初中数学面积法

面积法1、常见规则图形的面积公式;2、等积定理；3、面积比定理。1、如图1,凸四边形ABCD的四边AB、BC、CD、DA的长分别是3、4、12、13,ZABC=90。,则四边形ABCD的面积为.答案：36考点：勾股定理；勾股定理的逆定理。分析：连接AC，在RtAABC中，已知AB、BC根据勾股定理可以求得AC=5，在AACD中，AC2+CD2=AD2，根据勾股定理的逆定理确定AACD为直角三角形，四边形ABCD的面积为AACD和RtAABC面积之和。,RtAACD的面积为1x5x,RtAACD的面积为1x5x12=

2AC=\，AB2+BC2=5又：AC2+CD2=AD2・•・AACD为直角三角形，・RtAABC的面积为1x3x4=62，四边形ABCD的面积为AACD和RtAABC面积之和，S=30+6=36故答案为36.点评：本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了直角三角形面积的计算，本题中判定AACD为直角三角形是解题的关键。2、如图2,已知AABC中，D、E、F、G均为BC边上的点，且BD=CG,DE=GF=1BD,2EF=3DE，若S^BC=1,则图中所有三角形的面积之和为.答案：7考点：三角形面积与底的正比关系。分析：如图所示的所有三角形都具有相等的高，于是可将计算所有三角形面积之和的问题转化为计算BC上所有线段长度之和的问题。解答：因为所有线段长之和是BC的n倍••图中所有三角形面积之和就是S 的n倍AABC设DE=GF=1,则UBD=CG=2,EF=3,BC=9，图中共有1+2+3+4+5=15个三角形则它们在线段BC上的底边之和为：

\bC+（BD+DC）+（BE+EC）+（BF+FC）+（BG+GCH+\dG+（DE+EG）+（DF+FG）+EF]=9x5+5x3+3=63由此可知BC上所有线段之和63是BC=9的7倍••图中所有三角形面积之和等于S―的7倍.已知S^BC=1,故图中所有三角形的面积之和为7.故答案为：7点评：此题主要考查学生对三角形面积的理解和掌握，解答此题的关键是图中所有三角形都具有相等的高，通过转化的思想，找出解决问题的捷径。3、如图3,□ABCD的面积是m，点E、F分别平分AB、BC,则S=ADEFCA DECFA DECA DECFA DE3答案：-m8解答：不妨设口abcd为长方形，如图则|有AD=BC=mSADEF8四边形abcdSAADESABEFSadCFmmm=解答：不妨设口abcd为长方形，如图则|有AD=BC=mSADEF8四边形abcdSAADESABEFSadCFmmm=m 4 8 44、如图4,已知边长为a的正方形ABCD,E为AD的中点，P为CE的中点，那么ABPD的面积的值是 .答案：,a28考点：正方形的性质；三角形的面积；勾股定理。分析：观察图形可以发现SABPD=SAbcd-SAcdp-SSABPD、SABCD SACDP、'、bcp即可。，所以要求ABPD的面积分别计算ABCP解答：过P作PF±CD,PG±BC，则PF//ADPF=CG,PG=CF观察图形可以发现SABPD=SAbcd-SAcdp-Sbcp••S=—BC-CD=-a2abcd 2 2S =1CD-PF=1a2ACDP2 8B GC图4BEDFabcp・•・SABPD点评：本题考查了正方形各边长相等、各内角为直角的性质，考查了三角形面积的计算，本题中正确计算SBPD、SABCD、SACDP、SABCP是解题的关键。5、如图5,四边形ABCD的对角线AC和BD相交于。点，如果SOABD OABC OBCD那么sOOBC5、如图5,四边形ABCD的对角线AC和BD相交于。点，如果SOABD OABC OBCD那么sOOBC=.答案：4考点：三角形的面积。分析：先设出一个三角形的面积：OAOB的面积是s1=%，再用代数式表示出图中其它三角形的面积，利用中间桥OA得出方程，进一步求出结果。OC解答：设OAOB的面积是s1=%，则OADO的面积是s2ODOC的面积是s=10-（6—%）=4+%•・,OABO的边OA上和OBOC的边上的高相等=5—%，OBOC的面积是s=6—%，OCOAOCss••-1——2-s3s4即—匚=5s£，解得：%—26-%4+%•SOobc=6—2=4点评：解此题的关键是灵活运用三角形的面积公式，等高时面积比等于边之比，从而转化成解方程，求出未知数的值。6、（第5届“希望杯”邀请赛题）在OABC的三边AB、BC、CA上，分别取AD、BE、CF，使AD=1AB

4，BE=1BC4CF=1AC，则ODEF的面积是OABC的面积的（4A、B、C、D、16答案:考点：三角形的面积。考点：三角形的面积。分析：连接AE.根据三角形的面积公式求得OBDE和OABE的面积比，OABE和OABC的面积比，进而求得OBDE和OABC的面积比，同理求得OECF、OADF和OABC的面积比，最后求解。分析：解答：如图，连接AE•・,AD=1AB，4BE=•・,AD=1AB，4BE=1BC

43•・S ——S，OBDE 4OABES=1SOABE 4OABC3・•.S——S

OBDE 16OABC 3同理可得：S——S，OCEF16OABC3S——S

OADF 16OABC所以S——SODEF 16OABC点评：此题考查了根据三角形的面积公式求三角形的面积比的方法。7、（2004年第15届“希望杯”初二年级竞赛题）如图6,在直角扇形ABC内，分别以AB和AC为直径作半圆两条半圆弧相交于点D，整个图形被分成SjS2S3,S4四部分，则S2和S4的大小关系是（D、无法确定答案：B考点：和AC为直径作半圆两条半圆弧相交于点D，整个图形被分成SjS2S3,S4四部分，则S2和S4的大小关系是（D、无法确定答案：B考点：扇形面积的计算。分析：设AB=AC=2a,2 扇形ACB 半圆ab式分别计算出它们的面积就可得到S2和S4的大小关系。解答：设AB=AC=2a，根据题意得：根据扇形和圆的面积公半+SS2=S扇形ACBS半圆ABS半圆ACS490kx（2a）2 °1 0 ° 2x—x兀xa2+S=S360 2 4 4S4S1S3S2C图16故选B.点评：本题考查了扇形的面积公式：S=理R2，其中n为扇形的圆心角的度数，360R为圆的半径），或S=1伏，2为扇形的弧长，R为半径。8、2在矩形ABCD中，AB=2,BC=1,则矩形的内接三角形的面积总比数（）小或相等。A、C、答案：等。A、C、答案：B解答：需分类讨论，如图，显然图（甲）及图（乙）中内接三角形面积为1如图（丙）、（丁）、（戊）中NEFG的面积显然小于1,综上所述A丙A丁戊A丙A丁戊9、（第11届“希望杯”邀请赛）在正方形ABCD中，AB=43,点E、F分别在BC、CD上，且/BAE=30。,/DAF=15。，则AAEF的面积为.答案：3--v3考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质。分析：将AADF绕A点顺时针方向旋转90°到AABG的位置，得到AABG，得AAEF=AAEG，要求AAEF的面积求AAEG即可，且AB为底边上的高，EG为底边。解答：将AADF绕A点顺时针方向旋转90°到AABG的位置•・AG=AF,/GAB=ZFAD=15。，/GAE=15。+30。=45。，/EAF=90。一（30。+15。）=45°EC=BC-BE=v3-EC=BC-BE=v3-1,EF=2C3-1)又AE=AE•・AAEF=AAEG•・EF=EG,/AEF=/AEG=60°在RtAABE中，AB=<3,/BAE=30°・•・/AEB=60°,BE=ABtan30°=1・•・EG=2(3-1),在RtAEFC中，/FEC=180°-(60。+・•・EG=2(3-1),S =1EG-AB=3-y3AAEG2J，SAAEF=SAAEG=点评：本题考查了全等三角形的证明，考查了正方形各边各内角均相等的性质，解本题的关键是巧妙地构建AABG,并且求证AAEF=AAEG.10、（2005年第16届“希望杯”初二年级竞赛题）已知AABC三条高的比是3:4:5，且三条边的长均为整数，则AABC的一条边长可能是（ ）A、10 B、12 C、14 D、16答案：B考点：约数与倍数；三角形的面积。专题：推理填空题。分析：根据题意，设三边为X,Y,Z,运用三角形面积公式得到1Xa=1Ya=1Za，据给2 12 2 2 3出的已知条件得出三边之比，既而得出答案。解答：解：设三边为X,Y,Z三条对应的高为aJa/a3可得:-Xa=-Ya=Za2 12223

已知a:a:a=3:4:5可得X:Y:Z=20:15:12因为三边均为整数又4个答案分别是10,12,14,16所以答案应该是12故选B.点评：此题考查了学生对公倍数和三角形面积的理解和掌握。关键是运用三角形面积公式得到1Xa=1Ya=1Za，据给出的已知条件得出三边之比。TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"2 12 2 2 311、（第14届“希望杯”邀请赛）如图7,将AABC的三边AB，BC，CA分别延长至B'，C，\o"CurrentDocument"A'，且使BB'=AB，CC=2BC，AA'=3AC，若S^BC=1，那么S匐既,是（ ）A、15 B、16答案：D考点：三角形的面积。专题：计算题。分析：连接CB'，利用BB'=AB，CC=2BC，理可求得SAA,CC,和S“BA,然后即可得出答案。解答：连接CB'•・•AB=BB'二SABB'C=SAABC=1又CC=2BC'SABCC=2SABBC=2'SABBC=3同理可得SACC=8,SABA=6...S^Bc=3+8+6+1=18・•・故选D.C、17D、18AA，=3ACC、17D、18AA，=3AC.若S^BC=1,求得sABBC，'同SABBC12、（2005年第16届“希望杯”初二年级竞赛题）如图8,AABC中，BC:AC=3:5，四边形BDEC和ACFG分均为正方形，已知AABC与正方形BDEC的面积比是3:5，那么ACEF与整个图形的面积比等于 .答案：二224考点：相似三角形的判定与性质。专题：计算题。分析：根据三角形面积计算公式即可求得AABC和ACEF的面积相等，设BC=3，则即可计算ACEF的面积和整个图形的面积，即可求得ACEF与整个图形的面积比，即可解题。

解答：：S=1BC-ACsinZBCA,S =1CE-CFsinZECF,/BCA+ZECF=180。TOC\o"1-5"\h\zAABC2 4CEF 2・•・^ABC和ACEF的面积相等设BC=3则正方形BDEC的面积为9,四边形BDEC的面积为25\o"CurrentDocument" 3 27AABC的面积为9x—=—5 5故整个图形的面积比为25+9+2x27=22455・•・ACEF与整个图形的面积比=々224点评：本题考查了三角形面积的计算，锐角和其补角的正弦值相等的性质，正方形面积的计算，本题中求ACEF和整个图形的面积是解题的关键。13、（第6届“希望杯”邀请赛题）如图9，AABC的面积为18cm2,点D、E、F分别位于AB、BC.CA上，且AD=4cm，DB=5cm，如果AABE的面积和四边形DBEF的面积相等，则AABE的面积是（）A、8cm2 B、9cm2 C、10cm2 D、12cm2答案：C考点：三角形的面积。专题：转化思想。分析：本题由题意可知AABE的面积和四边形DBEF的面积相等，可通过连接DE，DC的方法，证明出DE//AC，进而求出ABDC的面积，然后即可求出答案。解答：连接DE，DCSAABES四边形DBEFSaade'afde・•两个三角形有公共底DE，且面积相等•・高相等•・DE//AC从而可得：S^DE=SACDESAABE ABDC又AD=4cm，DB=5cm・•・S=5S =10cm2ABDC9AABC即S =10cm2AABE点评：本题考查三角形面积性质的应用，可通过作辅助线的方法，做此题时注意理清各个三角形面积之间的关系。14、（第7届“希望杯”邀请赛题）如图10，直角ZAOB内有一点P，OP=a，ZPOA=30。，过点P作一直线MN与OA>OB分别交于M、N,使AMON的面积最小