2020年高考数学一轮复习考点与题型总结：选修4-4 坐标系与参数方程

选修4-4坐标系与参数方程第一节坐标系—、基础知识平面直角坐标系中的坐标伸缩变换x'=入x(^>0),设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换0：,/、的作用下，[y=心3>0)点P(x,y)对应到点P'(x‘，yz),称0为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示，在平面内取一个定点O,叫做极点；自极点O引一条射线Ox,叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系.(2)极坐标极径：设M是平面内一点，极点O与点M的距离IOMI叫做点M的极径，记为p.极角：以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为6.极坐标：有序数对(p,6)叫做点M的极坐标，记为M(p,6).一般不作特殊说明时，我们认为p三0,6可取任意实数.极坐标与直角坐标的互化设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x,y),极坐标是(p,6),则它们之间的关系为：厂八p2=x2+y2,x=pcos6,{1y、y=psin6；tan6=(xMO).Ix4.简单曲线的极坐标方程曲线极坐标方程圆心为极点，半径为r的圆p=r(0W6<2n)圆心为(r,0),半径为r的圆p=2rcos2w6Wf)圆心为(r,2),半径为r的圆p=2rsin6(0W6<n)

过极点，倾斜角为«的直线O=a(p^R)或0=n+a(p丘R)过点(a,0)，与极轴垂直的直线(nn)pcos0=a(—2<°<2^过点(a,2)，与极轴平行的直线psin0=a(Ov0<n)考点一平面直角坐标系下图形的伸缩变换y2X=3X变换后所得曲线C的焦点坐标.［典例］求双曲线C：X2—右=1经过变换后所得曲线C的焦点坐标.64t2yz=y［解］设曲线C上任意一点p(x',y),工亠,由上述可知，将<3‘代入X2—64=1,、y=2y/得宁—4yF=i，化简得宁—专=1，即X2—y6=i为曲线C的方程,可见仍是双曲线，则焦点(—5,0)，(5,0)为所求．［解题技法］伸缩变换后方程的求法x'=A%CA>0),平面上的曲线y=f(x)在变换p：{//小的作用下的变换方程的求法是将x="I［y=妙3>0)

代入y=fx),得计=f^y)整理之后得到yf=h(xx="I的方程．［提醒］应用伸缩变换时，要分清变换前的点的坐标(x,y)与变换后的坐标(x‘,yz).［题组训练］1•若函数y=f(x)的图象在伸缩变换p：{/°的作用下得到曲线的方程为y'=［y/=3y3sin(x'+6)，求函数y=f(x)的最小正周期.解：由题意，把变换公式代入曲线y'=3sin(x'得

3y=3sin(2x+才，整理得y=sin(2x,故fx)=sin(2x+6).所以函数f(x)的最小正周期为兀x2y2XA^X,2.将圆x2+y2=1变换为椭圆25+16=1的一个伸缩变换公式(P：：/=a，〃＞0)，解：将变换后的椭圆25+H=1改写为壬十说+1A=1，25十16解：将变换后的椭圆25+H=1改写为壬十说+1A=1，25十16所以'2=1,A=5,“=4.考点二极坐标与直角坐标的互化［典例］(2018・江苏高考)在极坐标系中，直线l的方程为psin(6—J=2，曲线C的方程为p=4cos0,求直线l被曲线C截得的弦长.［解］因为曲线C的极坐标方程为p=4cos0,化成直角坐标方程为(X—2)2+y2=4,所以曲线C是圆心为(2,0),直径为4的圆.因为直线l的极坐标方程为psin(6—0)=2,3化成直角坐标方程为y=专(x—4),n则直线l过A(4,0),倾斜角为6，所以A为直线l与圆C的一个交点.n设另一个交点为B,则ZOAB=6・如图，连接OB.n因为OA为直径，从而ZOBA=2，

所以直线l被曲线C截得的弦长为2打.［解题技法］1．极坐标方程与直角坐标方程的互化方法直角坐标方程化为极坐标方程:将公式x=pcos0及y=psin0直接代入直角坐标方程并化简即可．极坐标方程化为直角坐标方程：通过变形，构造出形如pcos0,psin0,p2的形式，再应用公式进行代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)p及方程两边平方是常用的变形技巧．2．极角的确定由tan0确定角0时，应根据点P所在象限取最小正角.当xMO时，0角才能由tan0="按上述方法确定.x当x=0时，tan0没有意义，这时可分三种情况处理：n当x=0,y=0时，0可取任何值；当x=0,y>0时，可取0=2；当x=0,y<0时，可3n取0=q.［题组训练］1.(2019・郑州质检)在极坐标系下，已知圆O：p=cos0+sin0和直线l：psin(0—4)=于(p三0,0W0V2n).(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；⑵当0^(0,n)时，求直线l与圆O的公共点的极坐标.解：(1)圆O:p=cos0+sin0,即p2=pcos0+psin0,故圆O的直角坐标方程为x2+y2—x—y=0,直线l:psin(0—4)=耳，即psin0—pcos0=1,则直线l的直角坐标方程为x—y+1=0.x=0,

解得彳[y=1,xx=0,

解得彳[y=1,⑵将两直角坐标方程联立得L—y+1=。，即圆O与直线l在直角坐标系下的公共点为(0,1),将(0,1)转化为极坐标为(1,弓即为所求.2.已知圆o1和圆o2的极坐标方程分别为p=2,p2—2迈p・cos(0—£=2.(1)求圆O1和圆O2的直角坐标方程;

(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程解：(1)由p=2知p2=4,所以圆O1的直角坐标方程为x2+y2=4.因为p2—2詁2pcos(〃一寸=2,所以p2—2\：2p(cosOcosf+sin如口寸=2,所以圆O2的直角坐标方程为x2+y2—2x—2y—2=0.(2)将两圆的直角坐标方程相减,得经过两圆交点的直线方程为x+y=1.化为极坐标方程为pcosO+psin0=1,即psin(O+4)=孚考点三曲线的极坐标方程的应用［典例］(2017•全国卷II)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为pcos0=4.M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足IOM|.|OPI=16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；设点A的极坐标为(2,3)，点B在曲线C2上，求AOAB面积的最大值.［解］(1)设P的极坐标为(p,0)(p>0),M的极坐标为(p1,0)(p1>O).4由题设知IOPI=p,IOMI=P］=cOJ0.由IOMI・IOPI=16，得C2的极坐标方程p=4cos0(p>O).因此C2的直角坐标方程为(x—2)2+y2=4(x^0).(2)设点B的极坐标为(pB,a)(pB>0),sin(a—3由题设知IOAI=2,pB=4cosa,sin(a—3S=*IOAI.pB・sinZAOB=4cosa即当a=—12时，S取得最大值2+所以AOAB面积的最大值为2+-朽.［解题技法］1．求简单曲线的极坐标方程的方法(1)设点M(p，O)为曲线上任意一点，由已知条件，构造出三角形，利用三角函数及正、余弦定理求解IOMI与0的关系.(2)先求出曲线的直角坐标方程，再利用极坐标与直角坐标的变换公式，把直角坐标方程化为极坐标方程．2．利用极坐标系解决问题的技巧(1)用极坐标系解决问题时要注意题目中的几何关系，如果几何关系不容易通过极坐标表示时，可以先化为直角坐标方程，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题加以解决．(2)已知极坐标方程解答最值问题时，通常可转化为三角函数模型求最值问题，其比直角坐标系中求最值的运算量小．［提醒］在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，注意转化的等价性．［题组训练］x=cose，(2019・青岛质检)在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为｛|(其中(Py=l+sinp为参数).以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.求圆C的极坐标方程；设直线l的极坐标方程是psin@+3)=2,射线0M：0=6与圆C的交点为P，与直线l的交点为Q,求线段PQ的长.解：(1)圆C的普通方程为x2+(y—1)2=1,又x=pcosQ,y=psinQ,所以圆C的极坐标方程为p=2sin0.n⑵把0=6代入圆的极坐标方程可得pP=1,n把0=6代入直线l的极坐标方程可得Pq=2，所以IPQl=lpp—Pq1=1.9(2018・湖北八校联考)已知曲线C的极坐标方程为P2=cos20+9sin20，以极点为平面直角坐标系的原点O,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系.求曲线C的直角坐标方程；A,B为曲线C上两点，若OA丄OB,求£花+O花的值.»9解：⑴由P2=cos20+9sin20得P2cos20+1cos20(2)因为p1cos20(2)因为p2=cos20+9sin20，所以况=—厂+sin20,x2将x=pcos0,y=psin0代入得到曲线C的直角坐标方程是g+y2=1.

由OA丄OB,设A(p1,a),则点B的坐标可设为［p2,a±21,11,1cos2a,.,sin2a,1,一10所以IO^+iOBi2=P1+P2=丁+sin2a+"T+cos2a=9+1=［课时跟踪检测］1.在极坐标系中，求直线pcos@+|)=1与圆p=4sin0的交点的极坐标.解：pcos(0+6)=1化为直角坐标方程为\［3x_y=2,即y=/3x—2.p=4sin0可化为x2+y2=4y,把y=>/3x—2代入x2+y2=4y,得4x2—^'3x+12=0,即(x—''3)2=0,所以x=\/3,y=1.所以直线与圆的交点坐标为(V3,1),化为极坐标为(2,6)2.在极坐标系中，已知圆C2.在极坐标系中，已知圆C经过点圆心为直线psin(0—3)=—¥与极轴的交点，求圆C的极坐标方程.解：在psin(0-3)=-¥中，令0=0,得p=1,所以圆C的圆心坐标为(1,0).因为圆C因为圆C经过点所以圆C的半径IPCI=二::⑴3)2+12—2X1X迈cosf=1,于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为p=2cos0.3.在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x—；3)2+(y+1)2=9,以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求圆C的极坐标方程；n⑵直线OP：0=6(pWR)与圆C交于点M,N,求线段MN的长.解：(1)(x—\'3)2+(y+1)2=9可化为x2+y2—2\3x+2y—5=0,故其极坐标方程为p2—2\j'3pcos0+2psin0—5=0.n(2)将0=6代入p2—2和'3pcos0+2psin0—5=0,得p2—2p—5=0,所以P]+p2=2,p/2=—5,所以IMNI=p]—p2l=；'4+20=2*6.4.在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为pcos(0—3)=1，M,N分别为C与x轴，y轴的交点.求C的直角坐标方程，并求M,N的极坐标；设MN的中点为P,求直线OP的极坐标方程.解：⑴由pcos(0—3)=1得pgcos0+"^sin0)=1.从而C的直角坐标方程为1x+g3y=1,即x+V3y=2.当0=0时,p=2,所以M(2,0)．当0=2时，p=23~，所以⑵由(1)知M点的直角坐标为(2,0),N点的直角坐标为所以点P所以点P的直角坐标为(1,则点p的极坐标为呼，n)n所以直线OP的极坐标方程为0=6<peR).5.(2018・南昌摸底调研)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为(x—13)2+(y—2)2=4，直线C2的方程为y=f,以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.求曲线C1和直线C2的极坐标方程；若直线C2与曲线C1交于P，Q两点，求IOPIJOQI的值.解：(1)T曲线C]的普通方程为(x—*3)2+(y—2)2=4,即x2+y2—2：/3%—4y+3=0,曲线q的极坐标方程为p2—2\：3pcos0—4psin0+3=0.•・•直线C2的方程为y=33x,n・•・直线c2的极坐标方程为0=6(peR).(2)设P(p1,01),Q(p2,02),

将0=6(pWR)代入p2—2\：3pcos0—4psin0+3=0,得p2—5p+3=0,Ap1p2=3,AIOPI^IOQl=p1p2=3.6.(2019・山西八校联考)在直角坐标系xOy中，曲线C的方程为(x—3)2+(y—4)2=25.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C的极坐标方程；nn⑵设l1：0=6,l2：0=3，若l1，l2与曲线C分别交于异于原点的A,B两点，求aaob的面积.解：(1)・.・曲线C的普通方程为(x—3)2+(y—4)2=25,即x2+y2—6x—8y=0.曲线C的极坐标方程为p=6cos0+8sin0.⑵设a(p1,6),b(p2‘3)把0=6代入p=6cos0+8sin0,得p1=4+^3,.•.A(4+3V3,6)n得卩2=3+4\'3,把0=3代入p=6cos0+8sin0,.°.B(3得卩2=3+4\'3,nn3—6•:SAOB=2P1P2nn3—6=1(4+^/3)(3+^3)sinl=12冲x=tcosa，7.在直角坐标系xOy中，曲线q：{(t为参数，庁0)，其中0WaV兀在以1[y=tsinaO为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：p=2sin0，C3：p=2岀cos0.(1)求C2与C3交点的直角坐标；⑵若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B,求IABI的最大值.解：(1)曲线C2的直角坐标方程为x2+y2—2y=0,曲线C3的直角坐标方程为x2+y2—^;3x=0.

Jx2+y2—2y=0,1x2+y2—2\：3x=0,x=x=0,解得[y=0”一2，或3ly=2"所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和(¥，2(2)曲线C1的极坐标方程为6=a(p^R,pM0)，其中0WaV兀sin(a—3因此A的极坐标为(2sina,a),B的极坐标为(2\；3cosasin(a—3所以IABI=l2sina—2\：3cosal=4当a=6时，lABl取得最大值，最大值为4.8.(2019・郑州一中模拟)在平面直角坐标系中，曲线q的普通方程为x2+y2+2x-4=0,曲线C2的方程为y2=x,以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.求曲线C1，c2的极坐标方程；求曲线C1与C2交点的极坐标，其中p20,0W0<2n.fx=pcos3,解：⑴依题意，将｛代入x2+y2+2x—4=0可得p2+2pcos3—4=0.[y=psin3fx=pcos3,将<代入y2=x,得psin23=cos3.y=psin3故曲线q的极坐标方程为p2+2pcos3—4=0,曲线C2的极坐标方程为psin23=cos3.(2)将y2=x代入x2+y2+2x—4=0,得x2+3x—4=0,解得x=1,x=—4(舍去)，当x=1时，y—±1,所以曲线C1与C2交点的直角坐标分别为(1,1),(1,—1),记A(1,1),B(1,—1),所以PA一冷1+1=;'2,pB=\'1+1=''2,tan3A=1,tan3B=—1,因为p三0,0W3<2n,点A在第一象限，点B在第四象限，n所以3an所以3a=43b-詈故曲线C1与C2交点的极坐标分别为(远,4)，(迈，¥)•第二节参数方程一、基础知识1．曲线的参数方程在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数\x=f(t),(、并且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,〔y=g(t)，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程F(x，y)=0叫做普通方程.2．参数方程和普通方程的互化参数方程化普通方程：利用两个方程相加、减、乘、除或者代入法消去参数．普通方程化参数方程：如果x=f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y=g(t)，则得曲线的参数方程ly=g(t).3．直线、圆、椭圆的参数方程x=xn+tcosa，⑴过点M(x0，y0),倾斜角为⑴过点M(x0，y0),倾斜角为a(t为参数)．、y=y0+tsina直线参数方程的标准形式的应用x=x„H-tcosa,过点M0(x0,yo),倾斜角为a的直线l的参数方程是｛0若M,M2是l上000[y=y0+tsina.12的两点，其对应参数分别为t1,t2，则IM1M2l=lt1-t2l.若线段M1M2的中点M所对应的参数为t,则t=t1"Ht2，中点M到定点M0的距离IMM0I=ltl=若M0为线段M1M2的中点，则t1+t2=0.IM0M]IIM0M2I=It1t2I.(2)圆心在点M0(x0，y0)，(0为参数(2)圆心在点M0(x0，y0)，(0为参数)．[y=y0+rsin0(3)椭圆a2(3)椭圆a2+b2=l(a>b>0)的参数方程为x=acos申，y=bsin申((P为参数).考点一参数方程与普通方程的互化［典例］已知直线l的参数方程为<(t为参数)，圆C的参数方程为x=4cos3,求直线l和圆C的普通方程；若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围.［解］(1)直线l的普通方程为2x-y~2a=0,圆C的普通方程为x2+y2=16.(2)因为直线l与圆C有公共点，|-2a|故圆C的圆心到直线l的距离〃=—雲04,解得一2<3WaW2$5.即实数a的取值范围为［一2诟，2厉］.［解题技法］将参数方程化为普通方程的方法将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参(如sin23＋cos23=1等)．［提醒］将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，防止增解．［题组训练］1．将下列参数方程化为普通方程．x=x=(1)(t为参数)．(1)^y=2(et_e-f)x2tan20,(2){(3为参数).y=2tan3解：⑴由参数方程得et=x+y,e-t=x-y,所以(x+y)(x-y)=1,即x2-y2=1.(2)因为曲线的参数方程为x=2tan23.y=2tan3(3为参数)，£⑵把考点二参数方程的应用由y=2tanB,得tan0=2，代入①得y2=2x.2.如图，以过原点的直线的倾斜角0为参数，求圆x£⑵把考点二参数方程的应用由y=2tanB,得tan0=2，代入①得y2=2x.2.如图，以过原点的直线的倾斜角0为参数，求圆x2+y2—x=0的参记圆心为C(2，0),连接CP,则ZPCx=20,［典例］(2019・广州高中综合测试)已知过点P(m,0)的直线l的参数方程是x=m+尊一(t为参数)，以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立<y=2t极坐标系，曲线C的极坐标方程为p=2cos0.(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;(2)若直线l和曲线C交于A，B两点，且IP4I・IPBI=2，求实数m的值.［解］⑴消去参数t,可得直线l的普通方程为x=\；3y+m，即x_*3y~m=0.因为p=2cos0,所以p2=2pcos0.可得曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2x，即x2—2x+y2=0.—丄亚x—m十2t，代入x2—2x+y2=0,ly#得t2十(\‘3m—"J3)t+m2—2m=0.由/>0，得一1vmv3.设点A，B对应的参数分别为t1，t2，则t2=m2—2m.所以圆的参数方程为』X=COS20，b=s】n0cos0&为参数八数方程.解：圆的半径为2故xp=^+^cos20=COS20，yp=2sin20=sin0cos0.因为IPAI・IPBI=lt］・t2l=2,所以m2—2m=±2,解得m=l±\；3.因为一1vmv3，所以m=1±\；3.［解题技法］1．应用直线参数方程的注意点在使用直线参数方程的几何意义时，要注意参数前面的系数应该是该直线倾斜角的正余弦值，否则参数不具备该几何含义．2．圆和圆锥曲线参数方程的应用有关圆或圆锥曲线上的动点距离的最大值、最小值以及取值范围的问题，通常利用它们的参数方程转化为三角函数的最大值、最小值求解，掌握参数方程与普通方程互化的规律是解此类题的关键．［题组训练］Jx=\；3cosa,ly=sina1.Jx=\；3cosa,ly=sina（a为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为psin@+4）='J°.（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（2）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2的距离的最大值，并求此时点P的坐标.x2解：⑴曲线C1的普通方程为g+y2=1,由psin（o+4）="j2,得psin0+pcos0=2,得曲线C2的直角坐标方程为x+y—2=0.(2)设点P的坐标为(V3cosa,sina),则点P到C2的距离为h/3cosa+sina—2I2sinv则点P到C2的距离为迈=忑(n\nn5n、当sin^a+3J=—1,即a+j=—^+2kn(k^Z),a=—石+2kn(kWZ)时，所求距离最大,最大值为2迈,此时点P的坐标为x=2cos0，2.（2018・全国卷II）在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为彳（0为参数）,ly=4sin0x=1+tcosa，直线l的参数方程为｛小I•（t为参数）.ly=2＋tsina（1）求C和l的直角坐标方程;

⑵若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率.解：⑴曲线c的直角坐标方程为予+16=1.当cosaMO时，直线l的直角坐标方程为y=tanax+2—tana,当cosa=0时，直线l的直角坐标方程为x=1.(2)将直线l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(1+3cos2a)t2+4(2cosa+sina)t—8=0.①因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以①有两个解，设为t1，t2，则t1+t2=0.又由①得t又由①得t1+t2=—4(2cosa+sina)1+3cos2a故2cosa+sina=0，于是直线l的斜率k=tana=—2.考点三极坐标、参数方程的综合应用x=—5+岑2cost,.y=3+\：2sintx=—5+岑2cost,.y=3+\：2sint(t为参数)，在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为¥°cos@+4)=—1.求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；设直线l与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P是圆C上任一点，求A，B两点的极坐标和APAB面积的最小值.［解］(1)［解］(1)由x=—5+\；2cost,y=3+'j2sint消去参数t，得(x+5)2+(y—3)2=2，所以圆C的普通方程为(x+5)2+(y—3)2=2.弓P弓Pcos@+4)=-1,得pcos0—psin0=—2,所以直线l的直角坐标方程为x—y+2=0.(2)直线l与x轴，y轴的交点分别为A(—2,0)，B(0,2)，则点A，B的极坐标分别为(2，n+2kn)(kWZ)，(2，n+2kn)(k£Z).设点P的坐标为(—5+“j2cosa，3+“j2sina)，

则点P到直线l的距离则点P到直线l的距离d=旦也—6+2cos(a+4当cos(a+4丿=1,即a+4=2kn(kWZ),a=—4+2kn(k^Z)时，点P到直线l的距离取得最小值，所以dmin=寸2=2p2,又IABI=2^/2,所以Apab面积的最小值s=2xdminxiabi=1x^/2x^/2=4.［解题技法］极坐标、参数方程综合问题的解题策略(1)求交点坐标、距离、线段长．可先求出直角坐标系方程，然后求解．(2)判断位置关系．先转化为平面直角坐标方程，然后再作出判断．(3)求参数方程与极坐标方程综合问题．一般是先将方程化为直角坐标方程，利用直角坐标方程来研究问题．［题组训练］在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线q：p2—4pcos0+3=0,0W[O,2n],曲线C2：p=石＞，0W[O,2n].4血(6-©(1)求曲线C1的一个参数方程；⑵若曲线c1和曲线c2相交于A，B两点，求IABI的值.解：(1)由p2—4pcos0＋3=0，得x2＋y2—4x＋3=0，所以(x—2)2+y2=1.所以C的一个参数方程为x=2+cosa,、y=sina(2)因为C2所以C的一个参数方程为x=2+cosa,、y=sina(2)因为C2：cos0—cosgsin0j=3,[=2X^=乎所以IABI=2[=2X^=乎所以IABI=22.在平面直角坐标系xOy中，x=2+tcos申,y=l：3+tsin申所以4专x—乎y)=3,即2x—2p3y—3=0,因为直线2x—^|f3y—3=0与圆(x—2)2+y2=1相交于A,B两点,

(t为参数，(pW0，3)，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的圆心C的极坐标为(2,3)，半径为2,直线l与圆C交于M，N两点.求圆C的极坐标方程；当p变化时，求弦长IMNI的取值范围.解：(1)由已知，得圆心C的直角坐标为(1,曲),圆的半径为2,・•.圆C的直角坐标方程为(x—1)2+(y—<3)2=4,即x2+y2—2x—2\：3y=0,Tx=pcos3,y=psin0,.°.p2—2pcos0—2-j3psin0=0,故圆C的极坐标方程为p=4cos(£—3).(2)由(1)知，圆C的直角坐标方程为x2+y2—2x—2“朽y=0,将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程得,(2+tcosp)2+c/3+tsinp)2—2(2+tcosp)—3("』3+tsinp)=0,整理得,t2＋2tcosp—3=0,设M,N两点对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=—2cosp,»t2=—3,IMNI=It]—t2I=(t]+t2)2—4»t2=4cos2p+12.VpGVpG[o,3]，cospW2，1IMNIW[VT3,4].故弦长IMNI的取值范围为⑴巧，4］.［课时跟踪检测］1.若直线｛x=tcos1.若直线｛x=tcosa，.(t为参数)与圆y=tsinax=4+2cos3,y=2sin3(3为参数)相切，求直线的倾斜角a.fx=tcosa,解：直线<(t为参数)的普通方程为y=xtana.y=tsinax=4+2cos3,圆｛(3为参数)的普通方程为(x—4)2+y2=4.y=2sin3由于直线与圆相切，贝F=2,1+tan2a1弋3即tan2a=3,解得tana=土寸,

n5n由于[0,n),故a=6或6•x=—8+t,在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为{t（t为参数），曲卜=2Ix2s2线C的参数方程为l=2,2（s为参数），设P为曲线C上的动点，求点P到直线1的距离的最小值．解：直线1的普通方程为x—2y+8=0.因为点P在曲线C上，设P（2s2,2\/2s）,从而点p到直线1的距离d=|2s2—4伍+8|=2（s—；°）2+4.12+（—2）2当S=\耳时，dmin=堺.因此当点P的坐标为（4,4）时，曲线C上的点P到直线1的距离取到最小值x=cos3,3.已知P为半圆C：{（3为参数，0W3Wn）上的点，点A的坐标为（1,0）,O、y=sin3n为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧AP的长度均为亍（1）以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标;（2）求直线AM的参数方程.n解：（1）由已知，点M的极角为3，n且点M的极径等于3,nn\故点M的极坐标为百，3丿.⑵由⑴知点m⑵由⑴知点m的直角坐标为（n，字），A(1,0)．故直线AM的参数方程为（t为参数）．x=1+(6-1故直线AM的参数方程为（t为参数）．"T3n5=6t4.（2019・长春质检）以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知点P的直角坐标为（1,2）,点C的极坐标为（3,2）,若直线1过点P，且倾斜角为彳，圆C以点C为圆心，3为半径.（1）求直线1的参数方程和圆C的极坐标方程;(2)设直线l与圆C相交于A,B两点，求IPWIPBL＜x=l+*t,解:(1)由题意得直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的极坐标方程为、y=2+”tp=6sin3.(2)由(1)易知圆C的直角坐标方程为x2+(y—3)2=9,I丄虽Jx=1+〒t,把代入x2+(y—3)2=9，得t2+&3—1)t—7=0,、y=2十2t设点A,B对应的参数分别为t1,t2,・\t1t2=—7,又IP4I=It]I,IPBI=It2I,・・・IP4I・IPBI=7.x=2cost,5.(2018・南昌一模)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为＜,(ty=2sint+2为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.求曲线C的极坐标方程；n2n若直线l1，l2的极坐标方程分别为31=6(P1^R),32=亍32丘2，设直线l1，l2与曲线C的交点分别为O,M和0,N,求AOMN的面积.fx=2cost,解：(1)由参数方程｛得普通方程为x2+(y—2)2=4,、y=2sint+2[x=pcos3,把+代入x2+(y—2)2=4,得p2—4psin3=0.、y=psin3所以曲线C的极坐标方程为p=4sin3.TOC\o"1-5"\h\znn(2)由直线l1：31=6(p1^R)与曲线C的交点为O,M,得IOMI=4sin6=2.2n2n由直线l2：32=^(p2WR)与曲线C的交点为O,N,得IONI=4sin寸=2<3.易知ZMON=2,所以S/omn=|iOMIXIONI=|X2X^,5=3.x=cos3,6.(2018・全国卷III)在平面直角坐标系xOy中，0O的参数方程为＜(3为参、y=sin3数)，过点(0,—、运)且倾斜角为a的直线l与0O交