学科方法 参数法

学科方法•参数法参数观点是运动、变化思想在数学中的重要体现.参数是解析几何中最活跃的元素，也是解题的一种主要方法.解析几何中的许多解题技巧都来源于参数观点.参数法解题的基本步骤参数法解题的步骤是：设参，即选择适当的参数(参数的个数可取一个或多个)；用参，即建立参数方程或含参数的方程；消参，即通过运算消去参数，使问题得到解决.例1已知抛物线y2=2px(p>0)，在x轴的正半轴上求一点M，使过M的弦牛，满足0Pi±0P2.【解】如图2—5，设M(m，0)(m>0)、P(x，y)、P(x，y).1 1 1 2 2 2OP1±OP2，a•典=1即y1y2="x1x2.(y1y2)2=4p2x1x2.从而(-x1x2)2=4p2x1x2.x1#0，x2#0，xx=4p21①设直线P1P2的方程为y=k（x-m），把它代入y2=2px中，整理，得k2X2-2（k2m+p）x+k2m2=0.由韦达定理，得x1x2=m2 ②把②代入①中，得m2=（2p）2.■/m>0，p>0，「.m=2p.于是所求的点M的坐标为（2p，0）.【解说】 本例选点P、P的坐标为参数，利用已知条件建立x，x，y，y，m，p的关系式，消去1 2 12 12参数，求得m的值.例2己知椭圆《+如L直绑*+吝=1，P是1上一点，射线2416 128OP交椭圆于点R，又点Q在OP上且满足|OQ|・|OP|=|OR|2.当点P在l上移动时，求动点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.（1995年全国高考理科压轴题）【解】如图2—6，设动点Q（x，y）（x，y不同时为零）.又设|OR|=A|OQ|，|OP|=u|OQ|，（入，u>0），由于Q、R、P三点共线，所以点R（入x，入y）、点P（ux，uy）.|oq|・|op|=|or|2，u|OQ|2=A21OQ|2.又|OQ|#0，■■-u=L七从而;" ①■■-R在椭圆W+W=l上，24 16

同理，由p在1上，可得于是由①、②、③，可得动点Q同理，由p在1上，可得于是由①、②、③，可得动点Q的轨迹方程为即气虻+气如其中，雾y不同时为零）.故动点Q的轨迹是以点（侦）为中心、长、短半轴分别为半、淳且长轴平行于X轴的椭圆，去掉坐标原点.解说1本例1用参数料胸.它以黑=篇和黑="为参数,利用已知条件|OQ|・|op|=|or|2巧妙地消去参数，这里参数是一个过渡，起桥梁作用.这种解法比高考命题者提供的答案简明.（二）解题技巧的一个源泉参数观点是产生解题技巧的一个源泉，解析几何的许多解题技巧都起源于参数.其中“设而不求”和“代点法”就是最突出的两个..设而不求例3如图2—7，过圆外一点P（a，b）作圆X2+y2=R2的两条切线，切点为A、B，求直线AB的方程.=R2.=R2.圈2-7【解】设A、B的坐标分别为（x1y）、（％,七），则切线AP、Bp的方程分别为xix+【解】设A、B的坐标分别为（x1这两条切线都过点P（a,b）,「.aX]+byjR2,ax2+by2=R2.由以上二式可以看出，点A、B在直线ax+by=R2上，又过A、B只有一条直线，直线AB的方程为ax+by=R2.【解说】本例中把A、B的坐标作为参数.虽然设了A、B的坐标，但并没有去求它的值，而是利用曲线与方程的概念，巧妙地“消去”参数，这就是所谓的“设而不求”..代点法例4求抛物线y2=12x的以M（1，2）为中点的弦所在直线的方程.【解法1】设弦的两个端点为A（xi，yi）.B（x2，七），则由中点坐标公式，得yi+y2=4 ①y=1西，=i装，■,-y-核=12（&r）,即（y+iy2）（yi-y2）=i2（Tx2）. ②把①代入②中，可得心&=3,即直线AB的斜率k=3.故直线AB的方程为y-2=3(x-1).即 3x-y-1=0.【解法2】弦的中点为M(1,2),可设弦的两个端点为A(x,y)、B(2-x,4-y).,/A、B在抛物线上，「.y2=12x,(4-y)2=12(2-x).以上两式相减，得y2-(4-y)2=12(x-2+x),即3x-y-1=0,这就是直线AB的方程.【解说】 以上两种解法都叫做代点法.它是先设曲线上有关点的坐标，然后代入曲线方程，最后经适当变换而得到所求的结果.习题2.2用参数法解证下列各题：已知椭圆9x2+16y2=144内有一点P(2,1),以P为中点作弦MN,则直线MN的方程为.[ ]9x-8y+26=09x+8y-26=08x-9y+26=08x+9y-26=0点D(5,0)是圆x2+y2-8x-2y+7=0内一点，过D作两条互相垂直的射线，交圆于A、B两点，求弦AB中点M的轨迹方程.己知直线y=：源+：与圆妒+矿+艘-+m=Q相交于P、Q两点,且QPXQQ，求m的值.已知射线OA、OB分别在第一、四象限，且都与Ox轴成60°的角，0D分别是QA、C®上的动点，且|8|=4捐，求CD的中点M的轨迹.已知两点P(-2,2)、Q(0,2)以及一条直线l：y=x.设长为扼的线段AB在直线1上移动(如图2-8). 的交点M的轨迹方程.(要求把结果写成普通方程)(1985年全国高考理科试题)已知椭圆的中心在原点，对称轴合于坐标轴，直线y=-x+1与椭圆交于效E两点，fi|AB|=272,M是AB的中点，直线OM的斜率为f,求这椭圆的方程.习题2.2答案或提示1.仿例4,选(B).2.设M(x,y),A(x+x0,y+y0),B(x-x0,y-y0)，把A、B的坐标代入圆的方程中，所得两式相加，得云+蠕=-忘+站-8x-2y+7)又|DM|=：|AB|,即(笠-5尸+矿=坤+y如所以可得x2+y2-9x-y+16=0..仿例1,可得m=3.设C(&,、屁J,D(x2, y),则xx+x2=2x?-j3(x1-彩)=2幻再由仙1-知沪+31-了疣=4必,可得斗+奈=L动点M的轨迹是椭圆了+奈=1在匕A%内的一段弧.设A(t,t),B(t+1,t+1)，又设直线PA、PB的斜率分别… nilt-2t-1 || 2(l+ki)1+k2此|遍「虹、则蛆=——rk2=——.从而t= =：^^,所以l+3k]-3虹-kTk2=0.设M(x,y).则虹=，：,k2=^—于是M的轨迹方程为X2-y2+2x-2y+8=0.设椭圆的方程为ax2+by2=1(a>0,b>0),A、B、C的坐标分别为(％,Yi)、(明，y,(e乳)，则跣‘乳.把y=l-玳入椭圆方程中，可得工1+艘；!=-^，^1^2=~7T-再由|虹|f可得a2+3ab+b2-(a+b)=0,由典=乌,可得b=72a.于是2学科方法•待定系数法

（一）求直线和曲线的方程例1过直线x-2y-3=0与直线2x-3y-2=0的交点，使它与两坐标轴相交所成的三角形的面积为5,求此直线的方程.【解】设所求的直线方程为（x-2y-3）+入（2x-3y-2）=0，整理，得3+2X-3+2X=1'1+2X~2+3X依题意，列方程得|=10.(3+2X)(3+2X)(1+2X)(2+3X)|=10.于是所求的直线方程为 8x-5y+20=0或2x-5y-10=0.【解说】（1）本解法用到过两直线交点的直线系方程，入是待定系数.（2）待定系数法是求直线、圆和圆锥曲线方程的一种基本方法.例2如图2—9，直线11和12相交于点M，li±l2，点NEli，以A、B为端点的曲线C上的任一点到12的距离与到点N的距离相等.若△A1心I为锐角三角形」皿|=7n?|AN|=£且|EN]=&试建立适当的坐标系，求曲线C的方程.（1998年全国高考理科试题）【解】如图2—9，以11为x轴，MN的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系.由已知，得曲线C是以点N为焦点、12为准线的抛物线的一段，其中点A、B为曲线C的端点.设曲线3勺方程为y2=2px,pXRWxW%,y>0)•其中，x「七分别是A、B的横坐标，p=|MN|.从而M、N的坐标分别为0)、专，0).由|心|=717■和|钏=渤/\灿皿是锐角三角形，得旧1+%尸+迎&=t务+K1=9;、3解之，得p=4,xjL又由抛物线的定义，得x2=|BN]-|=6-2=4.故曲线C的方程为y2=8x(1WxW4,y>0)•探讨二元二次方程(或高次方程)表示的直线的性质例3已知方程ax2+bxy+cy2=0表示两条不重合的直线L「L。.求：⑴直线«与L。交角的两条角平分线方程；(2)直线«与L2的夹角的大小.【解】设L「匕的方程分别为於+ny=°、qx+py=0，则ax2+bxy+cy2=(mx+ny)(qx+py).从而由待定系数法，得a=mq,b=mp+nq，c=np.(1)由点到直线的距离公式，得所求的角平分线方程为|qx+py| \mx+ny|+p2 Jn?+n‘，即(m2+n2)(qx+py)2=(q2+p2)(mx+ny)2，化简、整理，得(nq-mp)[(nq+mp)x2+2(np-mq)xy-(nq+mp)y2]=0.L1、L2是两条不重合的直线「.b2-4ac=(mp+nq)2-4mnpq=(mp—nq)2>0.即mp-nq尹0.从而(nq+mp)x2+2(np-mq)xy-(nq+mp)y2=0.把mq=a,mp+nq=b,np=c代入上式，得bx2+2(c-a)xy-by2=0.即为所求的两条角平分线方程.(2)显然当mq+np=0，即a+c=0时，直线11与L2垂直，即夹角为90°.当mq+np尹0即a+c尹0时，设L1与L2的夹角为a,贝【解说】一般地说，研究二元二次(或高次)方程表示的直线的性质，用待定系数法较为简便.探讨二次曲线的性质证明曲线系过定点例4求证：不论参数t取什么实数值，曲线系(4t2+t+1)x2+(t+1)y2+4t(t+1)y-(109t2+21t+31)=0都过两个定点，并求这两个定点的坐标.【证明】把原方程整理成参数t的方程，得(4x2+4y-109)t2+(x2+y2+4y-21)t+x2+y2-31=0．t是任意实数上式都成立，4x2-4y-109=0,4妒+扩+4y-21=0,x2+y2-31=0.…迎解之,得52y=-2-故这曲线系都过定点(切-§和(-町y.【解说】由本例可总结出，证明含有一个参数t的曲线系F(x,y,t)=0过定点的步骤是:⑴把F(x，y，t)=0整理成t的方程；因t是任意实数，所以t的各项系数(包括常数项)都等于零，得x、y的方程组；解这个方程组，即得定点坐标.求圆系的公切线或公切圆例5求圆系X2+y2-2(2m+1)x-2my+4m2+4m+1=0(m尹0)的公切线方程.【解】将圆系方程整理为［x-(2m+1)］2+(y-m)2=m2(m尹0)显然，平行于y轴的直线都不是圆系的公切线.设它的公切线方程为y=kx+b，则由圆心(2m+1，m)到切线的距离等于半径|m|，得|m-k(2m+1)-b|从而［(1-2k)m-(k+b)】2=m2(1+k2)，整理成m的方程，得(3k2-4k)m2-2(1-2k)(k+b)m+(k+b)2=0.m取零以外的任意实数上式都成立，3k2-4k=0,/.4(l-2k)(k+b)=Sk+b=O.解之,得｛二；或〈二故所求的公切线方程为y=0或y=?x-?.【解说】 由本例可总结出求圆系F(x,y,m)=0的公切线方程的步骤是：把圆系方程化为标准方程，求出圆心和半径；当公切线的斜率存在时，设其方程为y=kx+b,利用圆心到切线的距离等于半径，求出k、b、m的关系式f(k,b,m)=0；(3)把f(k,b,m)=0整理成参数m的方程G(m)=0.由于mUR,从而可得m的各项系数(包括常数项)都等于零，得k、b的方程组；解这个方程组，求出k、b的值；用同样的方法，可求出x=a型的公切线方程.3.化简二元二次方程例6求曲线9x2+4y2+18x-16y-11=0的焦点和准线.【分析】把平移公式x=x'+h,y=y'+k,代入原方程化简.习题2.3用待定系数法解证下列各题：1.求经过三点(2,3)、(5,3)、(3,-1)的圆的方程.求双曲线x2-2y2-6x+4y+3=0的焦点坐标.若方程ax3+bx2y+cxy2+dy3=0表示三条直线，且其中两条互相垂直，求证：a2+ac+bd+d2=0.

求圆系2x2+2y2-4tx-8ty+9t2=0(t尹0)的公切线方程.试证圆系x2+y2-4Rxcosa-4Rsina+3R2=0(R是正的常数，a为参数)与定圆相切，并求公切圆的方程.若在抛物线y2=2px(p>0)的对称轴上有一个定点Q,过Q的任一直线交抛物线于两点效B,使*+点是定值，求点Q的坐标.习题2.3答案或提示1.设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,把三个已知点的坐标代入，可求得D=-8,E=-2,F=12.设过原点互相垂直的两条直线方程为lx2+mxy-ly2=0，另一条直线方程为px+qy=0，则ax3+bx2y+cxy2+dy3=(lx2+mxy-ly2)(px+qy),从而a=lp，b=lq+mp，c=mq-lp，d=-lp.于是可得a2+ac+bd+d2=0.y=x或y=7x.圆系方程为(x-2Rcosa)2+(y-2Rsina)2=R2,设公切圆方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则由两圆相切的充要条件是圆心距等于两圆半径和或差的绝对值，可得(a-2Rcosa)2+(b-2Rsina)2=(R土r)2，整理，可得a2+b2-2R+史+矽)=子-3E?士2如,由口是一切实数，得+史=0,即a=b=0.从而r2-3R2±2Rr=0,解得rjR，，2=3R.设Q（x。，0）,直线AB的参数方程为x=x°+tcosa，y=tsina.代入无=亦中，由韦达定理，得以+弓1 |1十1_(0+以尸一绵以-可?4 '2pcosCl- 2px01=sm'Q'虹勺Ln，a*|QA|21 （x0-p）sin2ClT+ 2——，由于口是（A兀）内%P^o任一值，所以x0=p.学科方法•判别式法(一)确定直线与二次曲线和二次曲线与二次曲线的位置关系例1如图2-20,直线1的方程为x=与其中椭圆的中心为D（2+%，焦点在渤上，长半轴长为2,短半轴长为1,它的一个顶点为A专，0）.问p在哪个范围内取值时，椭圆上有四个不同的点，它们中每一个点到点A的距离等于该点到直线l的距离？（1988年全国高考理科试题）点、l为准线的抛物线方程为y左2px.椭圆上有四个点符合题意的充要条件为方程组（IX 4 +妒=Ly2=2pxy2=2px有四个不同的实数解..••方程组（I）』Z2+"+阪=4y2=2px显然，这个方程组有四个不同的实数解的充要条件为方程①有两个不相等的正根.设方程①的两个根为X1、x2,则x1>0、x2>0的充要条件为A=(7p-4)2-4(^+2p)>0!+x2=-(7p-4)>0,=%+2p〉0.TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"p<|^p>l ②即yV： ③\o"CurrentDocument"p<-8^p>0 ©又由已知，得p>0 ⑤于是由②、③、©⑤可得所求的P的取值范围为0<p<|.【解说】本例的实质是求椭圆与抛物线有四个不同的交点的条件，它归结为一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等的正根的条件，即A=b2-4ac>0且去+笠/史〉0,x1x2=—>0.(二)求极值例2过点P(3，2)作直线l分别交x轴、y轴正方向于A、B两点，求AAOB面积S的最小值.【解】如图2-21，设直线l的方程为y-2=k(x-3)(k<0)，则它在x轴、y轴上的截距分别为OA= 2,OB=2-3k.图2-21S=12.minS=12.min■,-S=j|OA|*|0B|_9k2-12k+42k'从而9k2+2(S-6)k+4=0.•「△=[2(S-6)]2-4X4X9N0,S(S-12)N0.•「S>0,「.SN12.当S=12时，k例3在椭圆9x2+4y2=36上分别求一点，使x+y有最大值和最小值.【解】设x+y=u,则y=u-x.把它代入椭圆方程中，整理，得13x2-8ux+4(U2-9)=0.,/x是实数，△N0即(-8u)2-4X13X4(u2-9)N0.解之，得-7T3<u<7i3.y=-底（-普）=弘筋故使"挪最大值点点为（零，笔I）,取最小值一广的点*寿誓•（三）求参数的取值范围例4已知抛物线y=ax2-1上恒有关于直线l：y=-x对称的两点，求a的取值范围.【解法1】如图2-22，设点P（x0，y0）关于直线l对称的点为Q（-y0，-x0），则由P、Q都在抛物线y=ax2-1上，得y0=宓3T，-^0=或-无尸T・以上两式相减，得x+y=a（x+y）（x-y）.00 00 00,/点P不在直线x+y=0上，「.x+y尹0.从而a（x-y）=1，即y=x-00 00 00把它代入y0=axg-1中，得axg-x0+—-1=0P、Q两点恒存在，.「x0是实数，即方程（*）恒有两个不等实根.于是A=(-l)2-4a(|-l)>0解之，得学科方法•综合几何法(一)利用平面几何知识解题例1已知•。的方程为X2+y2=r2，点A(-r,0)、B(r,0),M是•。上任一点，过A作M处的切线的垂线AQ交BM的延长线于P,求动点P的轨迹方程.【解】如图2-12，连MO,则OMXMQ，从而OM〃AP.•「 |BO|=|OA||AP|=2|MO|=2r.于是动点P的轨迹是以点A为圆心，|AP|=2r为半径的圆.设P(x，y)，则P的轨迹方程为(x+r)2+y2=(2r)2.【解说】本例利用圆的切线的性质和三角形中位线定理，其解法十分明快、简捷.

，求斜例2已知圆O'：(x-14)2+(y-12)2=362内一点C(4,2)和圆周上两动点A、B，使ZACB=90°边AB的中点M的轨迹方程.，求斜【解】 如图2—13，连结MO'、MC、BO',则O'M±MB,|MC|=|AM|=|MB|.设M(x,y),则在Rt△BMO'中，|O'M|2+|BM|2=|O'B|2，又|BM|=|CM|,|O'M|2+|CM|2=|O'B|2，即(x-14)2+(y-12)2+(x-4)2+(y-2)2=362，「•动点M的轨迹方程为x2+y2-18x-14y-468=0.【解说】 本例利用圆的垂径定理和直角三角形的性质，使一个运算量较大的习题，得到极其简便的解法，充分显示了平面几何知识在解析几何中的应用.(二)利用圆锥曲线的定义和几何性质解题例3已知一动圆P与圆O1：(x+1)2+y2=1外切，与圆O2：(x-1)2+y2=9内切，求动圆圆心P的轨迹方程.【解】如图2—14.设动圆圆心P的坐标为(x，y)，它的半径为r.由已知，得两定圆的圆心分别为O1(-1，0)、O2(1，0)，半径分别为r1=1，&=3.,/动圆P与©O1外切，与©O2内切，...|POj=1+r，|PO2|=3-r，|po」+|po2|=4.即动点P到两点O「O2的距离之和等于4.从而由椭圆的定义，得动点P的轨迹是以两定点。「。2为焦点，长轴长为4的椭圆.由于©O1与。02内切于点M(-2,0)，所以轨迹中不包括点M.故动点P的轨迹方程为

【解说】本解法的特点是利用椭圆的定义和两圆相切的条件.例4如图2-15,F是圆锥曲线的焦点，P1P2是焦点弦，e、p分别是离心率和焦参数（即焦点到准线的距离|FF」），求证旧F||P2F|epFiFi02匡］2-151|12旧F||P2F|epFiFi02匡］2-15【证明】 如图2-15，过P「P2分别作准线L的垂线，垂足分别为Q「Q2.由圆锥曲线的定义，得RQ]|=：|P]F|，旦F|・有=费，二由定比分点公式，得IfiQJ+XIP.QI1|RF|从而ep=从而ep=狷F|*|P2F|I乌F|+RF|故点+点=9【解说】本解法的特点是灵活利用圆锥曲线的统一定义和线段定比分点公式.习题2.5用综合几何法解证下列各题：已知双曲线+ = b>0),Fr耳分别为它的左、右焦点，AB为左支上过F1的弦，且|AB|m,则^ABF2的周长是.2.已知AABC的两个顶点A(-a,0)、B(a,0)(a>0)，顶点C在运动，且|AC|=2b(b是定值)，求BC中点P的轨迹方程.已知UABCD的相对两个顶点A(-4,6)、C(8,2)，过原点。作一直线l把平行四边形的面积分成相等的两部分，求直线l的方程.己知双曲线&§-寻=1的左、右焦点是可耳，抛物线(的焦点也是F2,C1的准线与C2的准线重合，P是^与C2的一个交点，求证：|FF】|阻理|IPFJ-已知椭圆的两个焦点是F1、F2,R*F2Q的直角顶点为P，P、Q在椭圆上，F1在线段PQ上，且|PQ|=|PF2|，求这椭圆的离心率.从过抛物线x2=2py(p>0)的焦点F的弦AB的端点向准线l引垂线，垂足分别为B1；求证：⑴&1F1FE】；⑵土+土是定值.|皿||EB|习题2.5答案或提示1.周长=(|AFj-|AF1|)+(|BF2|-|BF1|)+2(|AF1|+|BF1|)=2a+2a+2m=4a+2m.|OP|=-^-|AC|=b,动点P的轨迹方程为x2+y2=b2.3.设AC与BD交于G,则平面几何知识可得，所求的直线l过点G.l的方程为y=2x.4•设C2：y2=2px、q的离心率为e，点P到q的左准线的距离为d，则由抛物线、双曲线的定义，得|PFj=d,|PFJ=迥四-昭|=2a.从而制=号=赢旬，所以邛*阻四阻昭||PF2|IPFJ-SRtAF2PQ中，设|P5|=t,则|PQ|=t,|F2Q|=^/2t,设|PFJ=包则由IPF.I-FjPF^IQF^IQFil，可得t+s= + 所以s=gt.从而6.(1)因为|AF|=|AA1|、|FB|=|BB1|、AA1〃y轴〃BB1，所以匕AFA1=ZA^O,ZOFBX^ZB^B,于是ZA^BiX1SO0=90’.(2)由例4可得高喘£学科方法•坐标法坐标法是解析几何最基本的方法，它的思路是，通过建立平面坐标系（直角坐标系或极坐标系等），把几何问题转化为代数问题（或代数问题转化为几何问题），从而利用代数知识（或解析几何知识）使问题得以解决.（一）坐标法解证几何题例1在^ABC中，已知BC=a，CA=b，AB=c，S为三角形面积，求证：a2+b2+c2>473S.圈2-1【证明】 如图2—1,以边AB的中点O为坐标系原点、AB所在的直线为x轴，建立直角坐标系，设A、B、C的坐标分别为(-m,0)、(m,0)、(p,q)(m>0,q>0)，则a2=|BC|2=(m-p)2+q2=m2+p2+q2-2mp,b2=|AC|2=(p+m)2+q2=p2+m2+q2-2mp,C2=4m2,S=mq.a2+b2+c2-4^/3S=2(p2+q2+3m2-2=2[p2+(q-73m)2]>0)故a2+b2+c2>47^-例2已知：AB是半圆的直径，且AB=2r,直线L与BA的延长线垂直相交于点T,AT=2a(a<,若半圆上有不同两点M、N,它们与L的距离分别为MP、NQ,且MP=MA,NQ=NA.求证：AM+AN=AB.【分析】由|MA|=|MP|和|NA|=|NQ|，知M、N在以A为焦点的抛物线上，因此M、N是半圆与抛物线的两个交点，从而本题可考虑用直角坐标法和极坐标法求解.【证法1】如图2—2,以AT的中点O为坐标原点，射线OB为x轴的正方向，建立直角坐标系.|MA|=|MP|,|NA|=|NQ|,M、N是以A为焦点，L为准线的抛物线上的点.■/p=|AT|=2a,•抛物线的方程y2=4ax图2-2由已知，得半圆的方程为[x-(a+r)]2+y2=r2(yA0) ②把①代入②中，整理，得X2-2(r-a)x+a2+2ar=0.设M、N两点的横坐标分别为x1、X2,贝x1+x2=2r-2a.■/ |AM|+|NA|=a+x1+a+x2=2a+2r-2a=2r,|AM|+|AN|=|AB|.【证法2】如图2—2，以A为极点，射线AB为极轴，建立极坐标系，则半圆的方程为|MA|=|MP|，|NA|=|NQ|，M、N在以A为极点、L为准线的抛物线上.又p=|AT|=2a，抛物线的方程为P ②1-cosf从①、②中消去cose，得p2-2rp+4ar=0.

从而由韦达定理，得|MA|+|NA|=p1+p2=2r.故|AM|+|AN|=|AB|.【解说】由以上两例，可总结出坐标法解证几何题的思路模式图为:(二)坐标法解证代数题例3己知实数雾y.z?R^x+y+z=a,x2+y2+z2=-^a2(a>0求证：0<Z<y.【证明】由已知条件，得在平面直角坐标系xOy中，直线x+y+(Z-a)=。与圆/+扩=:普-『(把E当作常数)有公共点，从而圆心到直线的距离不大于半径，即「. (z-a)2<a2-2z2，又a>0，解之，得OCzCya.公式，【解说】本例利用方程的几何意义，把已知条件转化为直线与圆的位置，从而由点到直线的距离使问题获解.公式，例4己知口、&是方程色8点+bsin©=c（|c|C7a2+b2）在（。，兀）内的两个不同的根，求ffi：cos2——-——=』*史.【证明】如图2-3，建立直角坐标系，设圆O的半径为1.■/a、月是方程acosQ+bsin0=c在（0,n）内的两个根，「.acosa+bsina=c,acos。+bsin。=c,从而点A（cosa,sina）,B（cos。，s