九年级(上学期)期末数学试卷(含答案)

第第页第=page22页，共=sectionpages22页九年级(上学期)期末数学试卷(含答案)（时间90分钟，满分100分）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）下列图形，依照中心对称和轴对称分类，有一个明显与其它三个不同，则这个图形是(    )A.线段 B.正方形 C.等腰梯形 D.圆二次函数y=2(x−3)2+1的图象的顶点坐标是A.(−2,1) B.(2,1) C.(−3,1) D.(3,1)如图，点A、B、C在⊙O上，△OAB为等边三角形，则∠ACB的度数是(    )A.60°

B.50°

C.40°

D.30°将一元二次方程x2−8x+10=0通过配方转化为(x+a)2A.(x−4)2=6 B.(x−8)2=6如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，若⊙O的半径为4，则正方形ABCD的边长为(    )A.4

B.8

C.22

D.一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，若设个位数字为a，则可列方程为(    )A.a2(a−4)2=10(a−4)+a−4 B.a2下列事件为必然事件的是(    )A.掷一枚普通的正方体骰子，掷得的点数不小于1

B.任意购买一张电影票，座位号是奇数

C.抛一枚普通的硬币，正面朝上

D.一年有367天如图所示是二次函数y=ax2−x+a2−4A.a=2

B.a=−2

C.a=−4

D.a=2或a=−2

二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）点P(−m,4)与点Q(2,n)关于原点对称，则m+n=______．若a是方程x2+3x−1=0的一个根，则代数式2a2+6a+3如图1所示的铝合金窗帘轨道可以直接弯曲制作成弧形．若制作一个圆心角为160°的圆弧形窗帘轨道(如图2)需用此材料800πmm，则此圆弧所在圆的半径为______mm．写出一个开口向下，且对称轴在y轴左侧的抛物线的表达式：______．如图，以AB为直径的⊙O与弦CD相交于点E，且AC=2，AE=

，CE=1.则弧BD的长是___________．

二次函数y=x2−2x+3图象与y轴的交点坐标是______如图，边长为1的正方形ABCD放置在边长为3的正方形内部，顶点A在正方形的一个顶点上，边AB在正方形的一边上．将正方形ABCD绕点B顺时针旋转90°，完成第1次无滑动滚动(如图①)；再将正方形ABCD绕点C顺时针旋转90°，完成第2次无滑动滚动(如图②)，再将正方形ABCD绕点A顺时针旋转90°，完成第3次无滑动滚动(如图③)，..依次这样操作下去，当完成第2016次无滑动滚动时，点A经过的路径总长为______．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8.点M、N分别在边AB、BC上，沿直线MN将△ABC折叠，点B落在点P处，如果AP//BC且AP=4，那么BN=______．

三、解答题（本大题共12小题，共68.0分）解下列方程

(1)2x2−4x−3=0

(2)(x−1)2=(1−x)

画图题：如图，已知OD是∠AOB的角平分线，C点OD上一点．(1)过点C画直线CE//OB，交OA于E；(2)过点C画直线CF//OA，交OB于F；(3)过点C画OA的垂线段，垂足为G．根据画图回答问题：①线段

长就是点C到OA的距离；②比较大小：CE

CG(填“>”或“=”或“<”)；③通过度量比较∠AOD与∠ECO的关系是：∠AOD

∠ECO．

已知二次函数y=x2+4x+3．

(1)求此函数图象的对称轴和顶点坐标；

(2)画出此函数的图象；

(3)若点A(0,y1)和B(m,y2)都在此函数的图象上，且y1<y如图，在正方形ABCD中，射线AE与边CD交于点E，将射线AE绕点A顺时针旋转，与CB的延长线交于点F，BF=DE，连接FE．

(1)求证：AF=AE；

(2)若∠DAE=30°，DE=2，直接写出△AEF的面积．

已知关于x的一元二次方程x2−(k+5)x+6+2k=0．

(1)求证：此方程总有两个实数根；

(2)若此方程恰有一个根小于−1，求k的取值范围．

有甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有两个相同的球，它们分别写有数−2，2；乙口袋中装有三个相同的球，它们分别写有数−5，m，5.小明和小刚进行摸球游戏，规则如下：先从甲口袋中随机取出一个球，其上的数记为a；再从乙口袋中随机取出一个球，其上的数记为b.若a<b，小明胜；若a=b，为平局；若a>b，小刚胜．

(1)若m=−2，用树状图或列表法分别求出小明、小刚获胜的概率；

(2)当m为何值时，小明和小刚获胜的概率相同？直接写出一个符合条件的整数m的值．

如图，AB，AC是⊙O的两条切线，切点分别为B，C，连接CO并延长交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点E，EF⊥AC于点F．

(1)求证：四边形CDEF是矩形；

(2)若CD=210，DE=2，求AC的长．

九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量是售价的一次函数，且相关信息如下表：售价(元/件)100110120130…月销量(件)200180160140…已知该运动服的进价为每件60元，设售价为x元．

(1)请用含x的式子表示：①销售该运动服每件的利润是(______)元；

(2)求月销量y与售价x的一次函数关系式：

(3)设销售该运动服的月利润为W元，那么售价为多少元时，当月的利润最大？最大利润是多少元？

如图，在▱ABCD中，E为对角线AC上一点，连接DE，作EF⊥DE，交AD于点F，G为AD边上一点，且AB=AG，连接GE．

(1)若点G为DF的中点，AF=2，EG=4，∠B=60°，求AC的长；

(2)连接CG交DE于点H，若EG//CD，∠ACB=∠DCG，求证：∠ECG=2∠AEF．

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a(x−ℎ)2−8a的顶点为A，0<ℎ<72．

(1)若a=1，

①点A到x轴的距离为______；

②求此抛物线与x轴的两个交点之间的距离；

(2)已知点A到x轴的距离为4，此抛物线与直线y=−2x+1的两个交点分别为B(x1,y1)，C(x2,y2)，其中x1<x2，若点将两块全等含有30°的直角三角板如图①摆放．

(1)将图①中的△A1B1C顺时针旋转45°得图②，点P1是A1C与AB的交点，点Q是A1B1与BC的交点，求证：CP1=CQ；

(2)在图②中，若AP1=2，则CQ等于多少？

(3)如图③，在B1C上取一点E，连接BE、P对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：若⊙C上存在一个点M，使得MP=MC，则称点P为⊙C的“等径点”，已知点D(12,13)，E(0,23)，F(−2,0)．

(1)当⊙O的半径为1时，

①在点D，E，F中，⊙O的“等径点”是______；

②作直线EF，若直线EF上的点T(m,n)是⊙O的“等径点”，求m的取值范围．

(2)过点E作EG⊥EF交x轴于点G，若△EFG各边上所有的点都是某个圆的“等径点”，求这个圆的半径r的取值范围．

答案和解析1.【答案】C

【解析】解：线段是轴对称图形，也是中心对称图形；

正方形是轴对称图形，也是中心对称图形；

等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形；

圆是轴对称图形，也是中心对称图形；

故选：C．

根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

2.【答案】D

【解析】解：根据二次函数的顶点式方程y=2(x−3)2+1知，该函数的顶点坐标是：(3,1)．

故选：D．

二次函数y=a(x−ℎ)2+k(a≠0)的顶点坐标是(ℎ,k)．

本题考查了二次函数的性质和二次函数的三种形式．解答该题时，需熟悉二次函数的顶点式方程y=a(x−ℎ3.【答案】D

【解析】解：∵△OAB为等边三角形，

∴∠AOB=60°，

∴∠ACB=12∠AOB=30°．

故选：D．

先根据等边三角形的性质得到∠AOB=60°，然后根据圆周角定理求∠ACB的度数．4.【答案】A

【解析】解：x2−8x=−10，

x2−8x+16=6，

(x−4)2=6．

故选：A．

先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上16，然后把方程作边写成完全平方形式即可．

此题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：

(1)把常数项移到等号的右边；

(2)把二次项的系数化为1；

(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．5.【答案】D

【解析】解：如图，连接BD．

由题意，△BCD是等腰直角三角形，

∵BD=8，∠CBD=45°，∠BCD=90°，

∴BC=22BD=42．

故选：D．

连接BD.由题意，△BCD是等腰直角三角形，故可得出结论．6.【答案】C

【解析】解：依题意得：十位数字为：a+4，这个数为：a+10(a+4)

这两个数的平方和为：a2+(a+4)2，

∵两数相差4，

∴a2+(a+4)2=10(a+4)+a−4．

故选C．

根据个位数与十位数的关系，可知十位数为a+47.【答案】A

【解析】解：A、掷一枚普通的正方体骰子，掷得的点数不小于1，是必然事件，故此选项正确；

B、任意购买一张电影票，座位号是奇数，是随机事件，故此选项错误；

C、抛一枚普通的硬币，正面朝上，是随机事件，故此选项错误；

D、一年有367天，是不可能事件，故此选项错误；

故选：A．

直接利用随机事件以及必然事件的定义分析得出答案．

此题主要考查了随机事件，正确把握各事件的定义是解题关键．

8.【答案】A

【解析】【分析】

b本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的图象．解题时，注意结合函数图象的开口方向，对a的值进行合理的取舍．

把点(0,0)代入函数解析式，列出关于a的方程，通过解方程求得a的值即可．

【解答】

解：因为抛物线的开口方向向上，所以a>0．

把点(0,0)代入y=ax2−x+a2−4，得

a2−4=0，

解得a=2或a=−2(舍去9.【答案】−2

【解析】解：∵点P(−m,4)与点Q(2,n)关于原点对称，

∴−m=−2，n=−4，

解得：m=2，n=−4，

故m+n=−2．

故答案为：−2．

直接利用关于原点对称点的性质得出m，n的值，进而得出答案．

此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键．

10.【答案】5

【解析】解：∵a是方程x2+3x−1=0的一个根，

∴a2+3a=1，

故2a2+6a+3=2(a2+3a)+3=2+3=5．11.【答案】900

【解析】解：设此圆弧所在圆的半径为R mm，

由弧长公式得：160πR180=800π，

解得：R=900，

即此圆弧所在圆的半径为900mm，

故答案为：900．

利用弧长的计算公式即可求解．

12.【答案】y=−x2−x，(【解析】解：∵开口向下，

∴a<0，

∵对称轴在y轴左侧，

∴−b2a<0，

∴b<0，

故抛物线的解析式可以为y=−x2−x，(答案不唯一)，

故答案为：y=−x2−x，(答案不唯一)．

满足开口向下且对称轴在13.【答案】

【解析】本题是圆中的一道综合应用题，考查了垂径定理，弧长公式，勾股定理的逆定理，锐角三角函数的定义，特殊角的三角函数值．如答图，连接OC，

14.【答案】(0,3)

【解析】解：当x=0时，y=x2−2x+3=3，则抛物线与y轴的交点坐标为(0,3)．

故答案为(0,3)．

计算自变量对应的函数值即可得到抛物线与y轴的交点坐标．15.【答案】252(2+2【解析】解：第1次绕点B顺时针旋转90°，点A经过的路径长为：90π⋅1180=12π；

第2次绕点C顺时针旋转90°，点A经过的路径长为：90π⋅2180=22π；

第3次绕点A顺时针旋转90°，点A经过的路径长为：0；

第4次绕点B顺时针旋转90°，点A经过的路径长为：12π；

第5次绕点D顺时针旋转90°，点A经过的路径长为：12π；

第6次绕点A顺时针旋转90°，点A经过的路径长为：0；

第7次绕点C顺时针旋转90°，点A经过的路径长为：22π；

第8次绕点D顺时针旋转90°，点A经过的路径长为：12π．

由此发现8次旋转的路径和为：4×12π+2×22π=2π+216.【答案】132【解析】解：如图，连接BP，交MN于点O；

则BO=PO，BO⊥MN；

∵∠ABC=90°，

∴∠MBO+∠NBO=∠NBO+∠BNO，

∴∠MBO=∠BNO；

∵AP//BC，且∠ABC=90°，

∴∠BAP=90°；

由勾股定理得：BP2=AB2+AP2，

∵AB=6，AP=4，

∴BP=62+42=213，BO=13，

∵∠ABP=∠BNO，

∴△ABP∽△OBN，

∴APBO=PBBN，即413=21317.【答案】解：(1)∵a=2，b=−4，c=−3，

∴△=(−4)2−4×2×(−3)=40>0，

则x=4±2104=2±102，

即x1=2+102，x2=2−102；

(2)∵(x−1【解析】(1)利用公式法求解可得；

(2)利用因式分解法求解可得．

本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．

18.【答案】解：作图如下：①CG，②>，③=

【解析】本题考查了作图−复杂作图，角的大小的比较，垂线段的性质，点到直线的距离，熟记各概念是解题的关键．根据已知条件画出图形，然后根据图形即可得到结论．解：(1)见答案；(2)见答案；(3)见答案．①线段CG长就是点C到OA的距离；

②比较大小：CE>CG(填“>”或“=”或“<”)；

③通过度量比较∠AOD与∠ECO的关系是：∠AOD=∠ECO．

故答案为①CG，②>，③=．

19.【答案】解：(1)y=x2+4x+3=(x+2)2−1，

∴对称轴为直线x=−2，顶点(−2,−1)；

(2)如图：

(3)∵点A(0,y1)和B(m,y2)都在此函数的图象上，且【解析】(1)将解析式化为顶点式即可；

(2)画出函数图象；

(3)由题意可得2<|m+2|，求出m的取值范围即可．

本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键．

20.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠ABC=∠D=∠BAD=90°，

∴∠ABF=90°，

在△ABF与△ADE中，

AB=AD∠ABF=∠D=90°BF=DE，

∴△ABF≌△ADE(SAS)，

∴AF=AE；

(2)解：由(1)知，△ABF≌△ADE，

∴∠BAF=∠DAE，

∴∠BAF+∠BAE=∠DAE=∠BAE=90°，

∴∠FAE=90°，

∴△AEF是等腰直角三角形，

在Rt△ADE中，∠D=90°，∠DAE=30°，DE=2，

∴AE=2DE=4，

∴△AEF的面积=【解析】(1)根据正方形的性质得到AB=AD，∠ABC=∠D=∠BAD=90°，求得∠ABF=90°，根据全等三角形的性质即可得到结论；

(2)根据全等三角形的性质得到∠BAF=∠DAE，得到△AEF是等腰直角三角形，根据直角三角形的性质得到AE=2DE=4，于是得到结论．

本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，证得△ABF≌△ADE是解题的关键．

21.【答案】(1)证明：∵Δ=(k+5)2−4(6+2k)

=k2+2k+1

=(k+1)2≥0，

∴此方程总有两个实数根；

(2)∵x=k+5±(k+1)2，

∴x1=2，x2=k+3，

∵此方程恰有一个根小于【解析】(1)计算根的判别式得到Δ=(k+1)2≥0，然后根据根的判别式的意义得到结论；

(2)解方程得到x1=2，x2=k+3，则k+3<−1，然后解不等式即可．

本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)22.【答案】解：(1)画树状图如下：

共有6种等可能的结果，其中a<b的结果有2种，a>b的结果有3种，

∴小明获胜的概率为26=13，小刚获胜的概率为36=12；

(2)m为0时，小明和小刚获胜的概率相同，理由如下：

画树状图如下：

共有6种等可能的结果，其中a<b的结果有3种，a>b的结果有3种，

∴【解析】(1)画树状图，共有6种等可能的结果，其中a<b的结果有2种，a>b的结果有3种，再由概率公式分别求解即可；

(2)画树状图，共有6种等可能的结果，其中a<b的结果有3种，a>b的结果有3种，再由概率公式得小明获胜的概率=小刚获胜的概率即可．

此题考查了树状图法求概率．正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

23.【答案】(1)证明：∵AC、DE是⊙O的切线，CD是⊙的直径，

∴AC⊥CD，DE⊥CD，

∴AC//DE，∠ACD=90°，

∵EF⊥AC，

∴EF//CD，

∴四边形CDEF是矩形；

(2)解：∵AB，AC，DE是⊙O的切线，

∴AB=AC，BE=DE=2，

由(1)知，四边形CDEF是矩形，

∴CF=DE=2，EF=CD=210，

∵EF⊥AC，

∴∠AFE=90°，

∴AE2=AF2+EF2，

∴(AC+2)2=(AC−2【解析】(1)根据切线的性质得到AC⊥CD，DE⊥CD，得到AC//DE，∠ACD=90°，根据平行线的判定定理得到EF//CD，根据矩形的判定定理即可得到结论；

(2)根据切线的性质得到AB=AC，BE=DE=2，根据矩形的性质得到CF=DE=2，EF=CD=210，根据勾股定理即可得到结论．

本题考查了切线的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．24.【答案】(1)x−60；

(2)设月销量y与x的关系式为y=kx+b，

由题意得，100k+b=200110k+b=180，

解得k=−2b=400．

则y=−2x+400；

(3)由题意得，W=(x−60)(−2x+400)

=−2x2+520x−24000

=−2(x−130)2+9800，

∵a=−2<0，

∴当x=130时，利润最大值为9800【解析】解：(1)销售该运动服每件的利润是：(x−60)元，

故答案为：x−60；

(2)见答案；

(3)见答案．

(1)根据利润=售价−进价求出利润；

(2)运用待定系数法求出月销量y与售价x的一次函数关系式即可；

(3)根据月利润=每件的利润×月销量列出函数关系式，根据二次函数的性质求出最大利润．

本题考查的是二次函数的应用，一次函数的运用，掌握待定系数法求函数解析式和二次函数的性质以及最值的求法是解题的关键．

25.【答案】解：(1)如图，过点C作CH⊥AD，交AD于点H

∵EF⊥DE

∴△FED是直角三角形

又G是斜边FD的中点

∴FD=2EG=2×4=8，EG=FG=4

∴AD=AF+FD=2+8=10

∵AG=AF+GF

∴AG=2+4=6

∴CD=AB=AG=6

∵∠B=60°

∴∠HDC=60°

在Rt△AHC中，HD=12CD=3

HC=3HD=33

∵AH=AD−HD=10−3=7

在Rt△AHC中，AH2+HC2=AC2

∴AC=AH2+HC2=72+(33)2=219；

(2)∵四边形ABCD是平行四边形

∴AB=CD，AD//BC

∴∠ACB=∠DAC

∵∠ACB=∠DCG

∴∠DAC=∠DCG

∵AB=AG

∴CD=AG

∵EG//CD

∴∠AGE=∠ADC，∠DCG=∠EGC

在△AEG和△CGD中

∠GAE=∠DCGCD=AG∠AGE=∠CDG

∴△AEG≌△CGD(ASA)

∴AE=CG，GE=DG

∴∠GED=∠GDE

∵EF⊥ED

∴∠FED=90°

∴∠GED+∠FEG=90°

∴∠GDE+∠DFE=90°

∴∠FEG=∠DFE

又∠GCD=∠EGC=∠DAC

在EG上截取GM=AF，连接CM

在△AFE【解析】(1)过点C作CH⊥AD，交AD于点H，利用直角三角形斜边中线上的中线的性质，30°的直角三角形的性质及勾股定理可求出AC的长；

(2)根据平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，等边对等角及平行线的性质证明两角的倍数关系．

本题考查了直角三角形的性质，三角形的外角性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质等知识点，具有一定的综合性与难度．

26.【答案】8

【解析】解：(1)①把a=1代入y=a(x−ℎ)2−8a得y=(x−ℎ)2−8，

∴抛物线顶点坐标为(ℎ,−8)，

∴点A到x轴的距离为|−8|=8，

故答案为：8．

②把y=0代入y=(x−ℎ)2−8得0=(x−ℎ)2−8，

解得x1=ℎ+22，x2=ℎ−22，

∵x1−x2=ℎ+22−(ℎ−22)=42，

∴抛物线与x轴的两个交点之间的距离为42．

(2)∵y=a(x−ℎ)2−8a，

∴点A坐标为(ℎ,−8a)，

∴|−8a|=4，

解得a=12或a=−12，

∵当x1<xD<x2时，yD总满足y2<yD<y1，

∴当x1<x<x2时，y随x增大而减小，

如图，当抛物线开口向上，点A与点C重合或点A在点C右侧时满足题意，

∴a=12，y=12(x−ℎ)2−4，

∴点27.【答案】36【解析】(1)证明：∵∠B1CB=45°，∠B1CA1=90°，

∴∠B1CQ=∠BCP1=45°，

∵在△B1CQ和△BCP1中，∠B1CQ=∠BCP1 B1C=BC ∠B