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文档简介

2023年高考数学模拟试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知函数,若函数的图象恒在轴的上方,则实数的取值范围为()A. B. C. D.2.运行如图程序,则输出的S的值为()A.0 B.1 C.2018 D.20173.是正四面体的面内一动点,为棱中点,记与平面成角为定值,若点的轨迹为一段抛物线,则()A. B. C. D.4.《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.某“堑堵”的三视图如图,则它的外接球的表面积为()A.4π B.8π C. D.5.设数列是等差数列,,.则这个数列的前7项和等于()A.12 B.21 C.24 D.366.在三角形中,,,求()A. B. C. D.7.已知函数,且),则“在上是单调函数”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件8.已知双曲线:的焦点为,,且上点满足,,,则双曲线的离心率为A. B. C. D.59.已知集合A={x|y=lg(4﹣x2)},B={y|y=3x,x>0}时,A∩B=()A.{x|x>﹣2}B.{x|1<x<2}C.{x|1≤x≤2}D.∅10.已知函数,则()A.函数在上单调递增 B.函数在上单调递减C.函数图像关于对称 D.函数图像关于对称11.已知f(x),g(x)都是偶函数,且在[0,+∞)上单调递增,设函数F(x)=f(x)+g(1-x)-|f(x)-g(1-x)|,若a>0,则()A.F(-a)≥F(a)且F(1+a)≥F(1-a)B.F(-a)≥F(a)且F(1+a)≤F(1-a)C.F(-a)≤F(a)且F(1+a)≥F(1-a)D.F(-a)≤F(a)且F(1+a)≤F(1-a)12.设是虚数单位,若复数,则()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.平面向量与的夹角为,,,则__________.14.设平面向量与的夹角为,且,,则的取值范围为______.15.如图,在直四棱柱中,底面是平行四边形,点是棱的中点,点是棱靠近的三等分点,且三棱锥的体积为2,则四棱柱的体积为______.16.已知函数,对于任意都有,则的值为______________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)管道清洁棒是通过在管道内释放清洁剂来清洁管道内壁的工具,现欲用清洁棒清洁一个如图1所示的圆管直角弯头的内壁,其纵截面如图2所示,一根长度为的清洁棒在弯头内恰好处于位置(图中给出的数据是圆管内壁直径大小,).(1)请用角表示清洁棒的长;(2)若想让清洁棒通过该弯头,清洁下一段圆管,求能通过该弯头的清洁棒的最大长度.18.(12分)如图1,已知四边形BCDE为直角梯形,,,且,A为BE的中点将沿AD折到位置如图,连结PC,PB构成一个四棱锥.(Ⅰ)求证;(Ⅱ)若平面.①求二面角的大小;②在棱PC上存在点M,满足,使得直线AM与平面PBC所成的角为,求的值.19.(12分)已知函数,.(1)若,,求实数的值.(2)若,,求正实数的取值范围.20.(12分)如图,平面分别是上的动点,且.(1)若平面与平面的交线为,求证:;(2)当平面平面时,求平面与平面所成的二面角的余弦值.21.(12分)已知函数.(1)解不等式:;(2)求证:.22.(10分)为增强学生的法治观念,营造“学宪法、知宪法、守宪法”的良好校园氛围,某学校开展了“宪法小卫士”活动,并组织全校学生进行法律知识竞赛.现从全校学生中随机抽取50名学生,统计他们的竞赛成绩,已知这50名学生的竞赛成绩均在[50,100]内,并得到如下的频数分布表:分数段[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]人数51515123(1)将竞赛成绩在内定义为“合格”,竞赛成绩在内定义为“不合格”.请将下面的列联表补充完整,并判断是否有的把握认为“法律知识竞赛成绩是否合格”与“是否是高一新生”有关?合格不合格合计高一新生12非高一新生6合计(2)在(1)的前提下,按“竞赛成绩合格与否”进行分层抽样,从这50名学生中抽取5名学生,再从这5名学生中随机抽取2名学生,求这2名学生竞赛成绩都合格的概率.参考公式及数据:,其中.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

函数的图象恒在轴的上方,在上恒成立.即,即函数的图象在直线上方,先求出两者相切时的值,然后根据变化时,函数的变化趋势,从而得的范围.【详解】由题在上恒成立.即,的图象永远在的上方,设与的切点,则,解得,易知越小,图象越靠上,所以.故选:B.【点睛】本题考查函数图象与不等式恒成立的关系,考查转化与化归思想,首先函数图象转化为不等式恒成立,然后不等式恒成立再转化为函数图象,最后由极限位置直线与函数图象相切得出参数的值,然后得出参数范围.2、D【解析】

依次运行程序框图给出的程序可得第一次:,不满足条件;第二次:,不满足条件;第三次:,不满足条件;第四次:,不满足条件;第五次:,不满足条件;第六次:,满足条件,退出循环.输出1.选D.3、B【解析】

设正四面体的棱长为,建立空间直角坐标系,求出各点的坐标,求出面的法向量,设的坐标,求出向量,求出线面所成角的正弦值,再由角的范围,结合为定值,得出为定值,且的轨迹为一段抛物线,所以求出坐标的关系,进而求出正切值.【详解】由题意设四面体的棱长为,设为的中点,以为坐标原点,以为轴,以为轴,过垂直于面的直线为轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则可得,,取的三等分点、如图,则,,,,所以、、、、,由题意设,,和都是等边三角形,为的中点,,,,平面,为平面的一个法向量,因为与平面所成角为定值,则,由题意可得,因为的轨迹为一段抛物线且为定值,则也为定值,,可得,此时,则,.故选:B.【点睛】考查线面所成的角的求法,及正切值为定值时的情况,属于中等题.4、B【解析】

由三视图判断出原图,将几何体补形为长方体,由此计算出几何体外接球的直径,进而求得球的表面积.【详解】根据题意和三视图知几何体是一个底面为直角三角形的直三棱柱,底面直角三角形的斜边为2,侧棱长为2且与底面垂直,因为直三棱柱可以复原成一个长方体,该长方体外接球就是该三棱柱的外接球,长方体对角线就是外接球直径,则,那么.故选:B【点睛】本小题主要考查三视图还原原图,考查几何体外接球的有关计算,属于基础题.5、B【解析】

根据等差数列的性质可得,由等差数列求和公式可得结果.【详解】因为数列是等差数列,,所以,即,又,所以,,故故选:B【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式,性质,等差数列的和,属于中档题.6、A【解析】

利用正弦定理边角互化思想结合余弦定理可求得角的值,再利用正弦定理可求得的值.【详解】,由正弦定理得,整理得,由余弦定理得,,.由正弦定理得.故选:A.【点睛】本题考查利用正弦定理求值,涉及正弦定理边角互化思想以及余弦定理的应用,考查计算能力,属于中等题.7、C【解析】

先求出复合函数在上是单调函数的充要条件,再看其和的包含关系,利用集合间包含关系与充要条件之间的关系,判断正确答案.【详解】,且),由得或,即的定义域为或,(且)令,其在单调递减,单调递增,在上是单调函数,其充要条件为即.故选:C.【点睛】本题考查了复合函数的单调性的判断问题,充要条件的判断,属于基础题.8、D【解析】

根据双曲线定义可以直接求出,利用勾股定理可以求出,最后求出离心率.【详解】依题意得,,,因此该双曲线的离心率.【点睛】本题考查了双曲线定义及双曲线的离心率,考查了运算能力.9、B【解析】试题分析:由集合A中的函数y=lg(4-x2),得到4-x2>0,解得:-2<x<2,∴集合A={x|-2<x<2},由集合B中的函数考点:交集及其运算.10、C【解析】

依题意可得,即函数图像关于对称,再求出函数的导函数,即可判断函数的单调性;【详解】解:由,,所以函数图像关于对称,又,在上不单调.故正确的只有C,故选:C【点睛】本题考查函数的对称性的判定,利用导数判断函数的单调性,属于基础题.11、A【解析】试题分析:由题意得,F(x)=2g(1-x),f(x)≥g(1-x)∴F(-a)=2g(1+a),f(a)=f(-a)≥g(1+a)2f(-a),f(a)=f(-a)<g(1+a),∵a>0,∴(a+1)2-(a-1)∴若f(a)>g(1+a):F(-a)=2g(1+a),F(a)=2g(1-a),∴F(-a)>F(a),若g(1-a)≤f(a)≤g(1+a):F(-a)=2f(-a)=2f(a),F(a)=2g(1-a),∴F(-a)≥F(a),若f(a)<g(1-a):F(-a)=2f(-a)=2f(a),F(a)=2f(a),∴F(-a)=F(a),综上可知F(-a)≥F(a),同理可知F(1+a)≥F(1-a),故选A.考点:1.函数的性质;2.分类讨论的数学思想.【思路点睛】本题在在解题过程中抓住偶函数的性质,避免了由于单调性不同导致1-a与1+a大小不明确的讨论,从而使解题过程得以优化,另外,不要忘记定义域,如果要研究奇函数或者偶函数的值域、最值、单调性等问题,通常先在原点一侧的区间(对奇(偶)函数而言)或某一周期内(对周期函数而言)考虑,然后推广到整个定义域上.12、A【解析】

结合复数的除法运算和模长公式求解即可【详解】∵复数,∴,,则,故选:A.【点睛】本题考查复数的除法、模长、平方运算,属于基础题二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

由平面向量模的计算公式,直接计算即可.【详解】因为平面向量与的夹角为,所以,所以;故答案为【点睛】本题主要考查平面向量模的计算,只需先求出向量的数量积,进而即可求出结果,属于基础题型.14、【解析】

根据已知条件计算出,结合得出,利用基本不等式可得出的取值范围,利用平面向量的数量积公式可求得的取值范围,进而可得出的取值范围.【详解】,,,由得,,由基本不等式可得,,,,,因此,的取值范围为.故答案为:.【点睛】本题考查利用向量的模求解平面向量夹角的取值范围,考查计算能力,属于中等题.15、12【解析】

由题意,设底面平行四边形的,且边上的高为,直四棱柱的高为,分别表示出直四棱柱的体积和三棱锥的体积,即可求解。【详解】由题意,设底面平行四边形的,且边上的高为,直四棱柱的高为,则直四棱柱的体积为,又由三棱锥的体积为,解得,即直四棱柱的体积为。【点睛】本题主要考查了棱柱与棱锥的体积的计算问题,其中解答中正确认识几何体的结构特征,合理、恰当地表示直四棱柱三棱锥的体积是解答本题的关键,着重考查了推理与运算能力,以及空间想象能力,属于中档试题。16、【解析】

由条件得到函数的对称性,从而得到结果【详解】∵f=f,∴x=是函数f(x)=2sin(ωx+φ)的一条对称轴.∴f=±2.【点睛】本题考查了正弦型三角函数的对称性,注意对称轴必过最高点或最低点,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2).【解析】

(1)过作的垂线,垂足为,易得,进一步可得;(2)利用导数求得最大值即可.【详解】(1)如图,过作的垂线,垂足为,在直角中,,,所以,同理,.(2)设,则,令,则,即.设,且,则当时,,所以单调递减;当时,,所以单调递增,所以当时,取得极小值,所以.因为,所以,又,所以,又,所以,所以,所以,所以能通过此钢管的铁棒最大长度为.【点睛】本题考查导数在实际问题中的应用,考查学生的数学运算求解能力,是一道中档题.18、Ⅰ详见解析;Ⅱ①,②或.【解析】

Ⅰ可以通过已知证明出平面PAB,这样就可以证明出;Ⅱ以点A为坐标原点,分别以AB,AD,AP为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,可以求出相应点的坐标,求出平面PBC的法向量为、平面PCD的法向量,利用空间向量的数量积,求出二面角的大小;求出平面PBC的法向量,利用线面角的公式求出的值.【详解】证明:Ⅰ在图1中,,,为平行四边形,,,,当沿AD折起时,,,即,,又,平面PAB,又平面PAB,.解:Ⅱ以点A为坐标原点,分别以AB,AD,AP为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,由于平面ABCD则0,,0,,1,,0,,1,1,,1,,0,,设平面PBC的法向量为y,,则,取,得0,,设平面PCD的法向量b,,则,取,得1,,设二面角的大小为,可知为钝角,则,.二面角的大小为.设AM与面PBC所成角为,0,,1,,,,平面PBC的法向量0,,直线AM与平面PBC所成的角为,,解得或.【点睛】本题考查了利用线面垂直证明线线垂直,考查了利用向量数量积,求二面角的大小以及通过线面角公式求定比分点问题.19、(1)1(2)【解析】

(1)求得和,由,,得,令,令导数求得函数的单调性,利用,即可求解.(2)解法一:令,利用导数求得的单调性,转化为,令(),利用导数得到的单调性,分类讨论,即可求解.解法二:可利用导数,先证明不等式,,,,令(),利用导数,分类讨论得出函数的单调性与最值,即可求解.【详解】(1)由题意,得,,由,…①,得,令,则,因为,所以在单调递增,又,所以当时,,单调递增;当时,,单调递减;所以,当且仅当时等号成立.故方程①有且仅有唯一解,实数的值为1.(2)解法一:令(),则,所以当时,,单调递增;当时,,单调递减;故.令(),则.(i)若时,,在单调递增,所以,满足题意.(ii)若时,,满足题意.(iii)若时,,在单调递减,所以.不满足题意.综上述:.解法二:先证明不等式,,,…(*).令,则当时,,单调递增,当时,,单调递减,所以,即.变形得,,所以时,,所以当时,.又由上式得,当时,,,.因此不等式(*)均成立.令(),则,(i)若时,当时,,单调递增;当时,,单调递减;故.(ii)若时,,在单调递增,所以.因此,①当时,此时,,,则需由(*)知,,(当且仅当时等号成立),所以.②当时,此时,,则当时,(由(*)知);当时,(由(*)知).故对于任意,.综上述:.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用,着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力,对于恒成立问题,通常要构造新函数,利用导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应的含参不等式,从而求出参数的取值范围;也可分离变量,构造新函数,直接把问题转化为函数的最值问题.20、(1)见解析;(2)【解析】

(1)首先由线面平行的判定定理可得平面,再由线面平行的性质定理即可得证;(2)以点为坐标原点,,所在的直线分别为轴,以过点且垂直于的直线为轴建立空间直角坐标系,利用空间向量法求出二面角的余

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