初中数学三角形问题中的数学思想方法

三角形问题中的数学思想方法数学思想和方法是数学基础知识、基本技能的本质体现，是形成数学能力、数学意识的桥梁，是灵活应用数学知识、技能的灵魂.因此，在解三角形题过程中准确快捷的关键是正确运用数学思想方法.这里对三角形解题时常用的分类讨论思想、整体思想、方程思想、转化思想、数形结合思想等举例予以说明，以供同学们学习参考应用.一、分类讨论思想由于题目的约束较弱（条件趋一般）或图形位置的变化常常使同一问题具有多种形态，因而有必要考查全面（所有不同情况）才能把握问题的实质.此种情况下应当进行适当分类，就每种情形研究讨论结论的正确性.例1在等腰三角形中，一腰上的中线把它的周长分为15cm和6cm两部分，求三角形各边的长.分析:要注意等腰三角形有两边相等，一腰上的中线把它的腰分成的两段相等.由于问题中未指明哪一段为15cm，哪一段为6cm，故需分类讨论.解:设腰长为xcm，底边为ycm，即AB=x，贝UAD=CD=—x，BC=y4-1TOC\o"1-5"\h\z⑴若x+2x=6时，则y+2x=15. I/I\o"CurrentDocument"1 BC由x+—x=6得乂=4.把x=4代入y+—x=15得y=13. 图1因为4+4<13,所以不能构成三角形.\o"CurrentDocument"1 1⑵若x+—x=15时，则y+yx=6.1 1由x+yx=15得x=10.把x=10代入y+yx=15得y=1.10+1>10符合题意，所以三角形三边分别为10cm、10cm、1cm.例2已知非直角三角形ABC中，NA=45°,高BD和CE所在直线交于H,求NBHC的度数.分析:三角形的形状不同，高的交点的位置也就不同.高的交点可能在三角形内部，也可•…6”:。

能在三角形外部，故应分两种情况加以讨论.解:⑴当^ABC为锐角三角形时（图2）•「BD、CE是4ABC的高，ZA=45°,.\ZADB=ZBEH=90°.在4ABD中，ZABD=180°-90°-45°=45°.,ZZBHC是4BHE的外角，.•・NBHC=90°+45°=135°.⑵当4ABC为钝角三角形时（图3）「H是4ABC两条高所在直线的交点ZA=45°,AZABD=180°-90°-45°=45°.在RtABEH中，ZBHC=180°-90°-45°=45°...ZBHC的度数是135°或45°.注意：涉及三角形高的问题，常常会因为高的位置而需要讨论，否则就会漏解二、整体思想研究某些数学问题时，往往不是以问题的某个组成部分为着眼点，而是将待解决的问题看作一个整体，通过研究问题的整体形式，整体结构做整体处理后，达到解决问题的目的例3如图4,求NA+NB+NC+ND+NE+NF+NG的度数.分析:观察图形可得，图由一个四边形和一个三角形构成，可根据四边形和三角形的内角和定理求度数之和.解:因为NA+ZC+ZE=180°,又因为NB+ND+NF+NG=360°,所以NA+NB+NC+ND+NE+NF+NG=540°.剖析:例题中若直接求出每一角的度数再求其和显然是做不到的.因此，设法整体求值是解题的关键.事实上，有些数学问题，如果从局部去考虑，拘泥于常规，则举步维艰.如果从全局着手，突破常规，则会柳暗花明.三、方程思想求值时，当问题不能直接求出时，一般需要设未知数继之建立方程用解方程的方法求出结果，这也是解题中常见的具有导向作用的一种思想.例4如图5,在^ABC中，NB=NC,N1=N2,NBAD=40°.求NEDC.分析：利用三角形的外角性质，设法建立关于NEDC的方程. A解:设NEDC=x.因为N1是4DEC的外角，所以N1=x+NC. /42-…1

又因为N1=N2,所以N2=x+NC.又因为N2是4ABD的外角，所以NADC=NB+NBAD.所以/B+NBAD=N2+x,即NB+40°=NC+2x.因为NB=NC,所以2x=40°,解得x=20°.剖析:方程是解决很多数学问题的重要工具，很多数学问题可以通过构造方程而获解事实上，用设未知数的方法表示所求，可使计算过程书写简便，也易于表明角与角之间的关系.四、转化思想用简单、已学过的知识解决复杂、未知的知识，把复杂的问题转化为简单的问题，将陌生的问题转化为熟悉的问题来解.这种解题思想叫转化思想.例5如图6,求五角星各顶角之和.分析:因为NA、NB、NC、ND、NE较分散，本例中又不知其度数，因此，应设法将它们集中起来，将问题转化为三角形来处理.根据三角形外角性质和内角和定理可以求解.解:因为N1=NC+NE,N2=NB+ND,又因为N1+N2+NA=180°,所以NA+NB+NC+ND+NE=180°.点拨:此题还可以连接CD求解.当我们求多个角之和不能直接计算时，应考虑转化为三角形求解.五、数形结合思想例6如图7,在^ABC中，已知AD是角平分线，NB=60°,NC=45°,求NADB和NADC的度数.分析:在4ABD中，NADB是一个内角，它等于180°—NB—NBAD,故求出NBAD即可求出NADB的度数，这由已知条件不难求得;同理可求出NADC的度数.解:在4ABC中，VZB=60°,NC=45°,NB+NC+NBAC=180°,AZBAC=180°—ZB—ZC=180°—60°—45°=75°.1XVAD是角平分线，AZBAD=ZDAC=-NBAC=37.5°.在^ABD中，NADB=180°—NB—NBAD=180°—60°—37.5°=82.5°.同理NADC=180°—NC—NDAC=180°—45°—37.5°=97.5°.点拨:几何与代数是患难兄弟，密不可分.在求解几何题中，通常数与形要结合起来才能打开思路，进行运算.否则，一头舞水，扑朔迷离，茫然不知所措.数学思想方法在三角形中的应用一、方程思想方法：例1、已知：等腰三角形的周长是24cm，腰长是底边长的2倍，求腰长.分析：根据等腰三角形的周长=腰长+腰长+底边长和腰长是底边长的2倍，可设一腰长的长为xcm，可列方程为％+2%+2%=24,解之即可.解：(1)设底边长％cm，则腰长为2%cm%+2%+2%=24%=4.8；・腰长=2%=2*4.8=9.6(cm)点拨：用设未知数，找相等关系，列方程来解，体现了几何问题用代数方法解和方程思想.二、分类讨论的思想方法：例2、已知斜三角形ABC中，NA=45°，高BD和CE所在直线交于H，求NBHC的度数.分析：三角形的形状不同，高的交点的位置也就不同，斜三角形包括锐角三角形和钝角三角形，故应分两种情况讨论.解：,「△ABC为斜三角形,/.△ABC可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形，当4ABC为锐角三角形时(如图1),•「BD、CE是4ABC的高，NA=45°,.\ZADB=ZBEH=90°,/.NABD=90°-45°=45°,AZBHC=ZABH+ZBEH=45°+90°=135°.当^ABC为钝角三角形时(如图2),H为4ABC的两条高所在直线的交点，NA=45°,/.NABD=90°-45°=45°,在Rt△EBH中，NBHC=90°-ZABD=90°-45°=45°.综上所述，NBHC的度数是135°或45°.点拨：当问题出现的结果不唯一时，我们就需要分不同的情况来解决，这就是分类的思想.此类问题的出现，往往会被同学们忽视，或考虑不全面，希望大家在平时就要养成分类解析的习惯.本题易犯的错误是只考虑锐角三角形的情况，而造成解答不全面的错误三、转化的数学思想方法：例3、如图3,已知五角星形的顶点分别为A、B、C、D、E,请你求出NA+NB+NC+分析:直接求这五个角的度数和显然比较难，又考虑到此图中提供的角应与三角形有关，我们应该想办法将这几个角转化成三角形的内角，然后利用三角形的内角和定理求解解法一：「Nl是4CEM的外角，♦//1=/。+/£,VZ2是4BDN的外角，・•・N1=NB+ND.在4AMN中，由三角形内角和定理，得ZA+Z1+Z2=180°,AZA+ZB+ZC+ZD+ZE=180°.解法二：如图4,连结CD,在4BOE和4COD中，N5=N6,VZ3+Z4+Z6=ZB+ZE+Z5=180°,AZ3+Z4=ZB+ZE.在4ACD中，NA+NACE+NADC=180°,AZA+ZAC