初中数学人教版九年级上册第二十四章圆单元复习-参赛作品

例谈圆中常见作辅助线的方法圆是初中几何部分的重要内容之一，与圆有关的大部分几何题型都需要添加辅助线来解决。只要添上合适的辅助线，不仅会使问题迎刃而解，而且还会有效地培养学生的解题能力与创造性思维能力。通过对实践教学中的归纳与总结，发现添加辅助线的方法有很多，本文就圆中常见作辅助线的方法归纳如下：作弦心距——在与弦有关的计算或证明题时，常作辅助线的方法是作弦心距例1如图1，AB为⊙Ｏ的直径，PQ切⊙Ｏ于T，AC⊥PQ于C，交⊙Ｏ于D，AD=2，TC=.求⊙Ｏ的半径。图1A图1ABCDOPTQM∵PQ切⊙Ｏ于T，∴OT⊥PQ．又∵AC⊥PQ，OM⊥AC，∴∠OTC=∠ACT=∠OMC=90°，∴四边形OTCM为矩形．∴OM=TC=，∴在Rt△AOM中，．即⊙Ｏ的半径为2．例2如图2，已知在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点.·Ｃ·ＣＤＡＥＢＯ图2证明：过点O作OE⊥AB于E，则AE=BE，CE=DE，∴AE-CE=BE-DE.∵AC=AE-CE，BD=BE-DE.∴AC=BD.连半径——与半径和弦有关的简单计算、已知圆中有切线的有关计算和证明时，常作辅助线的方法是连半径C·HAB图3DC·HAB图3DO解：连接OA，∵⊥CO，∴OC平分AB∴AH=8cm.在Rt△AHO中，OH=6cm.∴CH=4cm，DH=16cm.答：直线向左平移4cm，或向右平移16cm时能于⊙O相切。A图4·A图4·BPOH求证：PB是⊙O的切线.证明：连接OA、OB.∵PA是⊙O的切线，∴∠OAP=90°.∵OA=OB，AB⊥OP，∴∠AOP=∠BOP.又∵OA=OB，OP=OP，∴△AOP≌△BOP.∴∠OPB=∠OAP=90°.∴PB是⊙O的切线.三、既作弦心距又连半径——与半径和弦都有关的计算时，常作辅助线的方法是既作弦心距又连半径，利用勾股定理来解决ABOABO·图5C解：连接OA，作OC⊥AB于C，则AC=BC=AB.在Rt△OAC中，OA=×52=26厘米，OC=26-16=10厘米，∴AC=24厘米.∴AB=2AC=48厘米.四、连弦构造相似三角形或直角三角形——在圆中与弦或其他有关的计算或证明时，常作辅助线的方法是连弦，利用同弧所对的圆周角相等连弦构造相似三角形或利用直径所对的圆周角为直角这个性质连弦构造出直角三角形，从而将问题转化到相似三角形或直角三角形中去计算或证明例6已知，如图6，在半径为4的⊙O中，AB，CD是两条直径，M为OB的中点，CM的延长线交⊙O于点E，且EM＞MC．连结DE，DE=.ABABCEDOMF图6（2）求EM的长；（3）求sin∠EOB的值.解：（1）连接AC，EB，则∠CAM=∠BEM.又∠AMC=∠EMB,∴△AMC∽△EMB．∴，即AM·MB=EM·MC．∵DC为⊙O的直径，∴∠DEC=90°，EC=∵OA=OB=4，M为OB的中点，∴AM=6，BM=2．设EM=，则CM=7－．代入（1）,得.解得=3，=4．但EM＞MC，∴EM=4.（3）由（2）知，OE=EM=4，作EF⊥OB于F，则OF=MF=OB=1．在Rt△EOF中，∴sin∠EOB=.例7如图7所示，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点E，点D是BC边的中点，连结DE．（1）求证：DE与⊙O相切；（2）若⊙O的半径为，DE=3，求AE．（1）证明：连结OE，BE，BDBDCEAO图7∵D是BC的中点，∴DE=DB，∴∠DBE=∠DEB.又OE=OB，∴∠OBE=∠OEB，∴∠DBE+∠OBE=∠DBE+∠OEB.即∠ABD=∠OED.又∵∠ABC=90°，∴∠OED=90°，∴DE是⊙O的切线.（2）解：∵，∴，∴.五、作直径构造直角三角形——在圆中牵涉到三角函数的运算或与直径的计算与证明时，常作辅助线的方法是作直径，利用直径所对的圆周角是直角构造直角三角形，从而将问题转化到直角三角形中去解决ABCABC·OD图8解：作直径AD，连结BD.∵∠ACB=60°，∴∠D=∠ACB=60°.又∵AD是直径，∴∠ABD=90°，∴，∴.FCDAFCDAB·OE图9G求证：OE=AD.证明：作直径CF，连接DF、FB、DB.∵CF是直径，∴∠CBF=90°，∴∠BCF+∠BFC=90°.∵∠BGD=90°，∴∠ABD+∠BDC=90°.又∵∠BDC=∠BFC，∴∠BCF=∠ABD，∴AD=BF.∵OE⊥BC于点E，∴CE=BE.又∵OC=OF，∴OE=BF，∴OE=AD.六、作公共弦或连心线——在解答有关两圆相交的问题时，常作辅助线的方法是作公共弦或连心线，利用连心线垂直平分两圆的公共弦和连心线可沟通圆心距、公共弦、两圆半径之间的关系这特点来解决问题··ABDEO1O2C图10P例10已知，如图10，⊙O1和⊙O2相交于点A和B，··ABDEO1O2C图10P求证：AD=BE.证明：连结AB交O2O1于P点，∵O1O2⊥AB且O1O2的平分AB，∴CA=CB，∴∠ACP=∠BCP，∴点O2到线段AD、CE的距离相等，∴AD=BE.例11如图11，已知⊙O1与⊙O2是等圆，它们相交于A、B两点，O2在⊙01上，AC是⊙O2的直径，直线CB交⊙O1于D，E为AB延长线上一点，连接DE.（1）请你连接AD，证明：AD是⊙O1的直径；C··OC··O1O2ADB图11E证明：（1）连接AD，∵AD是⊙O1直径，∴AB⊥AC，∴∠ABD=90°，∴AD是⊙O1的直径.（2）连接01O2，∵点O2在⊙01上，⊙O1与⊙O2是等圆，∴点01在⊙O2上，∴AO1=AO2=O1O2，∴∠O1AO2=60°.∵AB是公共弦，∴AB⊥O1O2，∴∠O1AB=30°.∵∠E=60°，∴∠ADE=180°-（∠E+∠O1AB）=180°-（60°+30°）=90°.由（1）知AD是⊙O1的直径，∴DE是⊙O1的切线.··PDAC··PDACBO1O2E图12例12如图12，已知⊙O1与⊙O2外切于点P，⊙O2的弦AB的延长线切⊙O1于点C，AP的延长线交⊙O1于点D.求证：∠BPC=∠CPD.证明：过点P作⊙O1与⊙O2的公切线PE交AC于E，则∠BPE=∠BAP.∵BC切⊙O1于点C，∴∠CPE=BCP.∵∠BPE+∠CPE=∠BPC，∠BAP+∠BCP=∠CPD，∴∠BPC=∠CPD.总之