概率论概率论初步重要知识点

第十四章概率论初步第一节事件与概率一、随机事件和样本空间在研究自然界和人类社会时， 人们可观察到各种现象， 按它是否带有随机性将它们划分为两类。一类是在一定条件下必然会发生的现象，称这类现象为确定性现象。例如苹果从树上掉下来总会落到地上，三角形的内角和一定为 1800。另一类现象是在一定条件可能出现也可能不出现的现象，称这类现象为随机现象。例如掷一枚质地均匀的硬币时，它可能出现正面向上，也可能出现反面向上等。对于随机现象的一次观察，可以看作是一次试验，如果某种试验满足以下条件：(1)试验可在相同条件下重复地进行；(2)每次试验的结果可能不止一个，并且能事先确定试验的所有可能的结果 ；(3)每次试验的结果事先不可预测，称这种试验为随机试验。随机试验的每一个可能的结果，称为基本事件，它们的全体，称作样本空间，通常用字母 表示。样本空间的元素即基本事件，有时也称作样本点，常用 表示。例1、一次掷两颗骰子，观察每颗的点数解：={(i,j)|i,j 1、2、3456)其中i,j表示第一颗掷出i点，第二颗掷出j点,显然， 共有36个样本点。例2、一个盒子中有十个完全相同的球，分别标以号码1、2、、10从中任取一球，解：令i 取出球的号码为i则 {1、2、＞10)称样本空间 的某一子集为一个随机事件，简称事件，通常用大写英文字母 A、B、C表不。如在例2中，A=取出球的标号为奇数因为是所有基本事件所组成， 因而在任一次试验中，必然要出现 中的某一些基本事件，即，也即在试验中， 必然会发生，又用 来代表一个必然事件。相应地，空集可以看作是 的子集，在任意一次试验中，不可能有 ，即永远不可能发生，所以 是不可能事件。我们可用集合论的观点研究事件，事件之间的关系与运算如下：(1)包含 如果在一次试验中，事件A发生必然导致事件B发生，则称事件B包含事件A，记为AB由例2,B球的标号为5,则BA(2)等价如果AB同时BA,则称事件A与事件B等价，记为A=B。由例2,若C{球的标号为1、357、9},则A=C(3)交事件"事件A与事件B同时发生"，这样的事件称为事件A与事件B的交(或积)，记作AB(或AB)BC{球的标号为5}n将交事件推广到有限个或可列个事件的情形 ，称A为n个事件AA2、、An的交事件，表示n个事件同时发生；称A为可列个事件A1、A2、、卜、的交事i1件，表示可列个事件同时发生。(4)并事件 "事件A与事件B至少有一个发生"，这样的一个事彳^称作事件 A与B的并，记作AB记D{球的标号3},则AD{球的标号为1、2、357、9}n同样将并事件推广到有限个或可列个事件的情形，称A为n个事件i1A1、A2、、An的并事件；称A为可列个事件A、A?、卜、 的并事件。i1(5)差事件"事件A发生而B不发生"，这样的事件称为事件A与B的差，记作AB。AB{球的标号为1、3、7、9}(6)互不相容事件 如果事件A与B不能同日^发生，也即AB是一个不可能事件，称A与B为互不相容事件，记为 AB记E{球的标号为4},则A与E为互不相容事件(7)逆事件又称对立事件 设事件A与B,如果AB，卜B,则称B为A的逆事件或对立事件，或称A与B互逆，B也记为A。例3、设A、B、C是中的随机事件，则事件"A发生，B、C都不发生"可表为ABC"A、B都发生，C不发生"可表为ABC"A、"A、B都发生，C不发生"可表为ABC"A、B、C中至少有一个发生"可表为ABC"A、B、C中不多于一个事件发生"可表为ABCABCABCABC"A、B、C中至少有两个事件发生"可表为ABCABCABCABC事件运算满足如下规则：(1)交换律ABBA,(2)结合律 (AB)CAABBA(BC),(AB)A(BC)(3)分配律A(BC)(AB)(AC),A(BC)(AB)(AC)DeMorgan定理(对偶原则)A―BAB,A―BAB推广到有限个和可列个的情形Aii1推广到有限个和可列个的情形Aii1Ai,Ai Aii1 i1 i1Ai A,AAii1 i1 i1i1事件是的某些子集，如果把"是事件"的这些子集归在一起，则得到一个类,记彳F,称作事件域，即F{A:A,A是事件}二、随机事件的概率定义1随机事件A发生可能性大小的度量(数值)，称为A发生的概率记作p(A)o概率具有下述性质：非负性：任给AF,0p1;规范性：p()1;(3) 可列可加性：任给AiF,i1、2(3) 可列可加性：任给p(.Ai) p(A)TOC\o"1-5"\h\z1 ii由此可得到以下结论：p()0,即不可能事件的概率为0;(2)有限可加性，若事件AA2、、An两两互不相容，n n则p(Aj p(Aj；\o"CurrentDocument"1 ii(3)事件A、B,如果AB,则有p(BA)p(B)p(A),p(A)p(B);(4)对任意事件A,有0p1;(5)对任意事件A,有p(A)1p(A)(6)对于任意事件A、B,有p(AB)p(A)p(B)p(AB),p(AB)p(A)p(B)该公式也可推广到有限个事件，较复杂在此省略。三、古典概率对于一个随机试验，如何寻求随机事件 A的概率p(A)呢？先讨论一类较为简单的随机试验，它具有两类共性：试验的所有可能结果只有有限个，即样本空间的元素(基本事件)为有限个，{1、 2、、n},在一次试验中有且仅有其中的一个基本事件发生；试验中每个事件 i(i1、2、、n)发生的可能性相等，即p(1)p(2) p(n)。具有上述两个特点的试验模型称为古典概型。如果古典概型中的所有基本事件的个数是 n,事件A包含的基本事件的个k数是k,则事件A的概率为 p(A)=-n

例4、盒内有5个双喜牌，3个双环牌乒乓球，从中任取2个，问两个都是双喜牌的概率？解：试验可能出现的结果共有Cs28种，其中取得两个为双喜牌所包含的基本事件数为 C；10种10p0.35728例5、从5双不同的鞋子中任取4只，问这4只鞋子中至少有2只成双的概率是多少？解：设A解：设A为"4只鞋子中至少有两只成双”的事件，A为"4只鞋子中没有成双”的事件，基本事件总数为Cio。A所包含基本事件数（先从5双中任取4双，再从抽出的4双中每双抽出1只）共有24C；种,—24事件，基本事件总数为Cio。A所包含基本事件数（先从5双中任取4双，再从抽出的4双中每双抽出1只）共有24C；种,—24 C54p(A)C10821所以p（A）81p(A)1-211321例6、（分房问题）设有n个人，每人都等可能地被分配到 N个房间中的任意间去住（nN）,求下列事件的概率（1）指定的n个房间各有一个人住;（2）恰好有n个房间，其中各住一个人。解：因为每人有N个房间可供选择，所以n个人住的方式共有Nn种,它们是等可能的。指定的n个房间各有一个人住，其可能总数为 n个人的全排列n!,p1n!不；n个房间可以在N个房间中任意选取，有CN种选法，cCNn! N!p2 NnNn(nn)!°例7、 某班级有n个人(n365),问至少有两个人的生日在同一天的概率为多大？解：A为事件"n个人至少有两个人的生日相同二人为事件"n个人的生日全不相同"p(A)N!Nn(Nn)!p(A)N!Nn(Nn)!p(A)1p(A)1- ,(N365)N(Nn)!四、条件概率1、条件概率前面讨论了一些简单的概率，实际上存在很多复杂的概率问题， 比如求在已知事件B发生的条件下事件A发生的概率，也记为求p(A|B)例8、某班共有60名学生，其中有10名视力减退，而这10名学生中有6名轻度近视，4名高度近视，现在班上任点一名学生，问： (1)点到的学生恰为高度近视的概率；(2)已知点到的一名学生视力减退，该生是高度近视的概率。解：设为A"点到的学生高度近视"事件，为B"点到的学生势力减退"事件… 4 1p(A)6015p(A|B)二-105又AB为事件”点到的学生既是视力减退又是高度近视p(B)p(A|B)10 1 4 1p(B)p(A|B)———,p(AB)——一60 6 60 1542 60 P(AB)5 10 p(B)60定义设A、定义设A、B为事件，且p(B)0,称p(A|B)P(AB)

P(B)为事件B发生的条件下事件A发生的条件概率。条件概率具有概率的三个基本性质：(1)非负性对任意的AF,p(A|B)0;

(2)规范性p(|B)1;（3）可列可加性 对任意的一列两两互不相容的事件 A（i122 ），有p(A|B) p(Ai|B)i1 一例9、一个家庭中有两个小孩，已知其中有一个是女孩，问这时另一个也是女孩的概率为多大？（假定一个小孩是男还是女是等可能的）解：=｛（男，男）、（男，女）、（女，男）、（女，女）｝A=｛已知有一个是女孩｝=｛（男，女）、（女，男）、（女，女）｝B=｛另一个也是女孩｝=｛（女,女）B=｛另一个也是女孩｝=｛（女,女）｝P(B|A)P(AB)

P(A)2、乘法定理定理（乘法定理）设任意事件A定理（乘法定理）设任意事件A、B,且p(B)0,则有P(AB)p(A|B)p(B)例10、有编号为1、2、3、4、5的五张卡片，第一次任取一张，且不放回，第二次在剩下的四张中人取一张，试求： （1）第一次取到奇数号卡片的概率； （2）第二次取到奇数号卡片的概率； （3）两次都取到奇数号卡片的概率。解：设A为事件”第一次取到奇数号卡片",B为事件"第二次取到奇数号卡片"p(A)(2)BABAB且ABABp(B)p(AB)p(AB)p(B|A)p(A)p(B|A)p(A)p(B)（3）p（AB）3、全概率公式32p(B)p(B|A)343（3）p（AB）3、全概率公式32p(B)p(B|A)34310定理（全概率公式）设B1、B2、Bn是列互不相容的事件，且有TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"Bi,p(Bi)0(i 1、2、 、n)n则对任一事件A有p(A)p(B)p(A|Bi)i证明：p(A)p(A\o"CurrentDocument"n n证明：p(A)p(A\o"CurrentDocument")p[A(Bi)]p[(AB)]1 i1np(Bi)p(A|Bi)=p(ABp(Bi)p(A|Bi)i1例11、某保险公司从保险的角度认为，人可分为两类，第一类是容易发生意外的人，另一类是比较谨慎的人，据该公司统计，易发生意外的人在固定的一年内的某个时刻出一次事故的概率为 0、4,而较谨慎的人的概率为0、2,若假定第一类人占30%,则一个新保险客户在他购买保险单后一年内可能发生一次意外事故的概率是多少？解：设A为事件"新保险客户在一年期间出现一次意外 ",B1为事件"新客户属第一类"，B2为事件"新客户属于第二类"，所以p(A)p(A|B1)p(B1)p(A|B2)p(B2)0.40.30.20.70.264、贝叶斯(Bayes)公式定理若设B1、B2、、Bn是一列互不相容的事件，且nBi ,p(Bi)0(i1、2、、n)i1则对任一事件A,有p(Bi|A) np(Bi'p(A|Bi)(i1、2、、n)p(Bj)p(A|Bj)j1例12、在上例中，如果一位新保险客户在他购买保险后一年内出了一次事故，问此客户是第一类人的概率是多少？解：p(B1|A) p(A|B1)p(B1)——但3至P(A|Bi)p(Bi)p(A|B2)P(B2) 0.26 13五、事件的独立性定义对任意的两个事件A、B,若p(AB)p(A)p(B)成立，则称事件A、B是相互独立的，简称为独立的。定义对于事件A、B、C,如果p(AB)p(A)p(B)p(AC)p(A)p(C)p(BC)p(B)p(C)p(ABC)p(A)p(B)p(C)则称事件A、B、C相互独立。例13、 设甲、乙、丙三射手独立地射击同一目标，他们击中目标的概率分别是0、9,0、88,0、8,求在一次射击中，目标被击中的概率。解：设A1、A2、A3分别为事件"甲、乙、丙独立击中目标”，B为事件"目标被击中"，A1、A2、A3相互独立，则A1、A2、A3相互独立。BA1A2A3p(B)p(AiA2%)1p(AA2A3)1pRKA)=1p(A1)p(A2)p(A3)10.10.120.20.9976六、贝努里概型一般地说，如果试验只有两个可能的结果： A及A,并且p(A)p,p(A)1pq(其中0p1),将该试验独立地重复n次的试验构成了一个试验，这个试验称作n重贝努里试验，简称为贝努里试验或贝努里概型。在n重贝努里试验中，若事件A在一次试验中发生的概率为 p,在n重贝努里试验中，事件A恰好发生k次的概率记为pn(k),则k—knkpn(k)Cnpq,q1p例14、甲、乙两个篮球运动员，投篮命中率分别为 0、8和0、7,每人投篮3次,试求：(1)两人进球数相等的概率； (2)甲比乙进球数多的概率。解：令A为事件“甲投篮命中”，B为事件“乙投篮命中” 则p(B)0.3p(A)0.8,p(A)0.2；p(B)0.7,

p(B)0.3p1C300.8p1C300.800.23C00.700.33c30.810.22c30.710.32+C；0.820.21八3cc3CC0p2C30.8 0.2C；0.830.20C320.820.21C；0.720.31C30.83C320.720.31 C330.83C300.700.33C320.82C300.700.33 C31 0.810.20C330.730.300.20C30.710.32+0.21 C30.710.32+0.22C300.700.33例15、某大学的校乒乓球队与系乒乓球队举行对抗赛，校队的实力较系队强，当一个校队运动员与一个系队运动员比赛时，校队运动员获胜的概率为 0、6,现校系双方商量对抗赛的方式，提出三种方案：（1）双方各出3人；（2）双方各出5人；（3）双方各出7人。三种方案中均以比赛得胜人数多的一方为胜利，问：对系队来说，哪种方案有利？解：设系队得胜人数为 ，则上述三种方案中，系队的胜的概率为3p(2) C；(0.4)k(0.6)3k0.352k25p(3)C：(0.4)k(0.6)5k0.317k37p(4)C；(0.4)k(0.6)7k0.290k4对系队来说，第一种方案有利。第二节随机变量及其数字特征一、随机变量在随机现象中，有一部分问题与数值直接发生关系， 例如投掷被子出现的点数为X,为一个可能取值为1、2、3、4、5、6的变量。即使与数值无关的随机现象，也常常能联系数值来描述，例如抛一枚硬币，正面向上记为1,反面向上记为0,这样就可以将随机事件的结果直接和数值相联系。随机事件的结果可以用一个数 X来表示，这个X随着结果不同而变化，称X为随机变量。根据随机变量可能取得的值，将随机变量分为离散型随机变量和连续型随机变量。如果随机变量可能取得的数值为有限个或无穷个孤立的数值，则称为离散型随机变量；如果随机变量可取某一(有限或无限)区间的任何数值，则称为连续型随机变量。对一个随机变量X,不仅要了解它取哪些值，而且要了解取各个值的概率，即它的取值规律，通常把X取值的规律称为X的分布。(一)离散型随机变量的概率分布定义设离散型随机变量X的所有可能取值为x1、x2 (有限个或可列个)，则称p(xjp(Xx)i1、2、为随机变量X的概率分布。显然 p(xi)满足以下关系：p(xi)0i1、2、P(Xi)1i1离散型随机变量X的概率分布常用以下形式表示TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"X x1x2 xn\o"CurrentDocument"p(x)p(x1)p(x2) p(4)例1、投掷被子，出现的点数X,全部取值可列成下表：\o"CurrentDocument"X 1 2 3 4 5 6\o"CurrentDocument"p(x) 16 16 16 ^6 16 16例2、设射手每次射击击中目标的概率为 p(0p1),该射手不断向一目标射击，直到击中目标为止，则射击次数的概率分布为P(k)(1P)k1P,1、2直到击中目标为止，则射击次数的概率分布为P(k)(1P)k1P,1、2、3用分布列表不为P(k)P(1P)P(1P)k(1P)k以下介绍四种常用的离散型随机变量及其概率分布(1)两点分布设随机变量只取两个可能值1,它的概率分布为P(k)p(1)两点分布设随机变量只取两个可能值1,它的概率分布为P(k)pk(1\1kP)(0p1)则称服从两点分布。相应的分布列为P(k)1P如果一个随机试验只有两种结果,P(k)1P如果一个随机试验只有两种结果,即它的样本空间只有两个元素,{1，2),0当0当(){1当1来描述这个随机试验的结果。2二项分布假定在n重贝努里试验中，每次试验事件 A发生的概率为P,不发生的概率为q1p,用表示n重贝努里试验中事件 A发生的次数，显然是一个随机变量，P(k)C：Pkqnk, k1、2、、n将n重贝努里试验中事件A发生k次的概率称为二项分布，记为b(k;n,p)。当n1时的二项分布就是两点分布。例3、设某棒球手击球得分的概率是 0、1,那么他击球5次，得分少于3的概率是多少？解：P5(X3)P5(X0)P5(X。P5(X2)=C；0.100.95C；0.110.94cl0.120.930.9914普阿松(poisson)分布 在二项分布中，当n很大，p很小时，二项分布可用普阿松(poisson)分布去逼近。kPn( k)--e, (np)k!其中k是试验n、次,事件A发生的次数。例4、某电话交换台有300个用户，在一小时内每一电话用户使用电话的概率等于0、01,求在一小时内有4个用户使用电话的概率。解：设在一小时内使用电话的用户数为 ，则服从二项分布，p(4)C34000.0140.99296由于n300,p0.01,有np3000.013- 34 3故有p(4)一e0.1684!几何分布 设在可列重贝努里试验中，事件 A发生的概率为p,记A首次出现时的试验次数为，它的可能取值为12、3 ，则其概率分布k1p(k)qp,k1、2、3 称为几何分布，记为g(k;p)。(二)、连续型随机变量及其概率密度定义设随机变量X,如果存在非负可积函数 f(x),(x),使得对任意b实数ab,有p(aXb)f(x)dx,则称X为为连续型随机变量， 称af(x)为X的概率密度函数，简称概率密度或分布密度。概率密度有下列性质：性质1 f(x)0性质2 f(x)dx1x为任意实数x为任意实数，则称函数F(x)p(的分布函数。0.6,求一次投篮时命中次数的分布律和分布函数。,显然为随机变量，它的可能取值为 0和1,，一… 0 1的分布律为p0.40.6连续型随机变量在任一点处的概率都是p(Xa)limp(aXax)x0p(aXb)p(aXb)p(a例5、设随机变量X的概率密度为求：(1)系数A; (2)p(0解：(1)由于 f(x)dx1,则1Ae卜dx2Aexdx2A,0,、 11x(2) p(0 1)—exdx2。(三)、分布函数及随机变量函数的分布定义设是一个随机变量，(x)为例6、某人投篮命中的概率为解：设一次投篮命中次数为0表示命中0次，即未投中1表不命中1次。易知，

0。axlimf(x)dx0x0abXb)p(aXb)f(x)dxaf(x) Ae|x|,(x)1)~, 1所以A12e1当x0时，( x)为不可能事件， 所以F(x)p(x)0⑵当0x1时，(x)( 0)F(x)p(x)p(0)0.4F(x)p(x)p(0)0.4(3)当x1时，(x)((3)当x1时，(x)(所以F(x)p(x)p(0)( 1),且( 0)与(1)互不相容,0)p(1)0.40.61因此， 的分布函数为0 x0F(x)0.40x11 x1随机变量的分布具有下列性质:(1)、单调性若x1x2，则F(x1)F(x2)；(2)、有界性0F(x)1,且有limF(x)(1)、单调性若x1x2，则F(x1)F(x2)；(2)、有界性0F(x)1,且有limF(x)0,lim

xF(x)1;(3)、F(x)是右连续的。例7、已知随机变量 的分布函数为F(x)014341解:p(p(p(p(2p(44)、 J一)，p(—\o"CurrentDocument"21 1 1『丐)43)=F(-)\o"CurrentDocument"2 22)/1 1\\o"CurrentDocument"p( )4 2七)10%)例8、若随机变量X的概率密度为f(x)求X的线性函数例8、若随机变量X的概率密度为f(x)求X的线性函数YX 的概率密度(其中均为常数，且 0)解：随机变量Y的分布函数为FY(y)P(Yy)p(Xy)p(X y-)…、一。 1 与J留度函数为f(Y) e22下面介绍几种常见的连续型随机变量及其分布1、均匀分布x22dx如果随机变量 的概率密度是 f(x)axbab，则称服从［a,b］上其它的均匀分布0xa—xa相应的分布函数为F(x) Jaaxbba1xb例9、一位乘客到某公共汽车站等候汽车，如果他完全不知道汽车通过该站的时间，则他的侯车时间X是一个随机变量，假设说汽车站每隔10分钟有一辆汽车通过,则乘客在0到10分钟乘上汽车的可能性相同。因此，随机变量X服从均匀分布，密度函数为f(x)110

00x10其它他等候时间不超过5分钟的概率是 p(0x5)因此，随机变量X服从均匀分布，密度函数为f(x)110

00x10其它他等候时间不超过5分钟的概率是 p(0x5)—dx0.5他等候时间超过7分钟的概率是p(710)010Zdx7103102、正态分布如果连续型随机变量 X的密度函数是

(x)21 ——Lf(x) —e2 (x)(*)2则称X服从正态分布，记作 X~N(,2),其中、均为常数，且0。正态分布是数理统计中最重要的一种分布，它具有以下性态：(1)、分布曲线在x轴的上方，以(x)21 ——Lf(x) —e2 (x)(*)2则称X服从正态分布，记作 X~N(,2),其中、均为常数，且0。正态分布是数理统计中最重要的一种分布，它具有以下性态：(1)、分布曲线在x轴的上方，以x 为对称轴，且当x是，f(x)有最大值；(2)、、 为正态分布两参数， 确定分布的位置，确定分布的形状，愈大，图像愈扁平；(3)、在x与x 之间，图形上凸，而其它部分下凹，曲线向两侧延伸，永不和x轴相交；(4)、x的取值范围是整个x轴。在(*)式中，若0, 1,则称X服从标准正态分布，记为X~(0,1)其密度函数为对于(*)式,1不 (x) ,—e ,分布函数为人x令u ,x(x)(t)dtu2则有f(u)e2,称U服从标准正态分布,记为U~N(0,1)对于一般的正态分布N(,2)都可以通过变量代换转化为标准正态分布 N(0,1)o利用标准正态分布表可以作相应的运算。b事件(aXb)的概率为p(aXb)(t)dta(b) (a)由于标准正态分布的密度函数是偶函数，故有(x)1 (x)(1)p(2解：(1)p(25);(2)p(0);(3)p{(1)p(2解：(1)p(2TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"23 353 2\o"CurrentDocument"5)=p(————) (-)1(-)0.37793\o"CurrentDocument"3 3 3 3

1(-)0.37793,303 p(0)=p(---)1 (1)0.84133 3⑶{ 36}( 36)( 3 6)( 9)( 3)p{36}p(9)p(3)1 (2) (2)0.0456p{36}p(9)p(3)1 (2) (2)0.0456例11、测得某市120名13岁男孩身高服从正态N(143.1,5.62),(x143.1厘米,s5.6厘米)，试求：身高在137〜148厘米的学生数；身高在150厘米以上学生数；以均数为中心，概率为 95%的分布区间。137143.1x143.1 148143.1、八―斛：(1)p(137x148)p( )0.6727TOC\o"1-5"\h\z5.6 5.6 5.6n(137x148)Np(137x148)1200.672781x143.1150143.1、⑵p(x150)p( )0.10935.6 5.6n(x150)Np(x150)1200.109313— 1095xxu s所以 x1(4)由题息p(xx1)p(x x2xxu s所以 x1xxus查表得u1 1.96,u2 1.96xu1s143.11.965.6132.1x2 xu2s143.11.965.6154.1以均数为中心，概率为95%的分布区间为(132、1,154、1)。二、数学期望(平均数)离散型随机变量的数学期望定义 设离散型随机变量X的概率分布Xx1 x2 xn称"xkpk为随机变量X的数学期望,p(Xxk)Pip2 pn k1简称期望或均值，记为E(X)

当X的可能取值xk为可列个时，p(X xk)pk,k1、2、E(X)= XkPk°k1如果级数XkPE(X)= XkPk°k1对于离散型随机变量X对于离散型随机变量X的函数Yf(X)的数学期望若存在,则E(f(X))例则E(f(X))例1、贝努里分布例2、二项分布nE kpkk0例3、普阿松分布f(Xk)Pk,kkPo1pq,P1八kknkPk Cnpq,knkknkkCnpqk0kPke，kk!1、2、，1PEkpkk0、nnk1k1nknpCn1pqk11、2、，np(Pq)n1npkEkkEkPkk-k0 k1k!k1e eek1(k1)!(2) 连续型随机变量的数学期望定义设X是具有密度函数f(x)的连续型随机变量，如果积分 xf(x)dx绝对收敛，则把它称为(2) 连续型随机变量的