2022年湖南省常德市普通高校对口单招高等数学一自考测试卷(含答案)

2022年湖南省常德市普通高校对口单招高等数学一自考测试卷(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(20题)1.函数y=x2-x+1在区间[-1，3]上满足拉格朗日中值定理的ξ等于()．

A.-3/4B.0C.3/4D.1

2.

3.设f(x)在x=0处有二阶连续导数

则x=0是f(x)的()。

A.间断点B.极大值点C.极小值点D.拐点

4.A.A.

B.

C.

D.

5.（）A.A.sinx＋C

B.cosx＋C

C.-sinx＋C

D.-cosx＋C

6.设f(x)=x3+x，则等于()。A.0

B.8

C.

D.

7.设y=3+sinx，则y=()A.-cosxB.cosxC.1-cosxD.1+cosx

8.下列关系正确的是（）。A.

B.

C.

D.

9.微分方程y"+y'=0的通解为

A.y=Ce-x

B.y=e-x+C

C.y=C1e-x+C2

D.y=e-x

10.设函数y＝f(x)的导函数，满足f(－1)＝0，当x<－1时，f(x)<0；当x>－1时，f(x)>0．则下列结论肯定正确的是（）．

A.x＝－1是驻点，但不是极值点B.x＝－1不是驻点C.x＝－1为极小值点D.x＝－1为极大值点

11.

12.A.A.

B.

C.

D.

13.

14.

15.设y＝sin(x-2)，则dy＝（）A.A.－cosxdx

B.cosxdX

C.－cos(x－2)dx

D.cos(x－2)dx

16.设函数f(x)在(0，1)内可导，f'(x)>0，则f(x)在(0，1)内（）A.A.单调减少B.单调增加C.为常量D.不为常量，也不单调

17.

18.若，则下列命题中正确的有()。A.

B.

C.

D.

19.

20.

二、填空题(20题)21.

22.23.

24.

25.

26.

27.

28.设y=cosx，则dy=_________。

29.

30.

31.

32.33.

34.

35.36.微分方程y"=y的通解为______．

37.38.39.

40.

三、计算题(20题)41.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

42.

43.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．

44.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

45.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

46.

47.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．48.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．49.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．50.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则51.求微分方程的通解．52.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．53.54.55.

56.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．

57.

58.59.证明：60.求曲线在点(1，3)处的切线方程．四、解答题(10题)61.

62.求曲线y=x2在(0，1)内的一条切线，使由该切线与x=0、x=1和y=x2所围图形的面积最小。

63.

64.计算

65.

66.

67.68.69.70.五、高等数学(0题)71.设生产某产品利润L(x)=5000+x一0．0001x2百元[单位：件]，问生产多少件时利润最大，最大利润是多少?

六、解答题(0题)72.

参考答案

1.D解析：本题考查的知识点为拉格朗日中值定理的条件与结论．

由于y=x2-x+1在[-1，3]上连续，在(-1，3)内可导，可知y在[-1，3]上满足拉格朗日中值定理，又由于y'=2x-1，因此必定存在ξ∈(-1，3)，使

可知应选D．

2.A解析：

3.C则x=0是f(x)的极小值点。

4.B本题考查的知识点为偏导数运算．

由于z＝tan(xy)，因此

可知应选B．

5.A

6.A本题考查的知识点为定积分的对称性质。由于所给定积分的积分区间为对称区间，被积函数f(x)=x3+x为连续的奇函数。由定积分的对称性质可知

可知应选A。

7.B

8.C本题考查的知识点为不定积分的性质。

9.C解析：y"+y'=0，特征方程为r2+r=0，特征根为r1=0，r2=-1；方程的通解为y=C1e-x+C1，可知选C。

10.C本题考查的知识点为极值的第－充分条件．

由f(－1)＝0，可知x＝－1为f(x)的驻点，当x<－1时f(x)<0；当x>－1时，

f(x)>1，由极值的第－充分条件可知x＝－1为f(x)的极小值点，故应选C．

11.A

12.C

13.D

14.C

15.D本题考查的知识点为微分运算．

可知应选D．

16.B由于f'(x)>0，可知f(x)在(0，1)内单调增加．因此选B．

17.C

18.B本题考查的知识点为级数收敛性的定义。

19.B

20.B解析：

21.6x222.1/6

23.本题考查了一元函数的一阶导数的知识点。

24.

25.2yex+x

26.22解析：

27.11解析：

28.-sinxdx

29.

30.y-2=3(x-1)(或写为y=3x-1)y-2=3(x-1)(或写为y=3x-1)解析：

31.32.2．

本题考查的知识点为二次积分的计算．

由相应的二重积分的几何意义可知，所给二次积分的值等于长为1，宽为2的矩形的面积值，故为2．或由二次积分计算可知

33.

34.(e-1)2

35.In236.y'=C1e-x+C2ex

；本题考查的知识点为二阶常系数线性齐次微分方程的求解．

将方程变形，化为y"-y=0，

特征方程为r2-1=0；

特征根为r1=-1，r2=1．

因此方程的通解为y=C1e-x+C2ex．

37.38.1．

本题考查的知识点为反常积分，应依反常积分定义求解．

39.

40.0

41.

42.

43.函数的定义域为

注意

44.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

45.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％

46.

则

47.由二重积分物理意义知

48.

49.50.由等价无穷小量的定义可知

51.

52.

53.

54.

55.由一阶线性微分方程通解公式有

56.

列表：

说明

57.

58.

59.

60.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

61.

62.63.本题考查的知识点为参数方程形式的函数的求导．

64.本题考查的知识点为计算广义积分．

计算广义积分应依广义积分收敛性定义，将其转化为定积分与极限两种运算．即

65.解如图所示，把积分区域D作为y一型区域，即

66.

67.

68.本题考查的知识点为求曲线的切线方程．切线方程为y+3=一3(x+1)，或写为3x+y+6=0．求曲线y=f(x，y)的切线方程，通常要找出切点及函数在切点处的导数值．所给问题没有给出切点，因此依已给条件找出切点是首要问题．得出切点、切线的斜率后，可依直线的点斜式方程求出切线方程．

69.70.解如图所示，将积分区域D视作y-型区域，即

71.L(x)=5000+x一0．0001x2L"(x)=1—0．0002x=0：x=5000；L""