初二几何中常用辅助线的添加

一.教学内容：寒假专题一一初二几何中常用辅助线的添加【典型例题】（一）添加辅助线构造全等三角形例1,已知：AB〃CD,AD〃BC。求证：AB=CD分析：证明线段相等的方法有：（1）中线的定义；（2）全等三角形的对应边相等；（3）等式的性质。在本题中，我们可通过连结AC,构造全等三角形来证明线段相等。证明：连结AC.•AB〃CD,AD〃BCAZ1=Z3,Z2=Z4在^ABC和^CDA中Vl=Z3AC=ACZ4=Z2.•.△ABCSCDA（ASA）AAB=CD（二）截长补短法引辅助线当已知或求证中涉及到线段a、b、c有下列情况时：=±占二九如直接证不出来，可采用截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；补短法：延长较短线段和较长线段相等，这两种方法放在一起叫截长补短法。通过线段的截长补短，构造全等把分散的条件集中起来。例2,如图，4ABC中，NACB=2NB,N1=N2。求证：AB=AC+CD证法一：（补短法）在4ABD和4AFD中西=AFZl=Z2AD=AD.•.△ABDSAFD(SAS)AZB=ZFZACB=2ZBAZACB=2ZF而NACB=ZF+ZFDCAZF=ZFDCACD=CF而AF=AC+CFAAF=AC+CDAAB=AC+CD证法二：(截长法)在AB上截取AE=AC,连结DE在4AED和4ACD中工豆=ACZl=Z2AD=AD.•.△AEDSACD(SAS)：.DE=DC,ZAED=ZC'：Zaed=Zb+Zedb,Zacb=2Ab：.2ZB= +ZSDB：./B=/EDB：.EB=ED=DC：.AB=AE+EB=AC+DC例3.如图，在Rt△ABC中，AB=AC,ZBAC=90°,Z1=Z2,CE±BD交BD的延长线于E,证明：BD=2CE。分析：这是一道证明一条线段等于另一条线段的2倍的问题，可构造线段2CE,转化为证两线段相等的问题，分别CE=FE=-CF延长BA,CE交于F,证△8£尸048£^得 2 ，再证△ABD04ACF,得BD=CF。证明：分别延长BA、CE交于点FVBEXCFAZBEF=ZBEC=90°在△BEF和^BEC中21=Z2BE=BEZBEF=ABEC.•.△BEFSBEC(ASA)：.CE=FE=；CFVZBAC=90°,BE±CF.\ZBAC=ZCAF=90°,Z1+ZBDA=90°,Z1+ZBFC=90°AZBDA=ZBFC在^ABD和^ACF中2班C=ZCAFAbda=Zbfcab=ac.△ABDSACF(AAS)ABD=CFABD=2CE（三）加倍法和折半法证明一条线段是另一条线段的两倍，常用如下方法：将较短线段延长一倍，然后证明它和较长线段相等，或将较长线段折半，然后证明它和较短线段相等，这种方法称为加倍法和折半法。例4.已知：如图，AD是4ABC的中线，AE是4ABD的中线，AB=DC,ZBAD=ZBDAO求证：AC=2AE分析：欲证AC=2AE,只要取AC的中点，证其一半与AE相等，或延长AE至等长，证其与AC相等，由于AE是4ABD的中线，故考虑延长AE至F,使EF=AE,证AF=AC.（此种方法我们又称为中线倍长法）只要证△ABF04ADC,观察图形发现，可以证明△ADE04FBE,则可得出BF=AD,尚需条件NADC=NFBA,而这可由外角的性质推出。证明：延长AE至F,使EF=AE,连结BFVAE是4ABD的中线ABE=ED在△BEF和4DEA中ZF二EAABEF=乙DEABE=DE.△BEFSDEAAZEBF=ZBDA,BF=DAVZBAD=ZBDA.\ZEBF=ZBAD■//adc= +Abad乙FBA=ZABD+AEBF：.Zadc=乙fba在^ADC和^FBA中3=DCZFBA=ZADCRF=DA.•.△ADCSFBA.\AC=AFXVAF=2AE.•・AC=2AE（四）利用角平分线的性质来添加辅助线有角平分线（或证明是角平分线）时，常过角平分线上的点向角两边作垂线段，利用角平分线上的点到角两边的距离相等证题。例5.已知：4ABC的NB、NC的外角平分线交于点P。求证：AP平分NBAC证明：过P点作PDXAC于D点，PFXAB于F点，PEXBC于E点PC,BP为4ABC的NB、NC的外角平分线PD±AC,PEXBC・.PD=PE（角平分线性质）同理：PF=PE.•.PD=PF（等量代换）・・AP平分NBAC（角平分线性质逆定理）例6.已知：如图，N1=N2,P为BN上一点，且PDXBC于D,AB+BC=2BD。求证：NBAP+NBCP=180°分析：要证NBAP+NBCP=180°,而由图可知NBAP+NEAP=180°,故只要证NEAP=NBCP即可。由N1=Z2,PDLBC,想到过P点向BA作垂线PE,有PE=PD,BE=BD,又由工B ，得AE=CD,故△APE04CPD,从而有NEAP=NBCP,问题得证。证明：过点P作PEXBA于EVPD±BC,Z1=Z2・.PE=PD(角平分线的性质)在RtABPE和RtABPD中\BP=BP[PS=PDZ.RtABPE^RtABPD(HL)ABE=BD'：AB+BC=2BDBC=CD+BDAB=BE-AE：.AE=CD'：PElBSfPDLBCAZPEB=ZPDC=90°在^PEA和^PDC中'FE=PD，AFEB=ZLPDCAS=CD.•.△PEASPDCAZPCB=ZEAPZBAP+ZEAP=180°AZBAP+ZBCP=180°【模拟试题】（答题时间：40分钟）1.已知，如图，AB=AE,BC=ED,5=修,'F_LC0，垂足为f,求证：CF=DF2,在四边形ABCD中，BC>BA,AD=DC,BD平分,求证：ZA+ZC=180°3.已知AD是^ABC的中线，E在BC的延长线上，CE=AB,=/BC?!,求证：AE=2AD4,已