维无限深势阱这时最大值连成一片，峰状结构消失，概率分布成为均匀，与经典理论的结论趋于一致。相邻两个最大值之间的距离如果阱宽a不变，当时一维无限深势阱2.一维势垒隧道效应

一维方势阱如图ⅠⅡⅢ粒子沿方向运动,当粒子可以通过势垒。当，实验证明粒子也能通过势垒,这只有由量子力学的到解释。设三个区域的波函数分别为在各区域薛定谔方程分别为令为实数一维势垒解为：一维势垒

三个区域中波函数的情况如图所示：隧道效应

在粒子总能量低于势垒壁高的情况下,粒子有一定的概率穿透势垒.此现象称为隧道效应。

贯穿势垒的概率定义为在处透射波的强度与入射波的强度之比：贯穿概率与势垒的宽度与高度有关。一维势垒扫描隧道显微镜(STM)原理：利用电子的隧道效应。

金属样品外表面有一层电子云，电子云的密度随着与表面距离的增大呈指数形式衰减，将原子线度的极细的金属探针靠近样品，并在它们之间加上微小的电压，其间就存在隧道电流，隧道电流对针尖与表面的距离及其敏感，如果控制隧道电流保持恒定，针尖的在垂直于样品方向的变化，就反映出样品表面情况。48个Fe原子形成“量子围栏”，围栏中的电子形成驻波。

STM的横向分辨率已达，纵向分辨达,STM的出现，使人类第一次能够适时地观察单个原子在物质表面上的排列状态以及表面电子行为有关性质。扫描隧道显微镜3.谐振子谐振子的势能为薛定谔方程为其能量本征值为基态能(零点能)能级间隔一维谐振子的能级谐振子1.氢原子的薛定谔方程氢原子中电子的势能函数定态薛定谔方程为使求解的问题变得简便,通常采用球坐标。xyzθφ）r电子原核子§18-9量子力学中的氢原子问题拉普拉斯算符变为：设波函数为代入薛定谔方程，采用分离变量法得到三个常微分方程。在解波函数时，考虑到波函数应满足的标准条件，很自然地得到氢原子的量子化特征。氢原子（1）能量量子化同玻尔得到的氢原子的能量公式一致，但却没有认为的假设。在求解得到氢原子能量必须满足量子化条件为称为主量子数氢原子n=1基态能量n=2,3,…

对应的能量称为激发态能量当n很大时，能级间隔消失而变为连续。

对应于电子被电离，氢原子的电子电离能为：当

，12345氢原子

说明角动量只能取由l决定的一系列分立值，即角动量也是量子化的。（2）轨道角动量量子化和角量子数

处于能级的原子,其角动量共有n种可能值，即,用s,p,d,…表示角动量状态。l=0,1,2,...,n-1()

在求解角量为变量的函数所满足的方程时，进一步得到角动量量子化的结果。称

为角量子数，或副量子数。氢原子氢原子内电子的状态n=1n=2n=3n=4n=5n=6l=0l=1l=5l=4l=3l=2(s)(p)(h)(g)(f)(d)1s5f5d5p5s6s6p6d6f6g6h4s3s3p4f3d4p4d5g2p2s氢原子（3）轨道角动量空间量子化和磁量子数称为磁量子数。对于一定的角量子数可以取个值。氢原子中电子绕核运动的角动量不仅大小取分离值，其方向也有一定限制。若取外磁场B的方向为

轴，角动量在

轴上的投影只能取氢原子角动量的空间量子化氢原子例19-10设氢原子处于2p态，求氢原子的能量、角动量大小

及角动量的空间取向。解：2p态表示n=2,l=1。得角动量的大小为

当l=1时，ml的可能值是-1,0,+1，角动量方向与外磁场的夹角可能值为：根据氢原子3.氢原子中电子的概率分布要知道电子在氢原子中的分布，必须要知道定态波函数：称为径向函数；称为角分布函数。以下给出前几个函数：角分布函数：为玻尔半径电子的概率分布电子的径向分布概率为表示电子出现在至的球壳中的概率。电子的概率分布氢原子中电子径向概率分布电子的概率分布电子的角分布概率由决定。与无关，表示角向概率密度对于轴具有旋转对称性由坐标原点引向曲线的长度表示方向的概率大小氢原子中电子的角分布电子的概率分布

1921年，施特恩（O.Stern）和格拉赫（W.Gerlach）发现一些处于S态的原子射线束，在非均匀磁场中一束分为两束。准直屏原子炉磁铁NS§18-10电子的自旋原子的电子壳层结构1.施特恩-格拉赫实验由自旋产生的磁矩称为自旋磁矩由自旋产生的角动量为其方向与磁矩方向相反。1925年，乌仑贝克(G.E.Uhlenbeck)和古兹密特(S.A.Goudsmit)提出电子自旋假说。把电子绕自身轴线的转动称为自旋。2.电子的自旋S电子的自旋自旋磁量