等腰三角形的性质资料

第一章

三角形的证明1.1等腰三角形第1课时

等腰三角形的性质1知识点全等三角形的性质和判定问

题全等三角形的定义是什么？知1－导1.全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等.2.全等三角形的判定方法（1）三边分别相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或

“SSS”）.（2）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（简写成“角

边角”或“ASA”）.（3）两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形

全等（简写成“角角边”或“AAS”）.（4）两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（简写成“边

角边”或“SAS”）知1－讲知1－讲利用全等三角形的判定方法，当∠D＝∠B时，两个三角形符合“边角边”，△ADF≌△CBE．导引：B例1（2015•贵州省贵阳）如图，点E，F在AC上，AD＝BC，DF＝BE，要使△ADF≌△CBE，还需要添加的一个条件是（）A．∠A＝∠C B．∠D＝∠B

C．AD∥BC D．DF∥BE知1－练1(2016•金华)如图，已知∠ABC＝∠BAD，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是(

)A．AC＝BD

B．∠CAB＝∠DBAC．∠C＝∠D

D．BC＝AD知1－练2(2016•南京)如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△ABO≌△ADO.下列结论：①AC⊥BD；②CB＝CD；③△ABC≌△ADC；④DA＝DC.其中所有正确结论的序号是________．2知识点等腰三角形的边、角性质知2－导1．等腰三角形的相关概念回顾：知2－导2．议一议(1)还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？(2)请你选择等腰三角形的一条性质进行证明，并与

同伴交流.归纳知2－导定理等腰三角形的两底角相等.这一定理可以简述为：等边对等角.知2－讲例2已知：如图1-1，在△ABC中，AB＝AC.求证：∠B＝∠C.分析：我们曾经利用折叠的方法说明了这两个底角相等(如图1-2).实际

上，折痕将等腰三角形分成了两

个全等三角形.这启发我们，可以

作一条辅助线，把原三角形分成

两个全等的三角形，从而证明这

两个底角相等.图1-2知2－讲证明：如图1-3,取BC的中点D，连接

AD.∵AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD(SSS).∴∠B＝∠C(全等三角形的对应角相等）.知2－讲1．性质：等腰三角形的两底角相等(简写成“等边对等

角”)．要点精析：(1)适用条件：必须在同一个三角形中．(2)应用格式：在△ABC中，因为AB＝AC，所以∠B＝

∠C.(3)作用：它是证明角相等常用的方法，它的应用可省

去三角形全等的证明，因而更简便．知2－讲例3

(1)在△ABC中，AB＝AC，若∠A＝50°，求∠B；(2)若等腰三角形的一个角为70°，求顶角的度数；(3)若等腰三角形的一个角为90°，求顶角的度数．导引：给出的条件中，若底角、顶角已确定，可直接运用三

角形的内角和定理与等腰三角形的两底角相等的性质

求解；若给出的条件中底角、顶角不确定，则要分两

种情况求解．解：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴50°＋2∠B＝180°，解得∠B＝65°.知2－讲(2)由题意可知，70°的角可以为顶角或底角，当底角

为70°时，顶角为180°－70°×2＝40°.因此顶角

为40°或70°.(3)若顶角为90°，底角为

若底角为90°，则三个内角的和大于180°，不符合三角形

内角和定理．因此顶角为90°.总

结知2－讲1．在等腰三角形中求角时，要看给出的角是否确定为顶角或底角．若已确定，则直接利用三角形的内角和定理求解；若没有指出所给的角是顶角还是底角，要分两种情况讨论，并看是否符合三角形内角和定理．2．若等腰三角形中给出的一内角是直角或钝角，则此角必为顶角．知2－讲例4如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AB上一点，E是AC延长线上一点，且BD＝CE，DE交BC于点F.求证：DF＝EF.导引：要证DF＝EF，可转化为证它们所在的三角形全等，而根据现有条件易知DF，EF所在的三角形不全等，因此可以考虑作辅助线，进行图形之间的转换，使条件集中．知2－讲证明：如图，过点E作EM∥AB交BC的延长线于点M，

则∠M＝∠B.∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.又∵∠ACB＝∠ECM，∴∠B＝∠ECM.∴∠ECM＝∠M.∴CE＝ME.又∵BD＝CE，∴ME＝BD.又∵∠BFD＝∠MFE，∴△BDF≌△MEF(AAS)．∴DF＝EF.(2016•滨州)如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC＝CD＝BD＝BE，∠A＝50°，则∠CDE的度数为(

)A．50°B．51°C．51.5°D．52.5°知2－练知2－练(2016•枣庄)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，E为BC的延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线交于点D，则∠D的度数为(

)A．15°B．17.5°C．20°D．22.5°知3－导3知识点等腰三角形的“三线合一”想一想在图1-3中，线段AD还具有怎样的性质？为什么？由此你能得到什么结论?1．推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底

边上的高线互相重合(简写成“三线合一”)．要点精析：(1)含义：这是等腰三角形所特有的性质，它实际是一组

定理，应用过程中，在三角形是等腰三角形前提下，

“顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线”只

要知道其中“一线”，就可以说明是其他“两线”．(2)作用：是证明线段相等、角相等、垂直等关系的重要

方法，应用广泛．知3－讲(3)对称性：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线(或

底边上的高线、底边上的中线)所在的直线是它的对

称轴．(4)应用格式：如图，在△ABC中，①∵AB＝AC，AD⊥BC，∴AD平分∠BAC(或BD＝CD)；②∵AB＝AC，BD＝DC，∴AD⊥BC(或AD平分∠BAC)；③∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴BD＝DC(或AD⊥BC)．知3－讲（来自《点拨》）知3－讲如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，∠ABC的平分线BG交AC于点G，交AD于点E，EF⊥AB，垂足为F.(1)若∠BAD＝25°，求∠C的度数；(2)求证：EF＝ED.∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴∠BAD＝∠CAD.∴∠BAC＝2∠BAD＝50°.∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC

＝(180°－∠BAC)

＝(180°－50°)＝65°.例5(1)解：知3－讲(2)求证：EF＝ED.证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴ED⊥BC.又∵BG平分∠ABC，EF⊥AB，∴EF＝ED.总

结知3－讲(1)利用等腰三角形的“三线合一”证明角相等、线段相等和垂直关系是一种既重要又简便的方法；因为题目的证明或计算所求结果大多都是单一的，所以“三线合一”的应用也是单一的，一般得出一个结论，因此应用要灵活．(2)在等腰三角形中，作“三线”中“一线”，利用“三线合一”是等腰三角形中常用的方法．知3－讲如图，已知AB＝AE，BC＝DE，∠B＝∠E，AM⊥CD，垂足为M.求证：CM＝MD.如图，连接AC，AD.在△ABC和△AED中，

∴△ABC≌△AED(SAS)．∴AC＝AD.又∵AM⊥CD，∴CM＝MD.

导引：证明：例6由已知AM⊥CD和结论CM＝MD，联想到等腰三角形的“三线合一”，由此连接AC，AD构造等腰三角形．总

结知3－讲对于单一等腰三角形作“三线合一”的基本图形，作底边上的高、中线