土木工程测量第05章

第五章测量误差理论

◆测量与观测值

◆观测与观测值的分类

●

观测条件

●

等精度观测和不等精度观测

●

直接观测和间接观测

●

观测和非独立观测第一节观测误差一、测量误差的来源1．测量仪器和工具2．观测者3．外界条件的影响由于仪器和工具加工制造不完善或校正之后残余误差存在所引起的误差。由于观测者感觉器官鉴别能力的局限性所引起的误差。外界条件的变化所引起的误差。观测条件不相同的各次观测，称为非等精度观测。观测条件相同的各次观测，称为等精度观测；人、仪器和外界条件，通常称为观测条件。在观测结果中，有时还会出现错误，称之为粗差。粗差在观测结果中是不允许出现的，为了杜绝粗差，除认真仔细作业外，还必须采取必要的检核措施。二、测量误差的分类例：误差处理方法

钢尺尺长误差ld

计算改正

钢尺温度误差lt

计算改正

水准仪视准轴误差I

操作时抵消(前后视等距)

经纬仪视准轴误差C

操作时抵消(盘左盘右取平均)

…………2.系统误差

——误差出现的大小、符号相同，或按规律性变化，具有积累性。●系统误差可以消除或减弱。

(计算改正、观测方法、仪器检校)测量误差分为：粗差、系统误差和偶然误差1.粗差(错误)——超限的误差3.偶然误差——误差出现的大小、符号各不相同，表面看无规律性。

例：估读数、气泡居中判断、瞄准、对中等误差，导致观测值产生误差。

●

准确度(测量成果与真值的差异）

●

最或是值（最接近真值的估值，最可靠值）

●

测量平差（求解最或是值并评定精度）4.几个概念:

●

精（密）度（观测值之间的离散程度）1．系统误差

在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如果误差出现的符号和大小均相同，或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。

系统误差在测量成果中具有累积性，对测量成果影响较大，但它的符号和大小又具有一定的规律性，一般可采用下列方法消除或减弱其影响。

（1）进行计算改正

（2）选择适当的观测方法

（3）检验校正仪器2．偶然误差

在相同的观测条件下，对某量进行一系列的观测，如果观测误差的符号和大小都不一致，表面上没有任何规律性，这种误差称为偶然误差。三、偶然误差的特性偶然误差从表面上看没有任何规律性，但是随着对同一量观测次数的增加，大量的偶然误差就表现出一定的统计规律性，观测次数越多，这种规律性越明显。例如，对三角形的三个内角进行测量，由于观测值含有偶然误差，三角形各内角之和l不等于其真值180˚。用X表示真值，则l与X的差值Δ称为真误差（即偶然误差），即现在相同的观测条件下观测了217个三角形，计算出217个内角和观测值的真误差。再按绝对值大小，分区间统计相应的误差个数，列入表中。

偶然误差的统计**

（1）绝对值较小的误差比绝对值较大的误差个数多；

（2）绝对值相等的正负误差的个数大致相等；

（3）最大误差不超过27″。**举例:

在某测区，等精度观测了358个三角形的内角之和，得到358个三角形闭合差i(偶然误差，也即真误差)，然后对三角形闭合差i

进行分析。

分析结果表明，当观测次数很多时，偶然误差的出现，呈现出统计学上的规律性。而且，观测次数越多，规律性越明显。用频率直方图表示的偶然误差统计：频率直方图的中间高、两边低，并向横轴逐渐逼近，对称于y轴。频率直方图中，每一条形的面积表示误差出现在该区间的频率k/n，而所有条形的总面积等于1。各条形顶边中点连线经光滑后的曲线形状，表现出偶然误差的普遍规律

图6-1误差统计直方图偶然误差的四个特性：

（1）在一定观测条件下，偶然误差的绝对值有一定的限值，或者说，超出该限值的误差出现的概率为零；(有界性)

（2）绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大；(趋向性)

（3）绝对值相等的正、负误差出现的概率相同；(对称性)

（4）同一量的等精度观测，其偶然误差的算术平均值，随着观测次数n的无限增大而趋于零，

(抵偿性)即式中[Δ]——偶然误差的代数和，***偶然误差具有正态分布的特性当观测次数n无限增多(n→∞)、误差区间d无限缩小(d→0)时，各矩形的顶边就连成一条光滑的曲线，这条曲线称为“正态分布曲线”，又称为“高斯误差分布曲线”。所以偶然误差具有正态分布的特性。图6-1误差统计直方图第二节精度评定的标准在测量工作中，常采用以下几种标准评定测量成果的精度。中误差

相对中误差

极限误差*一、中误差设在相同的观测条件下，对某量进行n次重复观测，其观测值为l1，l2，…，ln，相应的真误差为Δ1，Δ2，…，Δn。则观测值的中误差m为：式中[∆∆]——真误差的平方和，

例5-1设有甲、乙两组观测值，各组均为等精度观测，它们的真误差分别为：甲组：乙组：试计算甲、乙两组各自的观测精度。解:中误差所代表的是某一组观测值的精度。

m1小于m2,说明第一组观测值的误差分布比较集中，其精度较高；相对地，第二组观测值的误差分布比较离散，其精度较低：

m1=2.7是第一组观测值的中误差；

m2=3.6是第二组观测值的中误差。二、相对中误差相对中误差是中误差的绝对值与相应观测结果之比，并化为分子为1的分数，即

例丈量两段距离，D1=100m，m1=±1cm和D2=30m，m2=±1cm，试计算两段距离的相对中误差。解三、极限误差在一定观测条件下，偶然误差的绝对值不应超过的限值，称为极限误差，也称限差或容许误差。或如果某个观测值的偶然误差超过了容许误差，就可以认为该观测值含有粗差，应舍去不用或返工重测。

根据误差分布的密度函数，误差出现在微分区间d内的概率为：误差出现在K倍中误差区间内的概率为：

将K=1、2、3分别代入上式，可得到偶然误差分别出现在一倍、二倍、三倍中误差区间内的概率：

P(||m)=0.683=68.3出现机会（31.7%）P(||2m)=0.954=95.4出现机会（4.6%）P(||3m)=0.997=99.7出现机会（0.3%）测量中，一般取两倍中误差(2m)作为容许误差，也称为限差：|容|=2|m|或|=3|m||一.一般函数的中误差令的系数为，(c)式为：由于和是一个很小的量，可代替上式中的和：

(c)代入(b)得对(a)全微分：(b)设有函数：为独立观测值设有真误差，函数也产生真误差(a)第三节观测值函数的中误差（误差传播定律）对Z观测了k次，有k个式(d)对(d)式中的一个式子取平方：（i，j=1~n且i≠j）(e)对K个(e)式取总和：(f)(f)(f)式两边除以K，得(g)式：(g)由偶然误差的抵偿性知：(g)式最后一项极小于前面各项，可忽略不计，则：<<前面各项即(h)(h)考虑，代入上式，得中误差关系式：(6-10)上式为一般函数的中误差公式，也称为误差传播定律。

通过以上误差传播定律的推导，我们可以总结出求观测值函数中误差的步骤：

1.列出函数式；2.对函数式求全微分；3.套用误差传播定律，写出中误差式。1.倍数函数的中误差

设有函数式(x为观测值，K为x的系数)全微分得中误差式例：量得地形图上两点间长度=168.5mm0.2mm,计算该两点实地距离S及其中误差ms：解：列函数式求全微分中误差式二.几种常用函数的中误差

2.线性函数的中误差

设有函数式

全微分

中误差式例：设有某线性函数其中、、分别为独立观测值，它们的中误差分别为求Z的中误差。

解：对上式全微分：由中误差式得：

函数式全微分中误差式3.算术平均值的中误差式

由于等精度观测时，，代入上式：得由此可知，算术平均值的中误差比观测值的中误差缩小了倍。

●对某观测量进行多次观测(多余观测)取平均，是提高观测成果精度最有效的方法。4.和或差函数的中误差

函数式：

全微分：

中误差式：当等精度观测时：上式可写成：例：测定A、B间的高差，共连续测了9站。设测量每站高差的中误差，求总高差的中误差。

解：

观测值函数中误差公式汇总

观测值函数中误差公式汇总

函数式函数的中误差一般函数倍数函数

和差函数

线性函数

算术平均值

观测值的算术平均值(最或是值)

用观测值的改正数v计算观测值的中误差(即:白塞尔公式)

算术平均值的相对中误差第四节等（同）精度直接观测平差

一.观测值的算术平均值(最或是值、最可靠值)

证明算术平均值为该量的最或是值：

设该量的真值为X，则各观测值的真误差为1=1-

X2=2-

X

······

n=n-

X对某未知量进行了n次观测，得n个观测值1,2,···,n,则该量的算术平均值为：x==1+2+···+nnn上式等号两边分别相加得和：L=当观测无限多次时：得两边除以n：由当观测次数无限多时，观测值的算术平均值就是该量的真值；当观测次数有限时，观测值的算术平均

值最接近真值。所以，算术平均值是最或是值。L≈X观测值改正数特点二.观测值的改正数v：以算术平均值为最或是值，并据此计算各观测值的改正数v，符合[vv]=min的“最小二乘原则”。Vi=L-

i(i=1,2,···,n)特点1——改正数总和为零：对上式取和：以代入：通常用于计算检核L=nv=nL-

nv

=n-=0v

=0特点2——[vv]符合“最小二乘原则”：则即vv=(x-)2=min=2(x-)=0dvvdx∵(x-)=0nx-=0x=n精度评定

比较前面的公式，可以证明，两式根号内的部分是相等的，即在与中：精度评定——用观测值的改正数v计算中误差一.计算公式(即白塞尔公式)：证明如下：真误差：改正数：证明两式根号内相等对上式取n项的平方和由上两式得其中:证明两式根号内相等中误差定义:白塞尔公式:解：该水平角真值未知，可用算术平均值的改正数V计算其中误差：例：对某水平角等精度观测了5次，观测数据如下表，求其算术平均值及观测值的中误差。算例1:76°42′45″

±1.74″

例5-2某一段距离共丈量了六次，结果如表下所示，求算术平均值、观测中误差、算术平均值的中误差及相对误差。148.643148.590148.610148.624148.654148.647148.628-15+38+18+4-26-192251444324166763613046返回距离丈量精度计算例算例3：对某距离用精密量距方法丈量六次，求①该距离的算术平均值；②观测值的中误差；③算术平均值的中误差；④算术平均值的相对中误差：凡是相对中误差，都必须用分子为1的分数表示。第五节误差传播定律的应用用DJ6经纬仪观测三角形内角时，每个内角观测4个测回取平均，可使得三角形闭合差m15。例1：要求三角形最大闭合差m15，问用DJ6经纬仪观测三角形每个内角时须用几个测回？ƒ=(1+2+3)-180解：由题意：2m=15,则m=7.5每个角的测角中误差：由于DJ6一测回角度中误差为：由角度测量n测回取平均值的中误差公式：误差传播定律的应用例2：试用中误差传播定律分析视距测量的精度。解:(1)测量水平距离的精度

基本公式：

求全微分：

水平距离中误差：

其中：

误差传播定律的应用例2：试用中误差传播定律分析视距测量的精度。解:(2)测量高差的精度基本公式：

求全微分：

高差中误差：

其中：

误差传播定律的应用例3:(1)用钢尺丈量某正方形一条边长为求该正方形的周长S和面积A的中误差.解:(1)周长,(2)用钢尺丈量某正方形四条边的边长为其中:求该正方形的周长S和面积A的中误差.

面积,

周长的中误差为全微分:面积的中误差为全微分:解:(1)周长和面积的中误差分别为例3:(2)用钢尺丈量某正方形四条边的边长为其中:求该正方形的周长S和面积A的中误差.

(2)周长;周长的中误差为面积得周长的中误差为全微分:但由于第六节不等（同）精度直接观测平差一、权的概念权是权衡利弊、权衡轻重的意思。在测量工作中权是一个