《24.1.2垂直于弦的直径》课件

什么是轴对称图形？我们学过哪些轴对称图形？如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形．回顾线段角等腰三角形矩形菱形等腰梯形正方形圆任何一条直径所在的直线都是它的对称轴．圆有哪些对称轴？O探究：如图,AB是⊙O的一条弦,直径CD⊥AB,垂足为E.你能发现图中有那些相等的线段和弧?为什么?·OABCDE线段:AE=BE弧:AC=BC,AD=BD⌒⌒⌒⌒已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，

CD⊥AB，垂足为E．求证：AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD．⌒⌒⌒⌒证明：连结OA、OB，则OA＝OB．∵垂直于弦AB的直径CD所在的直线既是等腰三角形OAB的对称轴又是⊙O的对称轴．∴当把圆沿着直径CD折叠时，

CD两侧的两个半圆重合，

A点和B点重合，

AE和BE重合，

AC、AD分别和BC、BD重合．∴AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒叠合法DOABEC垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．知识要点DOABEC垂径定理AE＝BEAC＝BCAD＝BD⌒⌒⌒⌒CD是直径，AB是弦，CD⊥AB①直线过圆心②垂直于弦③平分弦④平分弦所对的优弧⑤平分弦所对的劣弧题设结论DOABEC垂径定理下列图形是否具备垂径定理的条件？是不是是不是OEDCAB深化：垂径定理的几个基本图形：CD过圆心CD⊥AB于EAE=BEAC=BCAD=BDAE＝BEAC＝BCAD＝BD⌒⌒⌒⌒CD是直径，AB是弦，CD⊥AB①直线过圆心②垂直于弦③平分弦④平分弦所对的优弧⑤平分弦所对的劣弧题设结论DOABEC垂径定理将题设与结论调换过来，还成立吗？这五条进行排列组合，会出现多少个命题？①直线过圆心③平分弦②垂直于弦④平分弦所对优弧⑤平分弦所对的劣弧（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．垂径定理的推论1DOABEC已知：CD是直径，AB是弦，CD平分AB求证：CD⊥AB，AD＝BD，AC＝BC⌒⌒⌒⌒一个圆的任意两条直径总是互相平分，但它们不一定互相垂直．因此这里的弦如果是直径，结论不一定成立．OABMNCD注意为什么强调这里的弦不是直径？②垂直于弦③平分弦①直线过圆心④平分弦所对优弧⑤平分弦所对的劣弧（2）弦的垂直平分线

经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．垂径定理的推论1已知：AB是弦，CD平分AB，CD⊥AB，求证：CD是直径，AD＝BD，AC＝BC⌒⌒⌒⌒DOABEC垂径定理的本质是满足其中任两条，必定同时满足另三条（1）一条直线过圆心（2）这条直线垂直于弦（3）这条直线平分弦（4）这条直线平分弦所对的优弧（5）这条直线平分弦所对的劣弧判断：（1）垂直于弦的直线平分这条弦，并且平分弦所对的两弧．（）．（2）经过弦的中点的直径一定垂直于弦．（）

（3）弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧．（）√√随堂练习课堂小结1．圆是轴对称图形任何一条直径所在的直线都是它的对称轴．O

垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．2．垂径定理DOABEC（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．垂径定理的推论1DOABEC24.1.2垂直于弦的直径（1）人教版九年级上册你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m．

赵州桥主桥拱的半径是多少？

实际问题垂径定理的应用用表示主桥拱，设所在圆的圆心为O，半径为R．经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与AB相交于点D，根据垂径定理，D是AB的中点，C是的中点，CD就是拱高．解：AB=37.4，CD=7.2，OD=OC－CD=R－7.2BODACR解得R≈27.9（m）在Rt△OAD中，由勾股定理，得即R2=18.72+（R－7.2）2∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m．OA2=AD2+OD2垂径定理三角形d+h=rdhar有哪些等量关系？在a，d，r，h中，已知其中任意两个量，可以求出其它两个量．2、如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB=

cm。·OABE解：连接OA，∵OE⊥AB∴∴AB=2AE=16cm3、如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。·OABE解：过点O作OE⊥AB于E，连接OA∴∴答：⊙O的半径为5cm.4、如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE=1，AB=10，求直径CD的长。·OABECD解：连接OA，∵CD是直径，OE⊥AB∴AE=1/2AB=5设OA=x，则OE=x-1，由勾股定理得x2=52+(x-1)2解得：x=13∴OA=13∴CD=2OA=26答：直径CD的长为26.巩固：2、如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则下列结论中不成立的是（）A、∠COE=∠DOEB、CE=DEC、OE=AED、BD=BC⌒⌒·OABECD例1．在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证：四边形ADOE是正方形．D·OABCE证明：∴四边形ADOE为矩形，又∵AC=AB∴AE=AD∴四边形ADOE为正方形．例2．在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．求证：AC＝BD．证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，则AE＝BE，CE＝DE．

AE－CE＝BE－DE．所以，AC＝BDE．ACDBO例3．已知：⊙O中弦AB∥CD．求证：AC＝BD⌒⌒证明：作过点O作OM⊥AB．∵AB∥CD，∴OM⊥CD．则AM＝BM，CM＝DM

AM－CM＝BM－DM∴AC＝BD⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒．MCDABON

经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件．解决有关弦的问题1．弓形的弦长为6cm，弓形的高为2cm，则这弓形所在的圆的半径为________．cm练习2．已知P为⊙O内一点，且OP＝2cm，如果⊙O的半径是3cm，，那么过P点的最短的弦等于____________．cmCDABE已知：AB．求作：AB的中点．⌒⌒点E就是所求AB的中点．⌒作法：1．连结AB．2．作AB的垂直平分线CD，交AB于点E．⌒小练习ABCDE已知：AB．求作：AB的四等分点．⌒⌒作法：1．连结AB．3．连结AC．2．作AB的垂直平分线，交AB于点C．⌒4．作AC的垂直平分线，交AC于点D．⌒5．点E同理．点D、C、E就是AB的四等分点．⌒ABC作AC的垂直平分线作BC的垂直平分线这种方法对吗？等分弧时一定要作弧所夹弦的垂直平分线．×CABO你能确定AB的圆心吗？⌒作法