初中数学人教版九年级上册第二十四章圆单元复习【市一等奖】

4-10切线长定理和内切圆人教九上一、学习目标理解切线长的定义；掌握切线长定理，并能灵活运用切线长定理解题；了解三角形的内切圆、三角形的内心、圆的外切三角形的概念，会作已知三角形的内切圆；通过探究作三角形的内切圆的过程，归纳内心的性质，进一步提高归纳和作图的能力．二、知识回顾确定圆的条件是什么？（1）圆心与半径；（2）不在同一直线上的三点．叙述角平线的性质与判定．性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．判定：到一个角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．和圆有唯一公共的的直线叫圆的切线；圆的切线垂直于过切点的半径．三、新知讲解扫一扫，有惊喜哦！1．切线长经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长，叫做这点到圆的切线长．几何语言：如图，过圆O外一点P作圆的一条切线，切点为A，则线段PA的长叫做点P到圆O的切线长．2．切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．如图，因为PAPB是圆O的两条切线，所以（1）PA=PB；（2）∠APO=∠BPO=∠APB．3．三角形的内切圆与三角形各边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆．这个三角形叫做圆的外切三角形．4．三角形的内心三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，这点到三边的距离相等，且必在三角形内部．四、典例探究1．应用切线长定理求角度【例1】（2014春•鹿城区校级期末）如图，PA，PB分别是⊙O的切线，A，B分别为切点，点E是⊙O上一点，且∠AEB=60°，则∠P为（）A．120°B．60°C．30°D．45°总结：切线长定理为证明线段相等、角相等、弧相等，垂直关系等提供了理论依据，结合圆周角定理、三角形内角和、等边对等角等性质即可求得角的度数．练1．（2011秋•杭州期末）如图，PA、PB、CD分别切⊙O于A、B、E，CD交PA、PB于C、D两点，若∠P=40°，则∠PAE+∠PBE的度数为（）A．50°B．62°C．66°D．70°2．应用切线长定理求线段长【例2】（2014•毕节市三模）在三角形ABC中，BC=14，AC=9，AB=13，它的内切圆分别和BC、AC、AB切于点D、E、F，那么AF、BD、CE的长分别为（）A．AF=4，BD=9，CE=5B．AF=4，BD=5，CE=9C．AF=5，BD=4，CE=9D．AF=9，BD=4，CE=5总结：切线长定理为证明线段相等、角相等、弧相等，垂直关系等提供了理论依据，结合已知线段之间的关系可以求出线段长，计算过程要注意等量代换和方程思想的应用．练2．（2014秋•如皋市校级月考）如图，PA、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线，分别相交于C、D，已知△PCD的周长等于10cm，则PA=cm．3．已知三角形内切圆求角度【例3】（2015•宁波校级模拟）如图，⊙O内切于△ABC，切点D，E，F分别在BC，AB，AC上．已知∠B=50°，∠C=60°，连结OE，OF，DE，DF，那么∠EDF等于（）A．40°B．55°C．65°D．70°总结：1．三角形的内切圆于外接圆的区别：“切”和“接”是指三角形的三边与圆的位置关系，而“内”和“外”是指三角形与圆的相对位置；2．利用三角形内切圆的定义可得到90°角，以及相等角等条件，求角度时要善于利用这些隐含条件．练3．（2015•包头一模）如图，△ABC中，AB=AC，∠A为锐角，CD为AB边上的高，点O为△ACD的内切圆圆心，则∠AOB=．4．已知三角形边长，求内切圆半径【例4】（2014秋•海门市期末）已知三角形三边长分别为5cm、5cm、6cm，则这个三角形内切圆的半径是（）A．cmB．cmC．2cmD．3cm总结：1．一般三角形内切圆半径的求法：设△ABC的三边为a，b，c，面积为S，则△ABC的内切圆的半径；2．直角三角形内切圆半径的求法：设Rt△ABC的直角边为a，b，斜边为c，则Rt△ABC的内切圆的半径或．练4．（2012秋•新沂市校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BC=5cm，AC﹣AB=1cm．（1）求AB、AC的长；（2）求△ABC内切圆的半径．五、课后小测一、选择题1．（2015•繁昌县二模）如图，在△ABC中，∠BAC=40°，点P是△ABC的内心，则∠BPC=（）A．80B．110C．130D．1402．（2012秋•岳池县期末）如图，从⊙O外一点P引圆的两条切线PA、PB，切点分别是A、B，如果∠APB=60°，线段PA=10，那么弦AB的长是（）A．10B．12C．5D．103．（2014秋•定陶县期中）如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA=8，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则△PCD的周长是（）A．8B．18C．16D．144．（2009秋•平塘县校级期末）如图，直线AB、CD、BC分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，若OB=6cm，0C=8cm，则BE+CG的长等于（）A．13B．12C．11D．105．（2013秋•汉川市期末）如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C=90°，若AC=12cm，BC=9cm，则⊙O的半径（）A．3cmB．6cmC．9cmD．15cm6．（2012•杭州模拟）如图，若正△A1B1C1内接于正△ABC的内切圆，则△A1B1C1与△ABC的面积的比值为（）A．B．C．D．7．（2015•秦皇岛校级模拟）如图，一圆内切四边形ABCD，且BC=10，AD=7，则四边形的周长为（）A．32B．34C．36D．388．（2015•慈溪市一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，则它的内切圆与外接圆半径分别为（）A．，B．2，5C．1，D．2，9．（2014春•海曙区校级期中）如图，花边带上正三角形的内切圆半径为1cm．如果这条花边带有100个圆和100个正三角形，则这条花边的面积为（）A．150πB．150C．300D．200二、填空题10．（2013秋•滨湖区校级期末）如图示PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，直线EF也是⊙O的切线，Q是切点，交PA、PB于E、F点．若PA=10cm，则△PEF的周长为20cm；若∠APB=50°，则∠EOF的度数为65°．11．（2014秋•江阴市期中）如图，在△ABC中，已知∠C=90°，BC=6，AC=8，则它的内切圆半径是2．12．（2012•盘锦模拟）如图，⊙O内切于△ABC，切点分别为D、E、F，且DE∥BC，若AB=8cm，AD=5cm，则△ADE的周长是cm．，三、解答题13．（2011秋•广东期末）如图，PA、PB、DE切⊙O于点A、B、C、D在PA上，E在PB上，（1）若PA=10，求△PDE的周长．（2）若∠P=50°，求∠O度数．14．（2011秋•港闸区校级期中）如图，PA，PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，△PCD的周长为12，∠APB=60°．求：（1）PA的长；（2）∠COD的度数．15．（2013秋•南京期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3．（1）该三角形的外接圆的半径长等于；（2）用直尺和圆规作出该三角形的内切圆（不写作法，保留作图痕迹），并求出该三角形内切圆的半径长．更多练习>>

典例探究答案：【例1】（2014春•鹿城区校级期末）如图，PA，PB分别是⊙O的切线，A，B分别为切点，点E是⊙O上一点，且∠AEB=60°，则∠P为（）A．120°B．60°C．30°D．45°分析：连接OA，BO，由圆周角定理知可知∠AOB=2∠E=120°，PA、PB分别切⊙O于点A、B，利用切线的性质可知∠OAP=∠OBP=90°，根据四边形内角和可求得∠P=180°﹣∠AOB=60°．解答：解：连接OA，BO，∵∠AOB=2∠E=120°，∴∠OAP=∠OBP=90°，∴∠P=180°﹣∠AOB=60°．故选B．点评：本题考查了切线的性质，切线长定理以及圆周角定理，利用了四边形的内角和为360度求解．练1．（2011秋•杭州期末）如图，PA、PB、CD分别切⊙O于A、B、E，CD交PA、PB于C、D两点，若∠P=40°，则∠PAE+∠PBE的度数为（）A．50°B．62°C．66°D．70°分析：由PA、PB、CD分别切⊙O于A、B、E，CD交PA、PB于C、D两点，根据切线长定理即可得：CE=CA，DE=DB，然后由等边对等角与三角形外角的性质，可求得∠PAE=∠PCD，∠PBE=∠PDC，继而求得∠PAE+∠PBE的度数．解答：解：∵PA、PB、CD分别切⊙O于A、B、E，CD交PA、PB于C、D两点，∴CE=CA，DE=DB，∴∠CAE=∠CEA，∠DEB=∠DBE，∴∠PCD=∠CAE+∠CEA=2∠CAE，∠PDC=∠DEB+∠DBE=2∠DBE，∴∠CAE=∠PCD，∠DBE=∠PDC，即∠PAE=∠PCD，∠PBE=∠PDC，∵∠P=40°，∴∠PAE+∠PBE=∠PCD+∠PDC=（∠PCD+∠PDC）=（180°﹣∠P）=70°．故选D．点评：此题考查了切线长定理、等腰三角形的性质、三角形外角的性质以及三角形内角和定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．【例2】（2014•毕节市三模）在三角形ABC中，BC=14，AC=9，AB=13，它的内切圆分别和BC、AC、AB切于点D、E、F，那么AF、BD、CE的长分别为（）A．AF=4，BD=9，CE=5B．AF=4，BD=5，CE=9C．AF=5，BD=4，CE=9D．AF=9，BD=4，CE=5分析：利用切线长定理可以得到AE=AF，BF=BD，CD=CE，因而可以设AF=xcm，BD=ycm，CE=zcm，根据BC=14，AC=9，AB=13，即可得到一个关于x，y，z的方程组，即可求解．解答：解：设AF=xcm，BD=ycm，CE=zcm．∵AF、AE是圆的切线，∴AE=AF=xcm，同理：BF=BD=ycm，CD=CE=zcm．根据题意得：，解得：．即：AF=4，BD=9，CE=5．故选A．点评：本题考查了切线长定理，利用切线长定理，把求线段长的问题转化成解方程组的问题，体现了方程思想的应用．练2．（2014秋•如皋市校级月考）如图，PA、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线，分别相交于C、D，已知△PCD的周长等于10cm，则PA=5cm．分析：由于DA、DC、BC都是⊙O的切线，可根据切线长定理，将△PCD的周长转换为PA、PB的长，然后再进行求解．解答：解：如图，设DC与⊙O的切点为E；∵PA、PB分别是⊙O的切线，且切点为A、B；∴PA=PB；同理，可得：DE=DA，CE=CB；则△PCD的周长=PD+DE+CE+PC=PD+DA+PC+CB=PA+PB=10（cm）；∴PA=PB=5cm，故答案为：5．点评：此题主要考查了切线长定理的应用，能够将△PCD的周长转换为切线PA、PB的长是解答此题的关键．【例3】（2015•宁波校级模拟）如图，⊙O内切于△ABC，切点D，E，F分别在BC，AB，AC上．已知∠B=50°，∠C=60°，连结OE，OF，DE，DF，那么∠EDF等于（）A．40°B．55°C．65°D．70°分析：根据三角形的内角和定理求出∠A，根据多边形的内角和定理求出∠EOF，根据圆周角定理求出∠EDF即可．解答：解：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠B=45°，∠C=65°，∴∠A=70°，∵⊙O内切于△ABC，切点分别为D、E、F，∴∠OEA=∠OFA=90°，∴∠EOF=360°﹣∠A﹣∠OEA﹣∠OFA=110°，∴∠EDF=∠EOF=55°．故选B．点评：本题主要考查对三角形的内切圆与内心，三角形的内角和定理，多边形的内角和定理，圆周角定理等知识点的理解和掌握，能求出∠EOF的度数是解此题的关键．练3．（2015•包头一模）如图，△ABC中，AB=AC，∠A为锐角，CD为AB边上的高，点O为△ACD的内切圆圆心，则∠AOB=135°．分析：本题求的是∠AOB的度数，而题目却没有明确告诉任何角的度数，因此要从隐含条件入手；CD是AB边上的高，则∠ADC=90°，那么∠BAC+∠ACD=90°；O是△ACD的内心，则AO、CO分别是∠DAC和∠DCA的角平分线，即∠OAC+∠OCA=45°，由此可求得∠AOC的度数；再根据∠AOB和∠AOC的关系，得出∠AOB．解答：解：如图．连接CO，并延长AO到BC上一点F，∵CD为AB边上的高，∴∠ADC=90°，∴∠BAC+∠ACD=90°；又∵O为△ACD的内切圆圆心，∴AO、CO分别是∠BAC和∠ACD的角平分线，∴∠OAC+∠OCA=（∠BAC+∠ACD）=×90°=45°，∴∠AOC=135°；在△AOB和△AOC中，，∴△AOB≌△AOC（SAS），∴∠AOB=∠AOC=135°．故答案为：135°．点评：本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内切圆的意义、三角形内角和定理、直角三角形的性质；难点在于根据题意画图，由于没任何角的度数，需要充分挖掘隐含条件．此类题学生丢分率较高，需注意．【例4】（2014秋•海门市期末）已知三角形三边长分别为5cm、5cm、6cm，则这个三角形内切圆的半径是（）A．cmB．cmC．2cmD．3cm分析：由⊙O是△ABC的内切圆，⊙O切AB于E，切BC于D，根据切线长定理得到AB=AC，A，O，D三点共线，求得BD，AD，BE，AE，由勾股定理列方程求解．解答：解：如图，∵⊙O是△ABC的内切圆，⊙O切AB于E，切BC

于D，∵AB=AC=5，∴A，O，D三点共线，∴BD=BC=3，∴AD==4，∴BE=BD=3，∴AE=2，设三角形内切圆的半径为r，∴（4-r）2=22+r2，∴r=cm，∴三角形内切圆的半径为cm．

故选B．点评：本题主要考查对三角形的内切圆与内心，切线长定理，切线的性质，正方形的性质和判定，勾股定理的逆定理等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．练4．（2012秋•新沂市校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BC=5cm，AC﹣AB=1cm．（1）求AB、AC的长；（2）求△ABC内切圆的半径．分析：（1）设AB=xcm，则AC=（x+1）cm，根据勾股定理得出方程（x+1）2﹣x2=52，求出x即可；（2）设内切圆的半径为y，根据三角形面积公式得出S△ABC=×5×12=×5r+×12r+×13r，求出即可．解答：解：（1）设AB=xcm，则AC=（x+1）cm，∵在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2﹣AB2=BC2，∴（（x+1）2﹣x2=52，解得：x=12，即AB=12cm，AC=13cm；（2）连接AO、BO、CO、OD、OE、OF，设内切圆的半径为y，根据题意，得S△ABC=×5×12=×5r+×12r+×13r，解得：r=2，即所求内切圆的半径为2cm．点评：本题考查了三角形的面积，三角形的内切圆和内心，勾股定理的应用，用了方程思想．课后小测答案：一、选择题1．（2015•繁昌县二模）如图，在△ABC中，∠BAC=40°，点P是△ABC的内心，则∠BPC=（）A．80B．110C．130D．140解：在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°﹣∠BAC=180°﹣40°=140°，∵点P是△ABC的内心，∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=ACB，∴∠PBC+∠PCB=（∠ABC+∠ACB）=×140=70°，∴∠BPC=180°﹣（∠PBC+∠PCB）=180﹣70=110°．故选B．2．（2012秋•岳池县期末）如图，从⊙O外一点P引圆的两条切线PA、PB，切点分别是A、B，如果∠APB=60°，线段PA=10，那么弦AB的长是（）A．10B．12C．5D．10解：∵PA、PB都是⊙O的切线，∴PA=PB，∵∠APB=60°，∴△PAB是等边三角形，∴AB=PA=10．故选A．3．（2014秋•定陶县期中）如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA=8，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则△PCD的周长是（）A．8B．18C．16D．14解：∵PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，∴PB=PA=8，CA=CE，DB=DE，∴△PCD的周长=PC+CE+PD=PC+CE+DE+PC=PC+CA+DB+PD=PA+PB=16．故选：C．4．（2009秋•平塘县校级期末）如图，直线AB、CD、BC分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，若OB=6cm，0C=8cm，则BE+CG的长等于（）A．13B．12C．11D．10解：∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD=180°，∵CD、BC，AB分别与⊙O相切于G、F、E，∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠BCD，BE=BF，CG=CF，∴∠OBC+∠OCB=90°，∴∠BOC=90°，∴BC==10，∴BE+CG=10（cm）．故选D．5．（2013秋•汉川市期末）如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C=90°，若AC=12cm，BC=9cm，则⊙O的半径（）A．3cmB．6cmC．9cmD．15cm解：如图：连接DO，FO，在Rt△ABC，∠C=90°，BC=9cm，AC=12cm，根据勾股定理AB==15（cm），四边形OECF中，OD=OF，∠ODC=∠OFC=∠C=90°，∴四边形OFCD是正方形，由切线长定理，得：AD=AE，BE=BF，CD=CF，∴CD=CF=（AC+BC﹣AB），即r=（9+12﹣15）=3（cm）．故选：A．6．（2012•杭州模拟）如图，若正△A1B1C1内接于正△ABC的内切圆，则△A1B1C1与△ABC的面积的比值为（）A．B．C．D．解：设圆心为O，AB与圆相切于点D，连接AO，DO，∵△A1B1C1和△ABC都是正三角形，∴它们的内心与外心重合；如图：设圆的半径为R；Rt△OAD中，∠OAD=30°，OD=R；AO=OD•=R，即AB=2R；同理可求得：A1B1=R，∴==，则△A1B1C1与△ABC的面积的比值为：（）2=．故选：C．7．（2015•秦皇岛校级模拟）如图，一圆内切四边形ABCD，且BC=10，AD=7，则四边形的周长为（）A．32B．34C．36D．38解：由题意可得圆外切四边形的两组对边和相等，所以四边形的周长=2×（7+10）=34．故选：B．8．（2015•慈溪市一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，则它的内切圆与外接圆半径分别为（）A．，B．2，5C．1，D．2，解：∵AB=5，AC=3，∴BC==4，∴外接圆半径==，∵四边形ODCE是正方形，且⊙O是△ABC的内切圆，∴内切圆半径==1．故选C．9．（2014春•海曙区校级期中）如图，花边带上正三角形的内切圆半径为1cm．如果这条花边带有100个圆和100个正三角形，则这条花边的面积为（）A．150πB．150C．300D．200解：从中选择一个等边三角形和其内接圆如图，⊙O是△ABC的内切圆，⊙O切AB于F，切AC于E，切BC于D，连接AD，OB，则AD过O（因为等边三角形的内切圆的圆心再角平分线上，也在底边的垂直平分线上），∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，∵⊙O是△ABC的内切圆，∴∠OBC=∠ABC=30°，∵⊙O切BC于D，∴∠ODB=90°，∵OD=1，∴OB=2，由勾股定理得：BD==，∴BC=2，∴S△ABC=BC•AD=××3=3．∴这条花边的面积=100S△ABC=300，故选C．二、填空题10．（2013秋•滨湖区校级期末）如图示PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，直线EF也是⊙O的切线，Q是切点，交PA、PB于E、F点．若PA=10cm，则△PEF的周长为20cm；若∠APB=50°，则∠EOF的度数为65°．解：∵PA、PB是⊙O的切线，∴PA=PB，∵EF也是⊙O的切线，∴EA=EQ，FB=FQ，∴△PEF的周长=PA+PB=10+10=20cm，∵∠APB=50°，∴∠AOB=130°，∴∠EOF=65°．故答案为：20，65°．11．（2014秋•江阴市期中）如图，在△ABC中，已知∠C=90°，BC=6，AC=8，则它的内切圆半径是2．解：根据勾股定理得：AB==10，设三角形ABC的内切圆O的半径是r，∵圆O是直角三角形ABC的内切圆，∴OD=OE，BF=BD，CD=CE，AE=AF，∠ODC=∠C=∠OEC=90°，∴四边形ODCE是正方形，∴OD=OE=CD=CE=r，∴AC﹣r+BC﹣r=AB，8﹣r+6﹣r=10，∴r=2，故答案为：2．12．（2012•盘锦模拟）如图，⊙O内切于△ABC，切点分别为D、E、F，且DE∥BC，若AB=8cm，AD=5cm，则△ADE的周长是cm．解：∵AD、AE是圆的切线，∴AD=AE，又∵DE∥BC，∴=，∴AB=AC，BD=CE．∵AB=8cm，AD=5cm，∴BD=AB﹣A