上海市实验学校2022-2023学年高二上学期开学考数学试卷

上海实验学校高二开学考数学试卷𝟐𝟎𝟐𝟐.𝟎𝟖一.填空题1.已知向量

=(,𝟑),𝒃=(,𝒙,且⃗,则实数𝒙= .2.若𝟏+𝐢是关于𝒙的实系数方程𝒙𝟐+𝒃𝒙+𝒄=的一个复数根,则𝒄= .3.已知向量

=(𝟓,𝟑),=(−𝟏,𝟐),则在上的投影向量的坐标为 .4.记𝑺𝒏为数列{𝒂𝒏}的前𝒏项和,若𝑺𝒏=𝟐𝒂𝒏+𝟏,则𝑺𝟔= .5.已知等差数列{𝒂𝒏}的公差𝒅≠𝟎,且𝒂𝟐+𝒂𝟐+𝟏𝟔𝒅=𝒂𝟐+𝒂𝟐,则{𝒂𝒏}的前15项和𝑺𝟏𝟓= .

𝟓 𝟕

𝟗 𝟏𝟏6.||=,⃗|=,⃗−𝒃|=𝟔,则向量与𝒃的夹角为 .7.复数𝐬𝐢𝐧𝟏−𝒊𝐜𝐨𝐬𝟏的辐角主值是 .8.△中,⃗

⃗+⃗=𝟎,⃗⋅

⃗ =𝟎,则𝑪= .𝐭𝐚𝐧𝑨⋅𝐭𝐚𝐧𝑩9.在矩形中,𝑪=𝑬⊥,垂足为𝑬,则

⃗⋅

⃗)的最大值是10.设𝒇(𝒙)是定义在𝐙上的函数,且对于任意的整数𝒏,满足𝒇(𝒏+𝟒)−𝒇(𝒏)≤𝟐(𝒏+𝟏),𝒇(𝒏+𝟏𝟐)−𝒇(𝒏)≥𝟔(𝒏+𝟓),𝒇(−𝟏)=−𝟓𝟎𝟓,则𝒇(𝟐𝟎𝟐𝟑)的值为 .𝟐𝟖𝟗二.选择题11𝟏的共轭复数对应的点位于第（）象限𝟏−𝐢A.一B.二 C.三 D.四12.设𝒏为正整数,则“数列{𝒂𝒏}为等比数列”是“数列{𝒂𝒏}满足𝒂𝒏⋅𝒂𝒏+𝟑=𝒂𝒏+𝟏⋅𝒂𝒏+𝟐”的（）条件A.充分不必要 B.必要不充分C.充要 D.既不充分也不必要13.已知{𝒂𝒏}为等比数列,下面结论中正确的是（）A.𝒂𝟏+𝒂𝟑≥𝟐𝒂𝟐B.𝒂𝟐+

≥𝟐𝒂𝟐𝟏 𝟑 𝟐C.若𝒂𝟏=𝒂𝟑,则𝒂𝟏=𝒂𝟐D.若𝒂𝟑>𝒂𝟏,则𝒂𝟒>𝒂𝟐14.2021(如图(1)曾借助三角函数得到了蝴蝶曲线的图像,探究如下:如图(2),平面上有两定点𝑶、𝑨,两动点𝑩、𝑸,且

⃗|=⃗|=,

⃗绕点逆时针旋转到⃗所形成的角记为,设函数𝒇()=𝟒⋅𝐧(⋅𝜽−(𝝅≤𝜽≤𝝅,其中𝐧(𝒙)=𝟏 𝒙>𝟎𝟎 𝒙=𝟎,令𝝆=𝒇(,作=⃗,随着的变化,就得到了点的轨迹,其形似“蝴蝶”,则−𝟏 𝒙<𝟎以下4幅图中,点𝑸的轨迹(考虑蝴蝶的朝向)最有可能为()三.解答题15.已知向量(𝐜𝐨𝐬𝒙𝐬𝐢𝐧𝒙)=(𝟑√𝟑)𝒙∈[𝟎𝝅].(1)⃗,求𝒙的值;(2)记𝒇(𝒙)=

𝒚=𝒇(𝒙)的最大值和最小值及对应的𝒙的值.16.设复数𝒛=𝒂𝐢(其中、𝒃∈),𝒛𝟏=𝒛+𝒛𝟐=⃗(其中𝒌∈).𝟐(1)设𝒂=𝒃=𝟐

𝟏,若|𝒛𝟏|=|𝒛𝟐|,求出实数𝒌的值;(2)若复数𝒛满足条件:存在实数𝒌,使得𝒛𝟏与𝒛𝟐是某个实系数一元二次方程的两个虚数根,求符合条件的复数𝒛的模的取值范围.17.𝑺𝒏为等差数列{𝒂𝒏}的前𝒏项和,且𝒂𝟏=𝟏𝑺𝟕=𝟐𝟖,记𝒃𝒏=[𝐥𝐠𝒂𝒏],其中[𝒙]表示不超过𝒙的最大整数,如[𝟎𝟗]=𝟎[𝐥𝐠𝟗𝟗]=𝟏.(1)求𝒃𝟏、𝒃𝟏𝟏、𝒃𝟏𝟎𝟏;(2)求数列{𝒃𝒏}的前2022项和.18.已知{𝒂𝒏}是公差为2的等差数列,其前8项和为𝟔𝟒,{𝒃𝒏}是公比大于0的等比数列,𝒃𝟏=𝟒, 𝒃𝟑−𝒃𝟐=𝟒𝟖(1)求{𝒂𝒏}和{𝒃𝒏}的通项公式;(2)记𝒄𝒏=𝒃𝟐𝒏

𝟏𝒃𝒏

,𝒏∈𝐍∗.𝒏(1)证明𝒏

−

}是等比数列;∑(2)证明𝒏∑𝒌=𝟏

√𝒂𝒌𝒂𝒌+𝟏𝒌𝒄𝟐−𝒄𝟐𝒌𝒌

<𝟐√𝟐.四.附加题19.设数列{𝒂𝒏}的前𝒏项和为𝑺𝒏,若对任意正整数𝒏,总存在正整数𝒎,使得𝑺𝒏=𝒂𝒎,则称{𝒂𝒏}是“𝑯数列”.(1)若数列{𝒂𝒏}的前𝒏项和为𝑺𝒏=𝟐𝒏(𝒏∈𝐍∗),证明:{𝒂𝒏}是“𝑯数列”;(2)设{𝒂𝒏}是等差数列,其首项𝒂𝟏=𝟏,公差𝒅<𝟎.若{𝒂𝒏}是“𝑯数列”,求𝒅的值;(3)证明:对任意的等差数列{𝒂𝒏},总存在两个“𝑯数列”{𝒃𝒏}和{𝒄𝒏},使得𝒂𝒏=𝒃𝒏+𝒄𝒏(𝒏∈𝐍∗)成立.𝒏+𝟏20.称一个复数数列{𝒛𝒏}为“有趣的”,若|𝒛𝟏|=𝟏,且对任意正整数𝒏,均有𝟒𝒛𝟐 +𝒏+𝟏𝒏𝟐𝒛𝒏𝒛𝒏+𝟏+𝒛𝟐𝒏⋯+𝒛𝒎|≥

=𝟎.求最大的常数𝑪,使得对一切有趣的数列

及任意正整数𝒎,均有

+𝒛𝟐+参考答案一.填空题1.−𝟑

2.2 3.(−𝟏,𝟐) 4.−𝟔𝟑𝟓 𝟓𝟓5.15 6.𝐚𝐫𝐜𝐜𝐨𝐬𝟏 7.𝟏+𝟑𝝅 8.𝟏9.𝟒𝟐𝟕

𝟒𝟏𝟎.

𝟐 𝟐【第10题】夹逼得𝒇(𝒏+𝟏𝟐)−𝒇(𝒏)=𝟔(𝒏+𝟓),𝒇(𝒏+𝟒)−𝒇(𝒏)=𝟐(𝒏+𝟏),∴[𝒇(𝟐𝟎𝟐𝟑)−𝒇(𝟐𝟎𝟏𝟗)]+[𝒇(𝟐𝟎𝟏𝟗)−𝒇(𝟐𝟎𝟏𝟓)]+⋯+[𝒇(𝟑)−𝒇(−𝟏)]=𝟒𝟎𝟒𝟎+𝟒𝟎𝟑𝟐+⋯+𝟎即−=𝟒𝟎𝟒𝟎×𝟓𝟎𝟔⇒=𝟏𝟎𝟐𝟏𝟔𝟏𝟓∴=𝟑𝟓𝟑𝟓𝟐 𝟐𝟖𝟗二.选择题11.D𝟏𝟐.𝐀 𝟏𝟑.B 𝟏𝟒.B三.解答题15.(1)𝟓𝝅==𝟑,=𝒇(𝟓𝝅)=−𝟐√𝟑𝟔 𝐦𝐚𝐱 𝐦𝐢𝐧 𝟔16.(1)𝒌=−𝟏;(2)(𝟎,𝟏)17.(1)𝒃𝟏=𝟎, 𝒃𝟏𝟏=𝟏, 𝒃𝟏𝟎𝟏