正方形的性质与判定（第1课时） 【教材精讲精研】 九年级数学上册 （北师大版）

第一章特殊平行四边形北师大版八年级数学上册崇德尚礼笃学求真3.1正方形的性质与判定学习&目标1．探索并证明正方形的判定，了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别；2．会运用正方形的判定条件进行有关的论证和计算.3.探索并证明正方形的判定，并了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别.（重点）4.会运用正方形的判定条件进行有关的论证和计算.（难点）正方形的定义有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。平行四边形一组邻边相等一个角是直角正方形情境&导入正方形的对角线相等并且互相垂直平分.正方形的四个角都是直角，四条边相等.正方形的定义情境&导入如图，将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开．怎样剪才能剪出一个正方形？提示：剪口线与折痕成45°角即可。探索&交流满足什么条件的矩形是正方形？满足什么条件的菱形是正方形？请证明你的结论，并与同伴交流．

议一议有一个角是直角有一组邻边相等有一组邻边相等有一个角是直角对角线相等对角线垂直探索&交流活动1

准备一张矩形的纸片，按照下图折叠,然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证.正方形猜想

满足怎样条件的矩形是正方形？矩形一组邻边相等对角线互相垂直正方形活动2

把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状.量量看是不是正方形.正方形猜想

满足怎样条件的菱形是正方形？菱形一个角是直角对角线相等正方形探索&交流探索&交流

议一议（1）正方形是矩形吗？是菱形吗？（2）你认为正方形具有哪些性质？与同伴交流.正方形既是矩形，又是菱形，它具有矩形与菱形的所有性质.探索&交流相关图形性质的关系平行四边形的性质对边平行且相等对角相等对角线互相平分菱形的性质四条边相等对角线互相垂直四个角都是直角对角线相等矩形的性质正方形的性质探索&交流已知：如图,四边形ABCD是正方形.求证：正方形ABCD四边相等,四个角都是直角.ABCD证明：∵四边形ABCD是正方形. ∴∠A=90°,AB=AC（正方形的定义）. 又∵正方形是平行四边形. ∴正方形是矩形（矩形的定义）,

正方形是菱形(菱形的定义). ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°, AB=BC=CD=AD.探索&交流已知：如图,四边形ABCD是正方形.对角线AC、BD相交于点O.求证：AO=BO=CO=DO,AC⊥BD.ABCDO证明：∵正方形ABCD是矩形,

∴AO=BO=CO=DO. ∵正方形ABCD是菱形. ∴AC⊥BD.正方形的性质定理：正方形的四个角都是直角，四条边相等.定理：正方形的对角线相等并且互相垂直平分.探索&交流

想一想正方形有几条对称轴？正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形.正方形有4条对称轴.正方形对角线边边对角线对角线角对边平行且相等相互平分相等四个角相等都是90°相互垂直且平分对角四边相等对称性轴对称图形（4条对称轴）探索&交流面积为边长的平方或对角线长平方的一半.例题&解析

例题欣赏☞例1.如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE＝CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由．解：BE＝DF，且BE⊥DF.理由如下：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝DC，∠BCE＝90°(正方形的四条边相等，四个角都是直角)．∴∠DCF＝180°－∠BCE＝180°－90°＝90°.∴∠BCE＝∠DCF.又∵CE＝CF，∴△BCE≌△DCF.∴BE＝DF.例题&解析(2)延长BE交DF于点M(如图)．∵△BCE≌△DCF，∴∠CBE＝∠CDF.∵∠DCF＝90°，∴∠CDF＋∠F＝90°.∴∠CBE＋∠F＝90°.∴∠BMF＝90°.∴BE⊥DF.探索&交流

议一议

平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有么关系？你能用一个你喜欢的方式直观地示它们之间的关系吗？与同伴交流.矩形菱形正方形平行四边形平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系：正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质,正方形都有.例题&解析

例题欣赏☞例2.如图，在正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC延长线上一点，CE=CF.(1)求证：△BCE≌△DCF；(2)若∠BEC=60°，求∠EFD的度数.例题&解析（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC=DC，∠BCE=∠DCF=90°.又∵CE=CF，∴△BCE≌△DCF.（2）解：∵△BCE≌△DCF，∠BEC=60°，∴∠DFC=∠BEC=60°.∵CE=CF，∠ECF=90°，∴∠CFE=45°.∴∠EFD=∠DFC-∠CFE=60°-45°=15°.证明：练习&巩固1.正方形具有而菱形不一定具有的性质（）

A.四条边相等B.对角线互相垂直平分C.对角线平分一组对角D.对角线相等练习&巩固2.如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH.若BE∶EC＝2∶1，则线段CH的长是(

)A．3

B．4

C．5

D．6练习&巩固3.如图，在正方形ABCD中，两条对角线相交于O点，OA=2，求∠AOB、∠O