平面向量的运算第3课时向量的数量积讲义-高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第六章平面向量及其应用6.2平面向量的运算第3课时向量的数量积【课程标准】理解平面向量的数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积。通过几何直观，理解平面向量投影的概念及其投影向量的意义。会用向量的数量积判定两个向量的垂直关系，以及解决夹角、模的问题。【课时目标】1.必备知识：（1）向量的夹角、数量积；（2）投影与投影向量；（3）向量数量积的性质；（4）向量数量积的运算律。2.关键能力：（1）理解平面向量数量积的概念及物理意义；（2）理解平面向量投影的概念；（3）掌握平面向量数量积的性质及运算律；（4）能运用数量积解决向量模、夹角和垂直的问题。3.学科素养：数学抽象、数学运算、直观想象等。【知识归纳】1．两向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝(0≤≤π)叫做向量a与b的夹角．(2)特例：①当＝0时，向量a与b同向；②当＝时，向量a与b垂直，记作a⊥b；③当＝时，向量a与b反向．2．向量的数量积已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，把数量|a||b|叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|.规定零向量与任一向量的数量积为0．注意：(1)两向量的数量积，其结果是数量，而不是向量，它的值等于两向量的模与两向量夹角余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值来决定．(2)两个向量的数量积记作a·b，千万不能写成a×b的形式．3．投影向量如图(1)，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，我们考虑如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影(project)，叫做向量a在向量b上的投影向量．如图(2)，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量．4．向量数量积的性质设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则(1)a·e＝e·a＝|a|cosθ.(2)a⊥b⇔a·b＝0．(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|．特别地，a·a＝|a|2或|a|＝a·a.(4)|a·b|≤|a||b|.注意：对于性质(2)，可以用来解决有关垂直的问题，即若要证明某两个非零向量垂直，只需判定它们的数量积为0即可；若两个非零向量的数量积为0，则它们互相垂直．5．向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律)．(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．注意：(1)向量的数量积不满足消去律；若a，b，c均为非零向量，且a·c＝b·c，但得不到a＝b.(2)(a·b)·c≠a·(b·c)，因为a·b，b·c是数量积，是实数，不是向量，所以(a·b)·c与向量c共线，a·(b·c)与向量a共线，因此，(a·b)·c＝a·(b·c)在一般情况下不成立．(3)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.【例题精讲】例题1.(1)已知单位向量e1，e2的夹角为，a＝2e1－e2，则a在e1上的投影是________．(2)已知向量a与b满足|a|＝10，|b|＝3，且向量a与b的夹角为120°.求：①(a＋b)·(a－b)；②(2a＋b)·(a－b)．例题2.(1)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.(2)已知向量a与b夹角为45°，且|a|＝1，|2a＋b|＝10，求|b|.（3）已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，则|a＋b|＝______，|3a－4b|＝______．例题3.(1)已知|a|＝6，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则a与b的夹角为________；(2)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为______．例题4：(1)已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3且向量3a＋2b与ka－b互相垂直，则k的值为()A．－32 B．32C．±32 D．1(2)已知a，b，c为单位向量，且满足3a＋λb＋7c＝0，a与b的夹角为，则实数λ＝________．【课堂检测】一．选择题（共4小题）1．若，，向量与向量的夹角为，则向量在向量上的投影向量为A． B． C． D．2．在平行四边形中，，则A． B．6 C． D．83．若平面向量与的夹角为，，，则A． B． C．2 D．34．己知、、是平面内的三个单位向量，若，则的最小值为A． B． C． D．5二．填空题（共4小题）5．已知单位向量满足．设，则向量的夹角的余弦值为．6．已知向量，1，，，0，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围为．7．已知非零向量与的夹角为，，若，则．8．已知向量，满足，，与的夹角为，，则．三．解答题（共2小题）9．已知平面内两个不共线的向量，，（1）求．（2）求与的夹角．10．已知平面内两个不共线的向量，，，，．（1）求．（2）求与的夹角．【课堂小结】【课后作业】基础篇一、单选题1.在四边形ABCD中，若AC=AB+ADA．四边形ABCD是矩形 B．四边形ABCD是菱形 C．四边形ABCD是正方形 D．四边形ABCD是平行四边形2.已知O是△ABC所在平面内一点，向量OP1,OP2,A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形3.已知平面向量a,b的夹角为π3，且a∙A．1 B．2 C．2 D．64.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4，AD=3，CD=2，AM=2MD，AC则AB⋅A．12 B．32 C．−35.已知P为△ABC所在平面内的一点，BP=2PC,|AP|=4，若点QA．－92 B．－12 C．－32 二、多选题6.设a，b是两个非零向量．则下列命题为假命题的是()A．若|a+bB．若a⊥b，则C．若|a+b|=|aD．若存在实数λ，使得b=λa三、填空题7.在边长为2的菱形ABCD中，若AC=2，则AB⋅CA=8.已知平行四边形ABCD中，|AB|=|AD|=AB⋅AD=2，点E9.已知向量a,b是两个非零向量，且|a|=|b|=|a四、解答题10.已知|a(1)求a与b的夹角及|2a(2)当ka−b与a11.已知△ABC中，∠C是直角，CA=CB，点D是CB的中点，E为(1)设CA=a,CD=b，当(2)当AE=2EB时，求证：提高篇一、单选题1.已知向量a,b满足|a|=|b|=1，且对任意t∈RA．π3 B．π2 C．2π2.设θ为两个非零向量a,b的夹角，已知当实数t变化时|aA．若θ确定，则|a|唯一确定 B．若θ确定，则|C．若|a|确定，则θ唯一确定 D．若|b二、填空题3.如图