必修二垂直证明常见模型及方法

垂直证明题常有模型及方法证明空间线面垂直需注意以下几点：①由已知想性质，由求证想判断，即剖析法与综合法相联合找寻证题思路。②立体几何论证题的解答中，利用题设条件的性质适合增添协助线（或面）是解题的常用方法之一。③明确何时应用判判定理，何时应用性质定理，用定理时要先声明条件再由定理得出相应结论。垂直转变：线线垂直线面垂直面面垂直；基础篇种类一：线线垂直证明（共面垂直、异面垂直）（1）共面垂直：其实是平面内的两条直线的垂直（只要要同学们掌握以下几种模型）○1等腰（等边）三角形中的中线○菱形（正方形）的对角线相互垂直○勾股定理中的三角形23○1:1:2的直角梯形中○45利用相像或全等证明直角。例：在正方体ABCDOE2）异面垂直（利用线面垂直来证明，高考取的企图）例1在正四周体ABCD中，求证ACBD变式1如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，已知AB3,AD2,PA2,PD22,PAB60．证明：ADPB；变式2如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将△AED,△DCF分别沿DE,DF折起，使A,C两A'点重合于A'.求证:A'DEF；EDGBF1变式3如图，在三棱锥PABC中，⊿PAB是等边三角形，∠PAC=PBC=90o证明：AB⊥PC种类二：线面垂直证明方法○1利用线面垂直的判判定理例2：在正方体ABCDA1O平面BDE变式1：在正方体ABCDA1B1C1D1中，,求证：1平面BDC1AC变式2：如图：直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC=BC=AA1=2，∠ACB=90E为BB1的中点，D点在AB上且DE=3求证：CD⊥平面A1ABB1；变式3：如图，在四周体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，ACACBCDBD2,ABAD2.求证：AO平面BCD；DO变式4如图，在底面为直角梯形的四棱锥PABCD中，BEAD∥BC，ABC90°，PA平面ABCD．PA3，AD2，AB23，BC61求证：BD平面PACP○2利用面面垂直的性质定理DA例3：在三棱锥P-ABC中，PA底面ABC,面PAC面PBC，E求证：BC面PAC。B方法点拨：此种情况，条件中含有面面垂直。

CC2变式1,在四棱锥PABCD，底面ABCD是正方形，侧面PAB是等腰三角形，且面PAB底面ABCD,求证：BC面PAB种类3：面面垂直的证明。(实质上是证明线面垂直)B平面ACD，DE平面ACD，△ACD为等边三角形，例1如图，已知ABEADDE2AB，F为CD的中点.A求证：AF//平面BCE；(2)求证：平面BCE平面CDE；CDFP例2如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，EABAD，ACCD，ABC60°BC，E是PC的，PAABDA中点．BC（1）证明CDAE；（2）证明PD平面ABE；变式1已知直四棱柱ABCD—A′B′C′D′的底面是菱形，ABC60、，EF分别是棱CC′与BB′上的点，且EC=BC=2FB=2．（1）求证：平面AEF⊥平面AA′C′C；3贯通融会1.设M表示平面，a、b表示直线，给出以下四个命题：①a//bbMaM此中正确的命题是A.①②B.①②③2.以下命题中正确的选项是

aMaMa//M②Ma//b③bb∥M④b⊥M.baab()C.②③④D.①②④()若一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面B.若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面C.若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必然垂直于这条直线D.若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面3.如下图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点.此刻沿DE、DF及EF把△ADE、△CDF和△BEF折起，使A、B、C三点重合，重合后的点记为P.那么，在四周体P—DEF中，必有()A.DP⊥平面PEFB.DM⊥平面PEFC.PM⊥平面DEFD.PF⊥平面DEF4.设a、b是异面直线，以下命题正确的选项是()A.过不在a、b上的一点P必定能够作一条直线和a、b都订交B.过不在a、b上的一点P必定能够作一个平面和a、b都垂直C.过a必定能够作一个平面与b垂直D.过a必定能够作一个平面与b平行5.假如直线l,m与平面α,β,γ知足:l=β∩γ,l∥α,mα和m⊥γ,那么必有()A.α⊥γ且l⊥mB.α⊥γ且m∥βC.m∥β且l⊥mD.α∥β且α⊥γ6.AB是圆的直径，C是圆周上一点，PC垂直于圆所在平面，若BC=1,AC=2,PC=1，则P到AB的距离为()A.1B.2C.2535D.557.有三个命题：①垂直于同一个平面的两条直线平行；②过平面α的一条斜线l有且仅有一个平面与α垂直；③异面直线a、b不垂直，那么过a的任一个平面与b都不垂直此中正确命题的个数为()A.0B.1C.2D.38.d是异面直线a、b的公垂线，平面α、β知足a⊥α，b⊥β，则下边正确的结论是()A.α与β必订交且交线m∥d或m与d重合B.α与β必订交且交线m∥d但m与d不重合4C.α与β必订交且交线m与d必定不平行D.α与β不必定订交9.设l、m为直线，α为平面，且l⊥α，给出以下命题①若m⊥α，则m∥l；②若m⊥l，则m∥α；③若m∥α，则m⊥l；④若m∥l，则m⊥α，此中真命题的序号是()．．．A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④10.已知直线l⊥平面α，直线m平面β，给出以下四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若α⊥β，则l∥m；③若l∥m，则α⊥β；④若l⊥m，则α∥β.此中正确的命题是()A.③与④B.①与③C.②与④D.①与②二、思想激活11.如下图，△ABC是直角三角形，AB是斜边，三个极点在平面α的同侧，它们在α内的射影分别为A′，B′，C′，假如△A′B′C′是正三角形，且AA′＝3cm，BB′＝5cm，CC′＝4cm，则△A′B′C′的面积是.第11题图第13题图第12题图12.如下图,在直四棱柱A1B1C1D1—ABCD中,当底面四边形ABCD知足条件时,有A1C⊥B1D1(注:填上你以为正确的一种条件即可,不用考虑全部可能的情况)13.如下图，在三棱锥V—ABC中，当三条侧棱VA、VB、VC之间知足条件时，有VC⊥AB.(注：填上你以为正确的一种条件即可)三、能力提升14.如下图,三棱锥V-ABC中,AH⊥侧面VBC,且H是△VBC的垂心，BE是VC边上的高.(1)求证:VC⊥AB;(2)若二面角E—AB—C的大小为30°,求VC与平面ABC所成角的大小.15.如下图，PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.(1)求证：MN∥平面PAD.5(2)求证：MN⊥CD.(3)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.16.如下图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BAD＝60°，AB＝4，AD＝2，侧棱PB＝15，PD＝3.(1)求证：BD⊥平面PAD.(2)若PD与底面ABCD成60°的角，试求二面角P—BC—A的大小.第16题图17.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1，AA1=6，M是CC1的中点，求证：AB1⊥A1M．18.如下图，正方体ABCD—A′B′C′D′的棱长为a，M是AD的中点，N是BD′上一点，且D′N∶NB＝1∶2，MC与BD交于P.(1)求证：NP⊥平面ABCD.(2)求平面PNC与平面CC′D′D所成的角.(3)求点C到平面D′MB的距离.第18题图6线面垂直习题解答1.A两平行中有一条与平面垂直，则另一条也与该平面垂直，垂直于同一平面的两直线平行.2.C由线面垂直的性质定理可知.3.A折后DP⊥PE,DP⊥PF，PE⊥PF.4.D过a上任一点作直线b′∥b,则a，b′确立的平面与直线b平行.5.A,m⊥γ且mα,则必有α⊥γ,又由于l=β∩γ则有lγ,而m⊥γ则l⊥m,应选A.6.DP作PD⊥AB于D，连CD，则CD⊥AB，AB=22，ACBC5CDACBC2，AB5∴PD=PC2CD2143555.7.D由定理及性质知三个命题均正确.8.A明显α与β不平行.9.D垂直于同一平面的两直线平行，两条平行线中一条与平面垂直，则另一条也与该平面垂直.10.B∵α∥β，l⊥α，∴l⊥m2cm设正三角A′B′C′的边长为a.2AC2=a2+1,BC2=a2+1,AB２=a2+4，又AC2+BC2=AB2，∴a2=2．S△A′B′C′=3a23cm2．4212.在直四棱柱A1B1C1D1—ABCD中当底面四边形ABCD知足条件AC⊥BD(或任何能推导出这个条件的其余条件，比如ABCD是正方形，菱形等)时,有A1C⊥B1D1(注:填上你以为正确的一种条件即可,不用考虑全部可能的情况).评论：本题为探究性题目，由本题开拓了填空题有探究性题的新题型，本题实质考察了三垂线定理但答案不唯一,要求思想应灵巧.VC⊥VA，VC⊥AB.由VC⊥VA，VC⊥AB知VC⊥平面VAB.14.(1)证明:∵H为△VBC的垂心,VC⊥BE,又AH⊥平面VBC,BE为斜线AB在平面VBC上的射影,∴AB⊥VC.7(2)解:由(1)知VC⊥AB,VC⊥BE,VC⊥平面ABE,在平面ABE上,作ED⊥AB,又AB⊥VC,AB⊥面DEC.AB⊥CD,∴∠EDC为二面角E—AB—C的平面角，∴∠EDC=30°,∵AB⊥平面VCD,VC在底面ABC上的射影为CD.∴∠VCD为VC与底面ABC所成角,又VC⊥AB,VC⊥BE,VC⊥面ABE,∴VC⊥DE,∴∠CED=90°,故∠ECD=60°,VC与面ABC所成角为60°.15.证明：(1)如下图，取PD的中点E，连接AE，EN，则有EN∥CD∥AB∥AM，EN＝1CD＝1AB＝AM，故AMNE为平行四边形.22MN∥AE.AE平面PAD，MN平面PAD，∴MN∥平面PAD.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB.又AD⊥AB，∴AB⊥平面PAD.AB⊥AE，即AB⊥MN.又CD∥AB，∴MN⊥CD.第15题图解(3)∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD.又∠PDA＝45°，E为PD的中点.AE⊥PD，即MN⊥PD.又MN⊥CD，MN⊥平面PCD.16.如图(1)证：由已知AB＝4，AD＝２，∠BAD＝60°，故BD2＝AD2+AB2-2AD·ABcos60°＝4+16-2×2×4×1＝12.2又AB2＝AD2+BD2，∴△ABD是直角三角形，∠ADB＝90°，即AD⊥BD.在△PDB中，PD＝3，PB＝15，BD＝12，∴PB2＝PD2+BD2，故得PD⊥BD.又PD∩AD＝D，BD⊥平面PAD.(2)由BD⊥平面PAD，BD平面ABCD.∴平面PAD⊥平面ABCD.作PE⊥AD于E，又PE平面PAD，

第16题图解PE⊥平面ABCD，∴∠PDE是PD与底面ABCD所成的角.∴∠PDE＝60°，∴PE＝PDsin60°＝3332.2作EF⊥BC于F，连PF，则PF⊥BF，∴∠PFE是二面角P—BC—A的平面角.又EF＝BD＝12，在Rt△PEF中，8PE332tan∠PFE＝23.EF4故二面角P—BC—A的大小为arctan3.417.连接AC1，∵AC3CC1.MC12C1A162Rt△ACC1∽Rt△MC1A1，∴∠AC1C=∠MA1C1，∴∠A1MC1+∠AC1C=∠A1MC1+∠MA1C1=90°.A1M⊥AC1,又ABC-A1B1C1为直三棱柱，CC1⊥B1C1，又B1C1⊥A1C1，∴B1C1⊥平面AC1M.由三垂线定理知AB1⊥A1M.评论：要证AB1⊥1M，因B1C1⊥平面AC1，由三垂线定理可转变成证⊥，而AAC1A1MAC1⊥A1M必定会建立．18.(1)证明：在正方形ABCD中，∵△MPD∽△CPB，且MD＝1BC，2DP∶PB＝MD∶BC＝1∶2.又已知D′N∶NB＝1∶2，由平行截割定理的逆定理得NP∥DD′，又DD′⊥平面ABCD，NP⊥平面ABCD.∵NP∥DD′∥CC′，∴NP、CC′在同一平面内，CC′为平面NPC与平面CC′D′D所成二面角的棱.又由CC′⊥平面ABCD，得CC′⊥CD，CC′⊥CM，∴∠MCD为该二面角的平面角.在Rt△