初中数学北师大版九年级上册第四章　图形的相似-参赛作品

专训1巧用位似解三角形中的内接多边形问题名师点金：位似图形是特殊位置的相似图形，它具有相似图形的所有性质．位似图形必须具备三个条件：(1)两个图形相似；(2)对应点的连线相交于一点；(3)对应边互相平行或在同一直线上．三角形的内接正三角形问题1．如图，用下面的方法可以画△AOB的内接等边三角形，阅读后证明相应问题．画法：①在△AOB内画等边三角形CDE，使点C在OA上，点D在OB上；②连接OE并延长，交AB于点E′，过点E′作E′C′∥EC，交OA于点C′，作E′D′∥ED，交OB于点D′；③连接C′D′，则△C′D′E′是△AOB的内接等边三角形．求证：△C′D′E′是等边三角形．(第1题)三角形的内接矩形问题2．如图，求作：内接于已知△ABC的矩形DEFG，使它的边EF在BC上，顶点D，G分别在AB，AC上，并且有DEEF＝12.(第2题)三角形的内接正方形问题(方程思想)3．如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边QM在BC上，其余两个顶点P，N分别在AB，AC上，则这个正方形零件的边长是多少？(第3题)4．(1)如图①，在△ABC中，点D，E，Q分别在AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P.求证：eq\f(DP,BQ)＝eq\f(PE,QC).(2)在△ABC中，∠BAC＝90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF，分别交DE于M，N两点．①如图②，若AB＝AC＝1，直接写出MN的长；②如图③，求证：MN2＝DM·EN.(第4题)答案1．证明：∵E′C′∥EC，∴∠C′E′O＝∠CEO.又∵∠COE＝∠C′OE′，∴△OCE∽△OC′E′.∴eq\f(CE,C′E′)＝eq\f(OE,OE′).又∵E′D′∥ED，∴∠D′E′O＝∠DEO.又∵∠DOE＝∠D′OE′，∴△DOE∽△D′OE′，∴eq\f(DE,D′E′)＝eq\f(OE,OE′).∴∠CED＝∠C′E′D′，eq\f(CE,C′E′)＝eq\f(DE,D′E′).∴△CED∽△C′E′D′.又∵△CDE是等边三角形，∴△C′D′E′是等边三角形．(第2题)2．解：如图，在AB边上任取一点D′，过点D′作D′E′⊥BC于点E′，在BC上截取E′F′，使E′F′＝2D′E′，过点F′作F′G′⊥BC，过点D′作D′G′∥BC交F′G′于点G′，作射线BG′交AC于点G，过点G作GF∥G′F′，DG∥D′G′，GF交BC于点F，DG交AB于点D，过点D作DE∥D′E′交BC于点E，则四边形DEFG为△ABC的内接矩形，且DEEF＝12.3．解：设符合要求的正方形PQMN的边PN与△ABC的高AD相交于点E.易知AE为△APN的边PN上的高，设正方形PQMN的边长为xmm，∵PN∥BC，∴∠APN＝∠B，∠ANP＝∠C.∴△APN∽△ABC.∴eq\f(AE,AD)＝eq\f(PN,BC).即eq\f(80－x,80)＝eq\f(x,120).解得x＝48.即这个正方形零件的边长是48mm.4．(1)证明：在△ABQ和△ADP中，∵DP∥BQ，∴∠ADP＝∠B，∠APD＝∠AQB.∴△ADP∽△ABQ.∴eq\f(DP,BQ)＝eq\f(AP,AQ).同理△ACQ∽△AEP，∴eq\f(PE,QC)＝eq\f(AP,AQ).∴eq\f(DP,BQ)＝eq\f(PE,QC).(2)①解：MN＝eq\f(\r(2),9).②证明：∵∠B＋∠C＝90°，∠CEF＋∠C＝90°.∴∠B＝∠CEF.又∵∠BGD＝∠EFC＝90°，∴△BGD∽△EFC.∴eq\f(DG,CF)＝eq\f(BG,EF).∴DG·EF＝CF·BG.又∵DG＝GF＝EF，∴GF2＝CF·BG.由(1)得eq\f(DM,BG)＝eq\f(MN,GF)＝eq\f(EN,CF).∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(MN,GF)))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\(\a\vs4\al\co1(\f(