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文档简介
考点1:勾股定理的应用:求未知第三边的长度例1:在直角三角形ABC中,∠C=90°,BC=12,AC=9,则AB=.例2:若直角三角形的两直角边长为a、b,且满足,则该直角三角形的斜边长为.练习1:一直角三角形的两边长分别为3和4,则第三边的长为() B. 或练习2:如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=2,点D在BC上,∠ADC=2∠B,AD=,则BC的长为()A.-1B.+1C.-1D.+1练习3:在△ABC中,三边长a,b,c满足,则互余的一A.∠A与∠B B.∠C与∠A C.∠B与∠C D.以上都不正确练习4:如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=40,CB=BN=BC,则MMABCN练习5:如图所示,有两棵树,一棵树高10m,另一棵树高4m,两树相距8m.一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,问小鸟至少飞行()m m m m练习6:在△ABC中,AB=AC=17cm,BC=16cm,AD⊥BC于点D,则练习7:如果一梯子底端离建筑物9m远,那么15m长的梯子可达到建筑物的高度是_______m.练习8:有一组勾股数,知道其中的两个数分别是17和8,则第三个数是.练习9:如图,是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌,经测量得到如下数据:AM=4米,AB=8米,∠MAD=45°,∠MBC=30°,则警示牌的高CD为________米(结果精确到米,参考数据:2≈,3≈).练习10:科技小组演示自制的机器人,若机器人从点A向南行走1.2米,再向东行走1米,接着又向南行走1.8米,再向东行走2米.最后又向南行走1米到达B点。则B练习11:在直角三角形中,两条直角边的长分别是12和5,则斜边上的中线长是()练习12:将一根长为15cm的筷子置于底面直径为5cm,高为12cm的圆柱形水杯中,设筷子露在杯子外面的长为hcm,则h的取值范围是.练习13:如果直角三角形的两直角边长分别为,2n(n>1),那么它的斜边长是()A、2n B、n+1 C、n2-1 D、考点2:勾股定理逆定理应用:能否构成直角三角形例1:已知三组数据:①2,3,4;②3,4,5;③1,3,2.分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长,能构成直角三角形的有()A②B①②C①③D②③例2:如果下列各组数是三角形的三边长,那么不能组成直角三角形的一组数是(),3,4 B.,,,8,10 D.,,练习1:①5,12,13;②7,24,25;③3a,4a,5a(a>练习2:甲、乙两艘客轮同时离开港口,航行的速度都是40m/min,甲客轮用15min到达A,乙客轮用20min到达B.若A、B两处的直线距离为1000m,甲客轮沿着北偏东30°的方向航行,则乙客轮的航行方向可能是()A.北偏西30°B.南偏西30°C.南偏东60°D.南偏西30°练习3:若长为5cm,12cm,acm的三条线段首尾顺次连接恰好围成一个直角三角形,则a的值是.练习4:若三角形三条边的长分别为7,24,25,则这个三角形的最大内角是()度.练习5:(1)若三角形三条边的长分别是7,24,25,则这个三角形的最大内角是度。(2)已知三角形三边的比为1::2,则其最小角为。考点3:三角形的判定例1:若一个三角形的三边长a,b,A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形例2:若三角形ABC的三边长a,b,c满足a²+b²+c²+50=6a+8b+10c,则三角形ABC的形状是三角形.练习1:已知a,b,c为△ABC的三边长,且满足a2c2-b2c2=a4-b4,判断△ABC的形状()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形练习2:若三角形的三边之比为,则这个三角形一定是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.不等边三角形练习3:已知a,b,c为△ABC三边,且满足(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,则它的形状为()A.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形练习4:若△ABC的三边长a,b,c满足试判断△ABC的形状。练习5:△ABC的两边分别为5,12,另一边为奇数,且a+b+c是3的倍数,则c应为,此三角形为。考点4:勾股定理的证明图形例1:如图所示,是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案,已知大正方形面积为49,小正方形面积为4,若用x,y表示直角三角形的两直角边(x>y),下列四个说法:①,②,③,④.其中说法正确的是A①②B①②③C①②④D①②③④例2:勾股定理是几何中的一个重要定理.在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三,股四,则弦五”的记载.如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的,可以用其面积关系验证勾股定理.图2是由图1放入矩形内得到的,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,点D,E,F,G,H,I都在矩形KLMJ的边上,则矩形KLMJ的面积为()A90B100C110D121练习1:如图,已知正方形B的面积为144,正方形C的面积为169,那么正方形A的面积为() 练习2:勾股定理的证明方法很多,其中1876年美国总统Garfield证明勾股定理的方法简单易懂,我们来看看,写一写。练习3:如图,以Rt△ABC的三边为直径分别向外作三个半圆,试探索三个半圆的面积之间的关系.练习4:如图所示,分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形,其面积分别是S1、S2、S3,则它们之间的关系是()A.S1-S2=S3B.S1+S2=S3C.S2+S3<S1D.S2-S3=S1考点5:三角形斜边上的高(等面积法求高)例1:在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=9,BC=12,则点C到AB的距离是()ABCD例2:如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6.若点P在边AC上移动,则BP的最小值是.练习1:直角三角形两直角边长分别为5和12,则它斜边上的高为.考点6:运动轨迹、最短路径问题例1:如图,一只蚂蚁从正方体的底面A点处沿着表面爬行到点上面的B点处,它爬行的最短路线是()A.A⇒P⇒BB.A⇒Q⇒BC.A⇒R⇒BD.A⇒S⇒B例2:如图,边长为1的正方体中,一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是.第第6题练习1:正方体盒子的棱长为2,BC的中点为M,一只蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离为.第第7题 练习2:如图,点A的正方体左侧面的中心,点B是正方体的一个顶点,正方体的棱长为2,一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是()练习3:如图所示一棱长为3cm的正方体,把所有的面均分成3×3个小正方形.其边长都为1cm,假设一只蚂蚁每秒爬行2cm,则它从下底面点A沿表面爬行至侧面的B点,最少要用秒钟.练习4:如图,一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发,沿长方体的表面爬到对角顶点C1处(三条棱长如图所示),问怎样走路线最短?最短路线长为.练习5:如图,长方体的底面边长分别为2cm和4cm,高为5cm.若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点,则蚂奴爬行的最短路径长为cm.练习6:.如图,一块长方体砖宽AN=5cm,长ND=10cm,CD上的点B距地面的高BD=8cm,地面上A处的一只蚂蚁到B处吃食,需要爬行的最短路径是多少?
练习7:圆柱形坡璃容器,高18cm,底面周长为60cm,在外侧距下底1cm点S处有一蜘蛛,与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm的点F处有一苍蝇,试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度。练习8:如图是一个三级台阶,它的每一级的长、宽、高分别为20cm、3cm、2cm.A和B是这个台阶上两个相对的端点,点A处有一只蚂蚁,想到点B处去吃可口的食物,则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为cm练习9:如图,是一个三级台阶,它的每一级的长、宽和高分别等于5cm,3cm和1cm,A和B是这个台阶的两个相对的端点,A点上有一只蚂蚁,想到B点去吃可口的食物.请你想一想,这只蚂蚁从A点出发,沿着台阶面爬到B点,最短线路是cm。练习10:如图,一圆柱体的底面周长为24cm,高AB为9cm,BC是上底面的直径.一只蚂蚁从点A出发,沿着圆柱的侧面爬行到点C,则蚂蚁爬行的最短路程是
练习11有一圆柱体高为10cm,底面圆的半径为4cm,AA1,BB1为相对的两条母线.在AA1上有一个蜘蛛Q,QA=3cm;在BB1上有一只苍蝇P,PB1=2cm,蜘蛛沿圆柱体侧面爬到P点吃苍蝇,最短的路径是cm.(结果用带π和根号的式子表示)练习12如图,一直圆锥的母线长为QA=8,底面圆的半径r=2,若一只小蚂蚁从A点出发,绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A点,则蚂蚁爬行的最短路线长是______(结果保留根式)练习13如图,把直角三角形ABC的斜边AB放在定直线l上,按顺时针A向在l上转动两次,使它转到△A’’B’’C’’的位置.设BC=1,AC=,则顶点A运动到点A’’的位置时,点A经过的路线长是(计算结果不取近似值).考点7:距离、最短线段或线段和例1:在Rt△ABC中,∠A=90°,BD平分∠ABC,交AC于点D,且AB=4,BD=5,则点D例2:考点8:图形规律例1:如图,已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形,以Rt△ABC的斜边AC为直角边,画第二个等腰Rt△ACD,再以Rt△ACD的斜边AD为直角边,画第三个等腰Rt△ADE,…,依此类推,则第2013个等腰直角三角形的斜边长是.例2:如图,是一种“羊头”形图案,其作法是:从正方形①开始,以它的一边为斜边,向外作等腰三角形,然后再以直角边为边,分别向外作正方形②和②’,……,以此类推,若正方形①的边长为64,则正方形⑦的边长为()。练习1:如图所示,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为5,则正方形A,B,C,D的面积的和为练习2:已知△ABC是边长为1的等腰直角三角形,以Rt△ABC的斜边AC为直角边,画第二个等腰Rt△ACD,再以Rt△ACD的斜边AD为直角边,画第三个等腰Rt△ADE,…,依此类推,第n个等腰直角三角形的斜边长是.考点9:坐标问题例1:如图,在平面直角坐标系中,点P坐标为,以点O为圆心,以OP的长为半径画弧,交x轴的负半轴于点A,则点A的横坐标介于()A和之间B3和4之间C和之间D4和5之间例2:如图,点A的坐标是(1,1),若点B在x轴上,且△ABO是等腰三角形,则点B的坐标不可能是()ABCD练习1:在平面直角坐标系中,已知点,,点C在坐标轴上,且AC+BC=6,写出满足条件的所有点C的坐标.考点10:纸张折叠问题例1:如图所示,如果将矩形纸沿虚线①对折后,沿虚线②剪开,剪出一个直角三角形,展开后得到一个等腰三角形.则展开后三角形的周长是()ABC12D18例2:如图,矩形ABCD中,E是AD的中点,将△ABE沿BE折叠后得到△GBE,且点G在矩形ABCD内部.(1)小明将BG延长交DC于点F,认为GF=DF,你同意吗?说明理由.(2)保持(1)中的条件不变,若DC=2DF,求的值;(3)保持(1)中条件不变,若DC=nDF,求的值.练习1如图,有一张直角三角形纸片,两直角边AC=6,BC=8,将△ABC折叠,使点B与点A重合,折痕为DE,则CD等于()A.B.C.D.练习2:如图所示,已知△ABC中,∠C=90°,AB的垂直平分线交BC于M,交AB于N,若AC=4,MB=2MC,求AB的长.练习3:折叠矩形ABCD的一边AD,点D落在BC边上的点F处,已知AB=8CM,BC=10CM,求CF和EC。AABCEFD练习4:如图,在长方形ABCD中,DC=5,在DC边上存在一点E,沿直线AE把△ABC折叠,使点D恰好在BC边上,设此点为F,若△ABF的面积为30,求折叠的△AED的面积考点11:旗子/梯子问题例1:如图,小明利用升旗用的绳子测量学校旗杆BC的高度,他发现绳子刚好比旗杆长11米,若把绳子往外拉直,绳子接触地面A点并与地面形成30°角时,绳子未端D距A点还有1米,那么旗杆BC的高度为米.例2:如图,一架米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上,这时梯子底部B到墙底端的距离为米,考虑爬梯子的稳定性,现要将梯子顶部A沿墙下移米到A1处,问梯子底部B练习1:如图,台风过后,一希望小学的旗杆在离地某处断裂,旗杆顶部落在离旗杆底部8米处,已知旗杆原长16练习2:如图,一个梯子AB长米,顶端A靠在墙AC上,这时梯子下端B与墙角C距离为米,梯子滑动后停在DE的位置上,测得BD长为米,求梯子顶端A下落了多少米?ABC练习3:小强想知道学校旗杆的高,他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米,当他把绳子的下端拉开ABC练习4:、一架长的梯子,斜立在一竖起的墙上,梯子底端距离墙底(如图),如果梯子的顶端沿墙下滑,那么梯子底端将向左滑动米练习5:如图,一个长为10米的梯子,斜靠在墙面上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8米,如果梯子的顶端下滑1米,那么,梯子底端的滑动距离1米,(填“大于”,“等于”,或“小于”)考点12:直角三角形综合题型例1:.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,DE⊥AB于E,若AC=6,BC=8,CD=3.(1)求DE的长;(2)求△ADB的面积.例2:如图,△ABC中,AB=BC,BE⊥AC于点E,AD⊥BC于点D,∠BAD=45°,AD与BE交于点F,连接CF.(1)求证:BF=2AE;(2)若CD=2,求AD的长.练习1:如图,四边形ABCD为矩形,过点D作对角线BD的垂线,交BC的延长线于点E,取BE的中点F,连接DF,DF=4.设AB=x,AD=y,则x2+练习2:若△ABC的三边满足下列条件,判断△ABC是不是直角三角形,并说明哪个角是直角.(1)(2)练习3:若三角形的三个内角的比是1∶2∶3,最短边长为求:(1)这个三角形各角的度数;(2)另外一边长的平方.练习4:如图,折叠长方形的一边AD,使点D落在BC边上的点F处,BC=10cm,AB=8求:(1)FC的长;(2)EF的长.练习5:如图所示,两个正方形ABCD和DEFG的边长都是整数厘米,点E在线段CD上,且CE<DE,线段CF=5厘米,则五边形ABCFG的面积等于练习6:如图,某会展中心在会展期间准备将高5m,长13m,宽2m的楼道上铺地毯,已知地毯每平方米18元,请你帮助算一下,铺完这个楼道至少需要多少元钱?练习7:如图,每个小正方形的边长为1,A、B、C是小正方形的顶点,则∠ABC的度数为()°°C.45°°练习8:如图,在四边形ABCD中,AB=3cm,BC=4cm,CD=12cm,DA=13cm,∠B=90°.求四边形ABCD的面积.练习9:如图,在正方形ABCD中AC与BD交于点O,形外有一点E,使∠AED=90°,且DE=3,OE=,则AE=.练习10:已知中,,,.在射线上取一点,使得为等腰三角形,这样的三角形有几个?请你求的周长.练习11:如图,RA⊥AB,QB⊥AB,P是AB上的一点,RP=PQ=a,RA=h,QB=k,∠RPA=75°,∠QPB=45°,求AB的长度.练习12:三个村庄A、B、C之间的距离分别为AB=5km,BC=12km,AC=13km,要从B修一条公路直达AC,已知公路的造价为26000元/Km,求修这条公路的最低造价是多少?24.如图,在四边形ABCD中,AB=AD=8cm,∠A=60°,∠ADC=150°,已知四边形ABCD的周长为32cm,求△BCD的面积.练习13:如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,CD是∠ACB的角平分线,点E、F分别是边AC、BC上的动点.AB=,设AE=x,BF=y.(1)AC的长是;(2)若x+y=3,求四边形CEDF的面积;(3)当DE⊥DF时,试探索x、y的数量关系.练习14:已知:正方形的边长为1。(1)如图(a),可以计算出正方形的对角线长为,求两个并排成的矩形的对角线的长。n个呢?(2)若把(c)(d)两图拼成如下“L”形,过C作直线交DE于A,交DF于B。若DB=5/3,求DA的长度为;
练习15:四边形ABCD中,∠B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面积。练习16:在直线上依次摆放着七个正方形(如图4所示)。已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3,正放置的四个正方形的面积依次是、=_____________。练习17:在一棵树10m高的B处,有两只猴子,一只爬下树走到离树20m处的池塘A处;另外一只爬到树顶D处后直接跃到A外,距离以直线计算,如果两只猴子所经过的距离相等,试问这棵树有多高?练习18:如图,在长方形ABCD中,DC=5,在DC边上存在一点E,沿直线AE把△ABC折叠,使点D恰好在BC边上,设此点为F,若△ABF的面积为30,求折叠的△AED的面积练习19:如图,矩形纸片ABCD的长AD=9㎝,宽AB=3㎝,将其折叠,使点D与点B重合,那么折叠后DE的长是多少?练习20:如图,在长方形ABCD中,将ABC沿AC对折至AEC位置,CE与AD交于点F。(1)试说明:AF=FC;(2)如果AB=3,BC=4,求AF的长练习21:如图2所示,将长方形ABCD沿直线AE折叠,顶点D正好落在BC边上F点处,
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