初中数学浙教版八年级下册第5章特殊平行四边形5．2菱形 优质课奖

5．2菱形(二)1．下列命题中，是真命题的是(B)A．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形C．对角线互相平分且相等的四边形是菱形D．对角线互相垂直的四边形是菱形(第2题)2．如图，有下列条件：①AC⊥BD；②∠BAD＝90°；③AB＝BC；④AC＝BD.添加一个条件，能使▱ABCD是菱形的有(A)A．①或③B．②或③C．③或④D．①或②或③(第3题)3．如图，小红在作线段AB的垂直平分线时，是这样操作的：分别以点A，B为圆心，大于eq\f(1,2)AB的线段长为半径画弧，分别交于点C，D，则直线CD即为所求．连结AC，BC，AD，BD，根据她的作图方法可知，四边形ADBC一定是(B)A．矩形B．菱形C．正方形D．等腰梯形4．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF.若AB＝3，则BC的长为__eq\r(3)__．(第4题)(第5题)5．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分腰AB.若AC＝CD，AB∥CD，则∠A的度数为__120°__．【解】提示：连结AD，BD.6．在矩形ABCD中，AD＝3AB，点G，H分别在AD，BC上，连结BG，DH.若BG∥DH，则当eq\f(AG,AD)为何值时，四边形BHDG为菱形？(第6题)【解】∵四边形BHDG为菱形，∴BG＝DG.设AB＝x，则AD＝3x.设AG＝y，则BG＝GD＝3x－y.在Rt△AGB中，∵AG2＋AB2＝BG2，∴y2＋x2＝(3x－y)2，解得y＝eq\f(4,3)x.∴eq\f(AG,AD)＝eq\f(y,3x)＝eq\f(\f(4,3)x,3x)＝eq\f(4,9).7．在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G，H分别是BD，AC的中点，当AB，CD满足什么条件时，四边形EGFH是菱形？请证明你的结论．(第7题)【解】当AB＝CD时，四边形EGFH是菱形．证明如下：∵E，G分别是AD，BD的中点，∴EG平行且等于eq\f(1,2)AB.同理，HF平行且等于eq\f(1,2)AB，EH平行且等于eq\f(1,2)CD.∴EG平行且等于HF.∴四边形EGFH是平行四边形．∵EG＝eq\f(1,2)AB，EH＝eq\f(1,2)CD，AB＝CD，∴EG＝EH，∴▱EGFH是菱形．(第8题)8．如图，E，F，G，H分别是BD，BC，AC，AD的中点，且AB＝CD.有下列结论：①EG⊥FH；②四边形EFGH是矩形；③HF平分∠EHG；④EG＝eq\f(1,2)(BC－AD)；⑤四边形EFGH是菱形．其中正确的个数是(C)A.1B.2C.3D.4【解】∵E，F，G，H分别是BD，BC，AC，AD的中点，∴EF＝eq\f(1,2)CD，FG＝eq\f(1,2)AB，GH＝eq\f(1,2)CD，HE＝eq\f(1,2)AB.∵AB＝CD，∴EF＝FG＝GH＝HE，∴四边形EFGH是菱形，故⑤正确．∴EG⊥FH，HF平分∠EHG，故①③正确．②④无法证明．综上所述，正确的个数是3.(第9题)9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BF平分∠ABC，CD⊥AB于点D，与BF交于点G，GE∥AC.求证：CE与FG互相垂直平分．【解】∵BF平分∠ABC，∴∠CBF＝∠ABF.∵CD⊥AB，∠ACB＝90°，∴∠CBF＋∠BFC＝90°，∠ABF＋∠BGD＝90°，∴∠BGD＝∠BFC.∵∠BGD＝∠CGF，∴∠BFC＝∠CGF，∴CG＝CF.∵GE∥AC，∴∠BFC＝∠EGF，∴∠CGF＝∠EGF，∴∠BGC＝∠BGE.又∵BG＝BG，∠CBF＝∠ABF，∴△BGC≌△BGE(ASA)．∴CG＝EG.∴CF＝GE.又∵GE∥CF，∴四边形CGEF是平行四边形．又∵CG＝EG，∴四边形CGEF是菱形，∴CE与FG互相垂直平分．(第10题)10．如图，在△ABC中，D，E分别是边BC，AC的中点，过点A作AF∥BC交DE的延长线于点F，取AF的中点G，连结DG.若BC＝2AB，求证：(1)四边形ABDF是菱形．(2)AC＝2DG.【解】(1)∵D，E分别是边BC，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB，DE＝eq\f(1,2)AB.∵AF∥BC，∴四边形ABDF是平行四边形．∵BC＝2AB，BC＝2BD，∴AB＝BD.∴▱ABDF是菱形．(2)∵四边形ABDF是菱形，∴AF＝AB＝DF.∵DE＝eq\f(1,2)AB，∴EF＝eq\f(1,2)AF.∵G是AF的中点．∴GF＝eq\f(1,2)AF，∴GF＝EF.又∵∠F＝∠F，∴△FGD≌△FEA(SAS)．∴DG＝AE.∵AC＝2AE，∴AC＝2DG.11．如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝12cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点C出发以1cm/s的速度向点A运动，设运动时间为t(s)(0＜t＜6)．(1)直接写出线段AP，AQ的长：AP＝__2t__，AQ＝6－t(用含t的代数式表示)．(2)设△APQ的面积为S，写出S与t的关系式．(3)如图②，连结PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，那么是否存在某一时间t，使四边形PQP′C为菱形？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．(第11题)【解】(1)∵∠C＝90°，∠A＝60°，∴∠B＝30°.又∵AB＝12cm，∴AC＝6cm.由题意，得AP＝2t，AQ＝6－t.(2)过点P作PH⊥AC于点H.在Rt△APH中，∵∠A＝60°，∴∠HPA＝30°.∵AP＝2t，∴AH＝t.∴PH＝eq\r(3)t.∴S＝eq\f(1,2)AQ·PH＝eq\f(1,2)(6－t)×eq\r(3)t＝－eq\f(\r(3),2)t2＋3eq\r(3)t(0<t<6)．(3)存在．过点P作PM⊥AC