初中数学人教版九年级上册第二十一章一元二次方程单元复习 省赛获奖

《第21章一元二次方程》一、选择题：1．方程（m﹣2）x2+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则（）A．m≠±2 B．m=2 C．m=﹣2 D．m≠22．一元二次方程x2﹣4=0的解是（）A．x=2 B．x=﹣2 C．x1=2，x2=﹣2 D．x1=，x2=﹣3．下列方程中是一元二次方程的有（）①=；②y（y﹣1）=x（x+1）；③=；④x2﹣2y+6=y2+x2．A．①② B．①③ C．①④ D．①③④4．若x1、x2是方程x2+3x﹣5=0的两个根，则x1•x2的值为（）A．﹣3 B．﹣5 C．3 D．55．在一次篮球联赛中，每个小组的各队都要与同组的其他队比赛两场，然后决定小组出线的球队．如果某一小组共有x个队，该小组共赛了90场，那么列出正确的方程是（）A． B．x（x﹣1）=90 C． D．x（x+1）=90二、填空题：6．把一元二次方程（x+1）（1﹣x）=2x化成二次项系数大于零的一般式为，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是．一元二次方程x2=2x的解为：．7．方程x2+3x+1=0的解是．8．写出一个以﹣3和2为根的一元二次方程：．9．如果方程x2﹣（m﹣1）x+=0有两个相等的实数根，则m的值为．10．若x2﹣4x+m2是完全平方式，则m=．三、解答题11．解下列方程：（1）x2﹣9=0（2）（x﹣1）（x+2）=6．12．若﹣2是方程x2﹣3x+k=0的一个根，求方程的另一个根和k的值．13．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x﹣1=0有实数根，求m的取值范围．14．汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设．某汽车销售公司2005年盈利1500万元，到2007年盈利2160万元，且从2005年到2007年，每年盈利的年增长率相同．（1）该公司2006年盈利多少万元？（2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2008年盈利多少万元？15．从一块正方形的木板上锯掉2米宽的长方形木条，剩下的面积是48平方米，求原来正方形木板的面积．16．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0（a≠0）有两个相等的实数根，求的值．

《第21章一元二次方程》参考答案与试题解析一、选择题：1．方程（m﹣2）x2+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则（）A．m≠±2 B．m=2 C．m=﹣2 D．m≠2【考点】一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程的定义可得m﹣2≠0，再解即可．【解答】解：由题意得：m﹣2≠0，解得：m≠2，故选：D．【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是注意二次项的系数不等于0．2．一元二次方程x2﹣4=0的解是（）A．x=2 B．x=﹣2 C．x1=2，x2=﹣2 D．x1=，x2=﹣【考点】解一元二次方程-直接开平方法．【分析】观察发现方程的两边同时加4后，左边是一个完全平方式，即x2=4，即原题转化为求4的平方根．【解答】解：移项得：x2=4，∴x=±2，即x1=2，x2=﹣2．故选：C．【点评】（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解．（2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．3．下列方程中是一元二次方程的有（）①=；②y（y﹣1）=x（x+1）；③=；④x2﹣2y+6=y2+x2．A．①② B．①③ C．①④ D．①③④【考点】一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0对各小题分析判断后利用排除法求解．【解答】解：①=是一元二次方程；②y（y﹣1）=x（x+1）不是一元二次方程，是二元二次方程；③=，分母上含有未知数x，不是整式方程；④x2﹣2y+6=y2+x2整理后为y2+2y﹣6=0，是一元二次方程；综上所述，是一元二次方程的有①④．故选C．【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．4．若x1、x2是方程x2+3x﹣5=0的两个根，则x1•x2的值为（）A．﹣3 B．﹣5 C．3 D．5【考点】根与系数的关系．【分析】根据根与系数的关系可得出x1•x2=，再计算即可．【解答】解：∵x1、x2是方程x2+3x﹣5=0的两个根，∴x1•x2==﹣5，故选B．【点评】本题考查了根与系数的关系，掌握x1+x2=﹣，x1•x2=是解题的关键．5．在一次篮球联赛中，每个小组的各队都要与同组的其他队比赛两场，然后决定小组出线的球队．如果某一小组共有x个队，该小组共赛了90场，那么列出正确的方程是（）A． B．x（x﹣1）=90 C． D．x（x+1）=90【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】比赛问题．【分析】如果设某一小组共有x个队，那么每个队要比赛的场数为（x﹣1）场，有x个小队，那么共赛的场数可表示为x（x﹣1）=90．【解答】解：设某一小组共有x个队，那么每个队要比赛的场数为x﹣1；则共赛的场数可表示为x（x﹣1）=90．故本题选B．【点评】本题要注意比赛时是两支队伍同时参赛，且“每个小组的各队都要与同组的其他队比赛两场”，以免出错．二、填空题：6．把一元二次方程（x+1）（1﹣x）=2x化成二次项系数大于零的一般式为x2+2x﹣1=0，其中二次项系数是1，一次项系数是2，常数项是﹣1．一元二次方程x2=2x的解为：x1=0，x2=2．【考点】解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的一般形式．【专题】计算题．【分析】先利用平方差公式把方程（x+1）（1﹣x）=2x左边展开，再移项得到x2+2x﹣1=0，然后写出二次项系数、一次项系数、常数项；利用因式分解法解方程x2=2x．【解答】解：一元二次方程（x+1）（1﹣x）=2x化成二次项系数大于零的一般式为x2+2x﹣1=0，其中二次项系数是1，一次项系数是2，常数项是﹣1．x2﹣2x=0，x（x﹣2）=0，x=0或x﹣2=0，所以x1=0，x2=2．故答案为x2+2x﹣1=0，1，2，﹣1，x1=0，x2=2．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．7．方程x2+3x+1=0的解是x1=，x2=．【考点】解一元二次方程-公式法．【分析】求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．【解答】解：这里a=1，b=3，c=1，b2﹣4ac=32﹣4×1×1=5，x=，x1=，x2=，故答案为：x1=，x2=．【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，主要考查学生的计算能力．8．写出一个以﹣3和2为根的一元二次方程：x2﹣x﹣6=0．【考点】根与系数的关系．【分析】本题根据一元二次方程的根的定义，一根为3，另一个根为﹣2，则方程是（x﹣3）（x+2）=0的形式，即可得出答案．【解答】解：根据一个根为x=3，另一个根为x=﹣2的一元二次方程是：x2﹣x﹣6=0；故答案为：x2﹣x﹣6=0．【点评】此题考查了根与系数的关系，已知方程的两根，写出方程的方法是需要熟练掌握的一种基本题型．9．如果方程x2﹣（m﹣1）x+=0有两个相等的实数根，则m的值为m=2或m=0．【考点】根的判别式．【分析】根据方程有两个相等实数根得△=0，即（m﹣1）2﹣4×=0，解方程即可得．【解答】解：∵方程x2﹣（m﹣1）x+=0有两个相等的实数根，∴△=0，即（m﹣1）2﹣4×=0，解得：m=2或m=0，故答案为：m=2或m=0．【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．10．若x2﹣4x+m2是完全平方式，则m=±2．【考点】完全平方式．【分析】先根据已知平方项和乘积二倍项确定出这两个数，再根据完全平方公式解答即可．【解答】解：∵x2﹣4x+m2=x2﹣2x•2+m2，∴m2=22=4，∴m=±2．故答案为：±2．【点评】本题主要考查了完全平方式，根据平方项和乘积二倍项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．三、解答题11．解下列方程：（1）x2﹣9=0（2）（x﹣1）（x+2）=6．【考点】解一元二次方程-公式法；解一元二次方程-直接开平方法．【分析】（1）根据直接开平方法求解即可；（2）先去括号，再用公式法求解即可．【解答】解：（1）x2=9，x=±3，∴x1=3，x2=﹣3；（2）x2+x﹣8=0，a=1，b=1，c=﹣8，△=b2﹣4ac=1+32=33＞0，∴方程有两个不相等的实数根，∴x==，∴x1=，x2=．【点评】本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法有直接开平方法、配方法、公式法以及因式分解法．12．若﹣2是方程x2﹣3x+k=0的一个根，求方程的另一个根和k的值．【考点】根与系数的关系．【分析】设方程的另一个根为x2，根据韦达定理得出关于x2和k的方程组，解之可得．【解答】解：设方程的另一个根为x2，根据题意，得：，解得：，∴方程的另一个根位5，k的值为﹣10．【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握韦达定理是解题的关键．13．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x﹣1=0有实数根，求m的取值范围．【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．【专题】计算题．【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到m﹣2≠0且△=22﹣4（m﹣2）×（﹣1）≥0，然后解两个不等式确定它们的公共部分即可．【解答】解：根据题意得m﹣2≠0且△=22﹣4（m﹣2）×（﹣1）≥0，解得m≥1且m≠2．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．14．汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设．某汽车销售公司2005年盈利1500万元，到2007年盈利2160万元，且从2005年到2007年，每年盈利的年增长率相同．（1）该公司2006年盈利多少万元？（2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2008年盈利多少万元？【考点】一元二次方程的应用．【专题】增长率问题；压轴题．【分析】（1）需先算出从2005年到2007年，每年盈利的年增长率，然后根据2005年的盈利，算出2006年的利润；（2）相等关系是：2008年盈利=2007年盈利×每年盈利的年增长率．【解答】解：（1）设每年盈利的年增长率为x，根据题意得1500（1+x）2=2160解得x1=，x2=﹣（不合题意，舍去）∴1500（1+x）=1500（1+）=1800答：2006年该公司盈利1800万元．（2）2160（1+）=2592答：预计2008年该公司盈利2592万元．【点评】本题的关键是需求出从2005年到2007年，每年盈利的年增长率．等量关系为：2005年盈利×（1+年增长率）2=2160．15．从一块正方形的木板上锯掉2米宽的长方形木条，剩下的面积是48平方米，求原来正方形木板的面积．【考点】一元二次方程的应用．【分析】设原来的正方形木板的边长为x，锯掉2米宽厚，就变为长为x米，宽为（x﹣2）米的长方形，根据长方形的面积公式列方程求x，继而可求正方形的面积．【解答】解：设原来的正方形木板的边长为x．x（x﹣2）=48，x=8或x=﹣6（舍去），8×8=64（平方米）．答：原来正方形木板的面积是64平方米．【点评】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解本题设出正方形木板的边长为x，根据题意列方程求