2023届高考数学一轮复习作业古典概型与几何概型新人教B版

PAGEPAGE7古典概型与几何概型一、选择题1．(2020·全国卷Ⅰ)设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为()A．eq\f(1,5)B．eq\f(2,5)C．eq\f(1,2)D．eq\f(4,5)A[根据题意作出图形，如图所示，在O，A，B，C，D中任取3点，有10种可能情况，分别为(OAB)，(OAC)，(OAD)，(OBC)，(OBD)，(OCD)，(ABC)，(ABD)，(ACD)，(BCD)，其中取到的3点共线有(OAC)和(OBD)2种可能情况，所以在O，A，B，C，D中任取3点，取到的3点共线的概率为eq\f(2,10)＝eq\f(1,5)，故选A．]2．“上医医国”出自《国语·晋语八》，比喻高贤能治理好国家．现把这四个字分别写在四张卡片上，其中“上”字已经排好，某幼童把剩余的三张卡片进行排列，则该幼童能将这句话排列正确的概率是()A．eq\f(1,3)B．eq\f(1,6)C．eq\f(1,4)D．eq\f(1,12)A[幼童把这三张卡片进行随机排列，基本事件总数n＝3，∴该幼童能将这句话排列正确的概率P＝eq\f(1,3)．故选A．]3．(2021·湖南雅礼中学高三月考)“总把新桃换旧符”(王安石)、“灯前小草写桃符”(陆游)，春节是中华民族的传统节日，在宋代人们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿．某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满50元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有3名顾客都领取一件礼品，则他们三人领取的礼品种类都不相同的概率是()A．eq\f(2,9)B．eq\f(1,27)C．eq\f(1,9)D．eq\f(1,3)A[根据题意，3名顾客都领取一件礼品，基本事件总数共有：3×3×3＝27种，他们三人领取的礼品种类都不相同的基本事件有Aeq\o\al(3,3)＝6种，故根据古典概型公式得他们三人领取的礼品种类都不相同的概率是P＝eq\f(A\o\al(3,3),27)＝eq\f(2,9)．]4．金字塔(如图1)作为古埃及劳动人民的智慧结晶，是历史留给当下的宝贵遗产，著名的胡夫金字塔的俯视图如图2所示，该金字塔高146.5米，底面正方形边长230米．若小明在距离金字塔底面中心230米的圆周上任取一点(圆周上所有点被选取的概率相等)，从该点处观察金字塔，则小明可以同时看到金字塔两个侧面的概率为()图1图2A．eq\f(1,3)B．eq\f(2,3)C．eq\f(1,4)D．eq\f(3,4)A[如图所示，中间正方形的边长为230米，可得AB＝CD＝230米，其中在eq\o(AB,\s\UP10(︵))处的任意一点，只能看到金字塔的一个侧面，又由圆的半径为230米，其中OA＝OB＝230米，所以△ABO为等边三角形，即∠AOB＝60°，其中有四个这样的区域，只能看到金字塔的一个侧面，所以只能看到一个侧面的概率为eq\f(4×60°,360°)＝eq\f(2,3)，所以小明可以同时看到金字塔两个侧面的概率为eq\f(1,3)．]5．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它由五块等腰直角三角形板、一块正方形板和一块平行四边形板组成．如图，是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为()A．eq\f(3,16)B．eq\f(3,8)C．eq\f(5,16)D．eq\f(7,16)D[设图中最小正方形的边长为a，则此点取自阴影部分的概率P＝eq\f(S阴影,S大正方形)＝eq\f(\f(1,2)a2＋a2＋\f(1,2)×2a2,2\r(2)a2)＝eq\f(7,16)．故选D．]二、填空题6．(2019·江苏高考)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是．eq\f(7,10)[从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，基本事件总数n＝10，选出的2名同学中没有女同学包含的基本事件个数：m＝3，∴选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是p＝1－eq\f(m,n)＝1－eq\f(3,10)＝eq\f(7,10)．]7．有一个底面半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为．eq\f(2,3)[由题意得该圆柱的体积V＝π×12×2＝2π．圆柱内满足点P到点O的距离小于等于1的几何体为以圆柱底面圆心为球心的半球，且此半球的体积V1＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π×13＝eq\f(2,3)π，所以所求概率P＝eq\f(V－V1,V)＝eq\f(2,3)．]8．角谷猜想，是由日本数学家角谷静夫发现的，是指对于每一个正整数，若它是奇数，则对它乘3再加1；若它是偶数，则对它除以2，如此循环最终都能够得到1．例：取n＝6，根据上述过程，得出6,3,10,5,16,8,4,2,1，共9个数．若n＝13，根据上述过程得出的整数中，随机选取两个不同的数，则这两个数都是奇数的概率为．eq\f(1,15)[若n＝13，根据题中所述过程得出的整数分别为13,40,20,10,5,16,8,4,2,1，共10个数，其中奇数共有3个，所以随机选取两个不同的数，则这两个数都是奇数的概率为eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,10))＝eq\f(1,15)．]三、解答题9．已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160．现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？(2)设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．[解](1)由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．(2)①从抽取的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种．②由①，不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种．所以，事件M发生的概率P(M)＝eq\f(5,21)．10．某学校为担任班主任的教师办理手机语音月卡套餐，为了解通话时长，采用随机抽样的方法，得到该校100位班主任每人的月平均通话时长T(单位：分钟)的数据，其频率分布直方图如图所示，将频率视为概率．(1)求图中m的值；(2)估计该校担任班主任的教师月平均通话时长的中位数；(3)在[450,500)，[500,550]这两组中采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求抽取的2人恰在同一组的概率．[解](1)依题意，根据频率分布直方图的性质，可得：50×(m＋0.0040＋0.0050＋0.0066＋0.0016＋0.0008)＝1，解得m＝0.0020．(2)设该校担任班主任的教师月平均通话时长的中位数为t．因为前2组的频率之和为(0.0020＋0.0040)×50＝0.3<0.5，前3组的频率之和为(0.0020＋0.0040＋0.0050)×50＝0.55>0.5，所以350<t<400，由0.3＋0.0050×(t－350)＝0.5，得t＝390．所以该校担任班主任的教师月平均通话时长的中位数为390分钟．(3)由题意，可得在[450,500)内抽取6×eq\f(0.0016,0.0016＋0.0008)＝4人，分别记为a，b，c，d，在[500,550]内抽取2人，记为e，f，则6人中抽取2人的取法有：{a，b}，{a，c}，{a，d}，{a，e}，{a，f}，{b，c}，{b，d}，{b，e}，{b，f}，{c，d}，{c，e}，{c，f}，{d，e}，{d，f}，{e，f}，共15种等可能的取法．其中抽取的2人恰在同一组的有{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}，{e，f}，共7种取法，所以从这6人中随机抽取的2人恰在同一组的概率P＝eq\f(7,15)．1．在区间[0，π]上随机地取一个数x，则事件“sinx≤eq\f(1,2)”发生的概率为()A．eq\f(3,4)B．eq\f(2,3)C．eq\f(1,2)D．eq\f(1,3)D[在[0，π]上，当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))∪eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，π))时，sinx≤eq\f(1,2)，故概率为eq\f(\f(π,3),π)＝eq\f(1,3)．]2．(2021·奉新县第一中学高三三模)2021年是中国共产党成立100周年，3月24日，中宣部发布中国共产党成立100周年庆祝活动标识(图1)，标识由党徽、数字“100”“1921”“2021”和56根光芒线组成，生动展现中国共产党团结带领中国人民不忘初心、牢记使命、艰苦奋斗的百年光辉历程．其中“100”的两个“0”设计为两个半径为R的相交大圆，分别内含一个半径为1的同心小圆，且同心小圆均与另一个大圆外切(图2)．已知R＝eq\r(2)＋1，在两大圆的区域内随机取一点，则该点取自两大圆公共部分的概率为()图1图2A．eq\f(π－1,2π＋1) B．eq\f(π－2,3π＋2)C．eq\f(π－3,4π＋3) D．eq\f(4－π,5π＋4)B[如图，A，B是两圆心，C，D是两圆交点，四边形ACBD边长均为eq\r(2)＋1，又AB＝eq\r(2)＋2，所以AC2＋BC2＝AB2，所以∠ACB＝90°，四边形ACBD是正方形，R＝eq\r(2)＋1，弓形面积为S′＝eq\f(1,4)πR2－eq\f(1,2)R2，两个弓形面积为2S′＝eq\f(1,2)πR2－R2，两圆涉及部分面积为S＝2πR2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)πR2－R2))＝eq\f(3,2)πR2＋R2，所以所求概率为P＝eq\f(2S′,S)＝eq\f(\f(1,2)πR2－R2,\f(3,2)πR2＋R2)＝eq\f(π－2,3π＋2)．]3．甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加“《论语》知识大赛”，决出第1名到第5名的名次．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说“虽然你的成绩比乙好，但是你俩都没得到第一名”；对乙说“你当然不会是最差的”．从上述回答分析，丙是第一名的概率是．eq\f(1,3)[因为甲和乙都不可能是第一名，所以第一名只可能是丙、丁或戊，又考虑到所有的限制条件对丙、丁、戊都没有影响，所以这三个人获得第一名是等概率事件，所以丙是第一名的概率是eq\f(1,3)．]4．已知向量a＝(－2,1)，b＝(x，y)．(1)若x，y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a·b＝－1的概率；(2)若x，y在连续区间[1,6]上取值，求满足a·b<0的概率．[解](1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6＝36，由a·b＝－1，得－2x＋y＝－1，所以满足a·b＝－1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3个．故满足a·b＝－1的概率为eq\f(3,36)＝eq\f(1,12)．(2)若x，y在连续区间[1,6]上取值，则全部基本事件的结果为Ω＝{(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6}．满足a·b<0的基本事件的结果为A＝{(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6且－2x＋y<0}．画出图象如图所示，矩形的面积为S矩形＝25，阴影部分的面积为S阴影＝25－eq\f(1,2)×2×4＝21，故满足a·b<0的概率为eq\f(21,25)．1．某展会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三