2021-2022年高中数学第二章点直线平面之间的位置关系3.1直线与平面垂直的判定5作业含解析新人教版必修220220226139

PAGEPAGE6直线与平面垂直的判定[基础巩固]1．如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是()A．平行 B．垂直相交C．垂直但不相交 D．相交但不垂直解析：因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，则BD⊥MC.因为AC∩MC＝C，所以BD⊥平面AMC.又MA⊂平面AMC，所以MA⊥BD.显然直线MA与直线BD不共面，因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交．答案：C2．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m⊥β的是()A．α∥β，且m⊂α B．m∥n，且n⊥βC．m⊥n，且n⊂β D．m⊥n，且n∥β解析：A中，由α∥β，且m⊂α，知m∥β；B中，由n⊥β，知n垂直于平面β内的任意直线，再由m∥n，知m也垂直于β内的任意直线，所以m⊥β，B符合题意；C，D中，m⊂β或m∥β或m与β相交，不符合题意．故选B.答案：B3．正方体ABCD­A1B1C1D1中，求BB1与平面ACD1解：方法一：如图，设正方体的棱长为1，上下底面的中心分别为O1，O，则OO1∥BB1，O1O与平面ACD1所成的角就是BB1与平面ACD1所成的角，即∠O1OD1，cos∠O1OD1＝eq\f(|O1O|,|OD1|)＝eq\f(1,\r(\f(3,2)))＝eq\f(\r(6),3).

方法二：画出图形，如图，BB1与平面ACD1所成的角等于DD1与平面ACD1所成的角，在三棱锥D­ACD1中，由三条侧棱两两垂直且相等得点D在底面ACD1内的射影为等边三角形ACD1的重心，即中心H，连接D1H，DH，则∠DD1H为DD1与平面ACD1所成的角，设正方体的棱长为a，则cos∠DD1H＝eq\f(\f(\r(6),3)a,a)＝eq\f(\r(6),3).[能力提升]1．下列四个命题中，正确的是()①若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线与这个平面垂直；②若一条直线平行于一个平面，则垂直于这条直线的直线必垂直于这个平面；③若一条直线平行于一个平面，另一条直线垂直于这个平面，则这两条直线互相垂直；④若两条直线垂直，则过其中一条直线有唯一一个平面与另一条直线垂直．A．①② B．②③C．②④ D．③④解析：若一条直线垂直于一个平面内的无数条平行的直线，则这条直线与这个平面不一定垂直，所以①错误．若一条直线平行于一个平面，垂直于这条直线的直线也可能平行于这个平面，所以②错误．若一条直线平行于一个平面，则平面内必有一条直线与之平行，另一条直线垂直于这个平面，则该直线与平面内的那条直线垂直，从而这两条直线互相垂直，所以③正确．显然若两条直线垂直，则过其中一条直线与另外一条直线垂直的平面只有一个，所以④正确．答案：D2．若直线l不垂直于平面α，那么在平面α内()A．不存在与l垂直的直线B．只存在一条与l垂直的直线C．存在无数条直线与l垂直D．以上都不对解析：过斜足，容易在α内找到一条直线与l垂直，则在α内与此直线平行的无数条直线都与l垂直．答案：C

3．设α表示平面，a、b表示直线，给出下列四个说法，其中正确的是()①a∥α，a⊥b⇒b∥α②a∥b，a⊥α⇒b⊥α③a⊥α，a⊥b⇒b⊂α④a⊥b，b⊂α⇒a⊥αA．①② B．①④C．② D．②④解析：①中可能有b∥α，b⊂α或b与α相交；③中可能有b⊂α或b∥α；④中可能有a与α不垂直，或a⊥α；只有②正确．答案：C4.如图，DA⊥平面ABC，ED⊥平面BCD，DE＝DA＝AB＝AC，∠BAC＝120°，M为BC的中点，则直线EM与平面BCD所成角的正弦值为()A.eq\f(\r(3),3) B.eq\f(2,3)C.eq\f(\r(5),3) D.eq\f(\r(2),2)解析：∵ED⊥平面BCD，∴DM为EM在平面BCD上的射影，∴∠EMD为EM与平面BCD所成的角．∵DA⊥平面ABC，∴DA⊥AB，DA⊥AC.设AB＝a，∵DA＝AB＝AC，∴DC＝DB＝eq\r(2)a.在△ABC中，∵∠BAC＝120°，∴BC＝eq\r(3)a.又∵M为BC的中点，∴DM⊥BC，BM＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(\r(3),2)a，∴DM＝eq\f(\r(5),2)a.在Rt△EDM中，EM＝eq\r(DE2＋DM2)＝eq\f(3,2)a，∴sin∠EMD＝eq\f(DE,EM)＝eq\f(a,\f(3,2)a)＝eq\f(2,3).答案：B5．如图所示，PO⊥平面ABC，BO⊥AC，在图中与AC垂直的线段有()

A．1条 B．2条C．3条 D．4条解析：∵PO⊥平面ABC，∴PO⊥AC.又∵AC⊥BO，∴AC⊥平面PBD，∴平面PBD中的4条线段PB、PD、PO、BD与AC垂直．答案：D6．如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边．则能保证该直线与平面垂直的是________．解析：②④中的两边有可能平行．答案：①③7．有下列四个说法：①如果直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；②如果直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；③如果直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线；④如果直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直．其中正确说法的个数为________．解析：根据线面垂直的定义，易知①②是错误的；当直线l与平面α斜交时，设l在平面α内的射影为m，则在平面α内可以作无数条直线与直线m垂直，这些平行线都与l垂直，所以③错误，④正确．答案：18．在正三棱锥P­ABC中，PA＝eq\r(3)，侧棱PA与底面ABC所成的角为60°，则该三棱锥的底面边长为________．解析：在正三棱锥P­ABC中，设点P在底面ABC的射影为点O，则点O为△ABC的中心，则AO＝eq\f(1,2)AP＝eq\f(\r(3),2)，设底面边长为x，则eq\f(2,3)×eq\f(\r(3),2)x＝eq\f(\r(3),2)，解得x＝eq\f(3,2).答案：eq\f(3,2)9．在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，已知AA1＝2AB，求CD与平面BDC1解：如图，设AA1＝2AB＝2，连接AC交BD于点O，连接OC1，A1C1，过点C作CH⊥OC1∵BD⊥AC，BD⊥AA1，AC∩AA1＝A，∴BD⊥平面ACC1A1∵CH⊂平面ACC1A1，∴CH⊥又CH⊥OC1，OC1∩BD＝O，∴CH⊥平面BDC1，∴∠CDH即CD与平面BDC1所成的角．又OC1＝eq\r(CC\o\al(2,1)＋OC2)＝eq\r(4＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2)＝eq\f(3,\r(2))，由等面积法，得OC1·CH＝OC·CC1，解得CH＝eq\f(2,3)，∴sin∠CDH＝eq\f(CH,CD)＝eq\f(2,3).10．(2016·黄冈模拟)如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，AB＝eq\r(2)，O为对角线A1C的中点．(1)求证：AA1∥平面DOB；(2)求OD与底面ABCD所成的角的大小．解：(1)证明：如图所示，连接AC，BD交于E，连接OE，则OE∥AA1.又因为AA1⊄平面DOB，且OE⊂平面DOB，所以AA1∥平面DOB.(2)∵AA1⊥平面AC，且